文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3.4 导数的综合运用
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考点一 判断函数的零点个数
【例1】(2024 福建合肥)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
【答案】见解析
【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋2(x－1)．
当0＜x＜1 时，f′(x)＜0；当x＞1 时，f′(x)＞0．
所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)当a＝1 时，f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，
因为f(1)＝0，且f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有1 个零点．
当a＞1 时，f′(x)＝1＋ln x－a＋2a(x－1)＝1＋ln x＋2ax－3a，
令g(x)＝1＋ln x＋2ax－3a，因为a＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′＝g＝1＋ln ＞0，所以存在实数x0∈，使得g(x0)＝0．
在(0，x0)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；在(x0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0满足f′(x0)＝0，即1＋ln x0＋2ax0－3a ＝0．
所以f(x0)＝x0ln x0－ax0＋1＋a(x0－1)2＝x0(3a－1－2ax0)－ax0＋1＋a(x0－1)2＝(1－x0)(a＋ax0＋1)，
因为x0∈，所以f(x0)＜0，因为f＝＋1－＞0，f(3)＝3ln 3＋a＋1＞0，所以f(x)有2 个零点．
综上所述，当a＝1 时，f(x)有1 个零点；当a＞1 时，f(x)有2 个零点
【一隅三反】
1．（2024·湖北·模拟预测）函数
．
(1)当
时，证明：
；
(2)讨论函数
的零点个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，所以
，令
得
．
当
时，
，
单调递减；
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，
单调递增．
从而
，不等式得证．
（2）令
，则
，
．
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减．
又
，当
时，
；当
时，
．
从而当
时，
无零点；当
或
时，
有一个零点；
当
时，
有两个零点．
2．（2024·河南）已知函数
，
．
(1)当a＝2 时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论关于x 的方程
的实根个数．
【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】(1)当a＝2 时，
，
，
则切线的斜率为
，
又
，所以曲线
在
处的切线方程是
，
即
．
(2)
即为
，化简得
，
令
，则
，
令
，则
，
令
，得
．
当
时，
，即
在
上单调递增；
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，即
在
上单调递减．
①当
时，
，即
，
所以
在R 上单调递减．
又
，所以
有唯一零点0；
②当
时，
，
，所以存在
，
，
又
，
令
，
，
所以
在
上单调递减，
，
即
，所以存在
，
，
x
n
m
－
0
＋
－
单调递减
单调递增
单调递减
则
，又
，所以存在
，
；
同理，
，又
，所以存在
，
，
由单调性可知，此时
有且仅有三个零点0，
，
．
综上，当
时，
有唯一零点，方程
有唯一的实根；
当
时，
有且仅有三个零点，方程
有3 个实根．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知
在
时取得极大值．
(1)讨论
在
上的单调性；
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)令
，试判断
在
上零点的个数．
【答案】(1)答案见解析
(2)三个零点
【解析】（1）由题意，
，因为
在
时取得极大值，
则
，得
，
所以
，
令
，则
或
．
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）
在R 上有3 个零点，理由如下：
，
因为
，所以
是
的一个零点．
，
所以
是偶函数，即要确定
在R 上的零点个数，需确定
时，
的零点个数即可．
①当
时，
，
令
，即
或
，
时，
单调递减，且
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
时，
单调递增，且
，
所以
在
有唯一零点；
②当
时，由于
，
，
而
在
单调递增，
，
所以
恒成立，故
在
无零点，
所以
在
有一个零点，
由于
是偶函数，所以
在
有一个零点，而
，
综上，
在R 有且仅有三个零点．
考点二 已知函数零点求参数
【例2】（2024·广东汕头·三模）已知函数
.
(1)若曲线
在
处的切线与
轴垂直，求
的极值.
(2)若
在
只有一个零点，求
.
【答案】(1)极小值
，无极大值；
(2)
.
【解析】（1）函数
的定义域为R，求导得
，
，
依题意，
，则
，
，
当
时，
，当
时，
，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以函数
在
处取得极小值
，无极大值.
（2）函数
在
只有一个零点，等价于
在
只有一个零点，
设
，则函数
在
只有一个零点，当且仅当
在
只有一解，
即
在
只有一解，于是曲线
与直线
只有一个公共点，
令
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
取得极小值同时也是最小值
，
当
时，
；当
时，
，
画山
大致的图象，如图，
在
只有一个零点时，
，
所以
在
只有一个零点吋，
.
【一隅三反】
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数至多一个零点，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
得：
，
当
时，
，
，
所以函数
在
处的切线方程为：
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
，所以
（2）由函数
的定义域为
，
又由
，分离参变量得：
令
令
在
单调递增，又
，
在
上
，在
上
，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，
又
时
时
2．（2024·广东深圳·期中）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恰有三个零点，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：当
时，函数
，可得
，
所以
，且
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）解：因为
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可得
是
的一个零点，
因为
恰有三个零点，所以方程
有两个不为2 实数根，
即方程
有两个不为2 实数根，
令
，所以
，
令
，可得
，令
，可得
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以，当
时，函数取得极大值，也是最大值
，
且当
时，
，
所以，当
时，
的值域为
；当
时，
的值域为
，
所以
，且
，所以
且
．
所以a 的取值范围是
．
3．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数
(1)当
时，求
的零点；
(2)若
恰有两个极值点，求
的取值范围.
【答案】(1)
有且仅有一个零点
(2)
【解析】（1）当
时，
等价于
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，所以
有且仅有一个零点
.
（2）由
，得
.
令
，则
.
若
，则
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
最多只有一个零点，则
最多只有一个极值点，不符合题意；
若
，则当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，则
.
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，从而
.
显然，当
时，
，则
，
.
令
，则
，
设
，则
，
由
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
恒成立，故
单调递增.
当
时，
，即
，
则
.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，所以
，
.
当
时，
，当
时，
，
则
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，
则
恰有两个极值点.
故当
恰有两个极值点时，
的取值范围为
.
考点三 隐零点
【例3-1】（2024 湖北）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)求证：函数
的图象在x 轴上方.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
；
(2)证明见解析.
【分析】(1)求
，根据
正负即可求y 的单调区间；
(2)求
，根据
零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.
【详解】（1）
，
令
则
.
当
时，
，∴函数在
上单调递增；
当
时，
，∴函数在
上单调递减.
即
的单调递增区间是
，单调递减区间是
；
（2）
，
，易知
单调递增，
又
，
，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴在
上存在一个
，
使得：
，即：
，且
，
当
，有
单调递减；
当
，有
单调递增.
∴
，
∴
，
∴函数
的图象在x 轴上方.
【例3-2】（2024·广东深圳）已知函数
.
（1）求函数
在
上的零点之和；
（2）证明：
在
上只有1 个极值点.
【答案】（1）
（2）详见解析
【分析】（1）
得到
或
，据此计算答案.
（2）求导设
，则
，判断函数
在
上单调递减，在
上单调递
增，又
，
，得到答案.
【详解】（1）解：令
，得
或
，
即
或
，即
或
所以
在
上的零点之和为
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）证明设
，
，
，
，
当
时，
，则
为增函数.
因为
，
，所以
，
所以当
时，
；当
时，
，
从而
的
上单调递减，在
上单调递增
又
，
，所以必存在唯一的
，使得
，
当
时，
；当
时，
故
在
上只有1 个极值点
【一隅三反】
1．（2024·江苏宿迁）已知函数
(1)若
求
的极值；
(2)若
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
的极小值为
，无极大值
(2)
【解析】（1）当
，
令
，解得
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则当
单调递减，当
单调递增，
故
的极小值为
，无极大值；
（2）由题意可得
令
则
当
时，
则
时，
，不合题意；
当
时，设
，
，
，
所以存在
时，
，
因为
，所以
在
上单调递增，
所以当
，
；当
，
，
则当
，
；当
，
，
则
在
单调递减，在
单调递增，
所以
因为
，所以
，即
故
解得
综上所述，实数a 的取值范围
2．（2024 北京）已知函数
（
，e 为自然对数的底数）．
(1)求函数
的极值；
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若方程
在区间
内有两个不相等的实数根
，证明：
．
【答案】(1)见解析(2)证明见解析.
【解析】(1)函数
的定义域为
，且
.
当
时，
恒成立，
在
上单调递减，无极值.
当
时，由
，得
，所以
)在
上单调递增；
由
，得
，所以
在
上单调递减.
所以当
时，函数
取得极大值，且极大值为
.
综上所述，当
时，函数
无极值；当
时，函数
的极大值为
，无极小值.
(2)
方程
，即为方程
.
由题意，得方程
在区间
内有两个不相等的实数
，不妨设
.
令
，则
.
令
，即
，解得
.
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
因为
，所以
即
.
要证
，只需证
.
又因为
，所以
.
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以只需证
，只需证
.
因为
，所以
.所以
.
所以只需证
，只需证
.
只需证
， 只需证
.
令
，则
，所以只需证
.
令
，则
.
令
，则
恒成立.
所以
在
上单调递减.所以
.
所以
.所以
在
上单调递增.
所以
.所以
.
所以
.
3（2024·云南）已知函数
，函数
．
(1)求函数
的单调区间．
(2)
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；(2)
.
【解析】(1)解：
，令
，则
，当且仅当
，
时等号成
立，∴
在
上单调递增，即
在
上单调递增．
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∵
，∴
时，
，
时，
，
∴
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
(2)
解：
时，
恒成立，
，
，
，
时，
，∴
在
上单调递增，
∵
，
若
，
时，
，∴
在
上单调递增，
∴
时，
，∴
在
上单调递增，
∴
时，
恒成立；
若
，∵
，∴
，∴
，
，
，
∴
在
有唯一解，设为
，且
，
当
时，
，∴
在
上单调递减，
∴
时，
，∴
在
上单调递减，
∴
与
恒成立矛盾，舍去．
综上，实数
的取值范围是
．
考点4 不等式的证明
【例4-1】（2024·北京·三模）已知
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）
，
令
，得
，令
，则
，
原方程可化为
①，则
是方程①的两个不同的根，
所以
，解得
，
由韦达定理得
，则
，
所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，
所以
.
【例4-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数
.
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求函数
在
处的切线方程.
(2)证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解答
【解析】（1）由
，可得
，
，又
，
所以函数
在
处的切线方程为
，即
.
（2）由
，可得
，
令
，可得
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
，即
，
所以
在
上单调递增，
所以
，当
时，
，
当
时，
，
综上所述：
.
【一隅三反】
1．（2024·山东威海·二模）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得
的定义域为
，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
当
时，
，
在
上单调递增，无极值；
当
时，令
，则
，令
，则
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
为函数的极大值点，函数极大值为
，无极小值；
（2）证明：设
，
，令
，
则
，即
在
上单调递增，
，
故
，使得
，即
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
故
即
，即
，则
.
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】（1）函数
的定义域为
，且
．
当
时，
恒成立，
所以
在区间
上单调递增；
当
时，令
，解得
，
当
时，
在区间
上单调递增，
当
时，
在区间
上单调递减．
综上所述，当
时，
在区间
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（2）当
时，因为
，所以要证
，只要证明
即可，
即要证
，等价于
（*）．
令
，则
，
在区间
上，
单调递减；
在区间
上，
单调递增，
所以
，所以
（当且仅当
时等号成立），
所以（*）成立，当且仅当
时，等号成立．
又
在
上单调递增，
，
所以存在
，使得
成立．
综上所述，原不等式成立．
考点五 不等式的恒成立或存在性
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【例5】（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）
定义域为
，
当
时，
，故
在
上单调递减；
当
时，
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减.
综上所述，当
时，
的单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
，且
时，
，
令
，下证
即可.
，再令
，则
，
显然
在
上递增，则
，
即
在
上递增，
故
，即
在
上单调递增，
故
，问题得证
【一隅三反】
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
；
(2)
【解析】（1）因为
，
，
令
，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）依题意，存在
，使得
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
，因此
，
故
的取值范围为
．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若不等式
在区间
上有解，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
．
【解析】（1）由题意知函数
的定义域为
，
而
，
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，得
，
由
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）因为不等式
在区间
上有解，
所以
在区间
上有解，此时
，
即
在区间
上有解，
令
，则
．
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，所以
．
当
时
；当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
综上可知，实数a 的取值范围是
．
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
，不等式
在
上存在实数解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为
，单调减区间为
(2)
【解析】（1）当
时，
，
∴
，由
，得
，由
，得
，
所以函数
的单调增区间为
，单调减区间为
；
（2）原条件等价于：
在
上存在实数解．
化为
在
上存在实数解，
令
，
则
，
∴在
上，
，得
，故
在
上单调递增，
∴
的最小值为
，
∴
时，不等式
在
上存在实数解．
考点六 极值点偏移
【例6】（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数
，
．
(1)当
时，
恒成立，求a 的取值范围．
(2)若
的两个相异零点为
，
，求证：
．
g x
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）当
时，
恒成立，
即当
时，
恒成立，
设
，
所以
，即
，
，
设
，
则
，
所以，当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
，
所以当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
，
若
恒成立，则
．
所以
时，
恒成立，a 的取值范围为
.
（2）由题意知，
，不妨设
，由
得
，
则
，
令
，则
，即：
．
要证
，只需证
，只需证
，即证
，即证
（
），
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
（
），因为
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
成立，故
．
【一隅三反】
1．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系
中，
的直角顶点
在
轴上，另一个顶点
在函数
图象上
(1)当顶点
在
轴上方时，求
以
轴为旋转轴，边
和边
旋转一周形成的面所围成的几何体的
体积的最大值；
(2)已知函数
，关于
的方程
有两个不等实根
.
（i）求实数
的取值范围;
（ii）证明：
.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明过程见详解.
【解析】（1）因为
在
轴上方，所以：
；
为直角三角形，所以当
轴时，所得圆锥的体积才可能最大.
设
，则
，
（
）.
设
（
），则
，由
.
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
.
从而：
.
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）（i）因为
，即
，即
，
令
，所以
，
因为
为增函数，所以
即
，
所以方程
有两个不等实根
等价于
有两个不等实根
，
令
，所以
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.所以
.
当
时，
；当
时，由洛必达法则知
；
所以
.
（ii）由（i）知，
，
令
，
，
因为
，所以
，
因为
，
，所以
，即
在
单调递增，
，所
以
.
因为
，所以
，
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又因为
，所以
，
因为
，
，且
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
，
所以
.
2．（2024·四川眉山·三模）已知函数
.
(1)若过点
可作曲线
两条切线，求
的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求
的取值范围；
②当
时，证明：
.
【答案】(1)
；
(2)①
；②证明见解析.
【解析】（1）依题意，
，
设过点
的直线与曲线
相切时的切点为
，斜率
，
切线方程为
，而点
在切线上，
则
，即有
，
由过点
可作曲线
两条切线，得方程
有两个不相等的实数根，
令
，则函数
有2 个零点，
求导得
，
①若
，由
，得
或
，由
，得
，
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
取得极大值；当
时，
取得极小值，
又
，
当
时，
恒成立，因此函数
最多1 个零点，不合题意；
②若
，
恒成立，函数
在
上单调递增，
因此函数
最多1 个零点，不合题意；
③若
，由
，得
或
，由
，得
，
即函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
取得极大值；当
时，
取得极小值，又
，
显然当
时，
恒成立，因此函数
最多1 个零点，不合题意；
④若
，显然
，当
时，
，当
时，
，
函数在
上单调递增，在
上单调递减，当
时，
取得最大值
，
要函数
有2 个零点，必有
，得
，
当
时，
，
而函数
在
上的值域为
，因此
在
上的值域为
，
当
时，令
，求导得
，函数
在
上单调递减，
则
，
，
而函数
在
上单调递减，值域为
，
因此函数
在
上的值域为
，
于是当
时，函数
有两个零点，
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以过点
可作曲线
两条切线时，
的取值范围是
.
（2）①由（1）知，
，
由函数
有两个极值点
，得
，即
有两个实数根
，
令
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，
上单调递减，
，
且
，当
时，函数
恒成立，因此当
时，
有两个实数根
所以函数
有两个极点时，
的取值范围是
.
②由
，即
，得
，
要证明
，只需证明
，
而
，
令
，则
，欲证明
，
即证明
，只需证明
即可，
令
，
求导得
，
则
在
时单调递增，故
，
则
，令
在
时单调递增，则
，
因此
，即
，
所以
.
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
一．单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数
在区间
内有两个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以当
或
时
，
即
在
，
上单调递增，
当
时
，即
在
上单调递减，
根据题意可得
，即
，解得
.
故选：A
2．（2024·陕西·模拟预测）当
时，
恒成立，则实数
最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．8
【答案】B
【解析】因为
，由
，得
.令
令
，则
在
上恒成立，
故函数
在
上单调递增，所以
即
，
由
，得
，所以
.
当且仅当
时，取“=”，
此时
，由
与
图象可知
使
，此时
.
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，即
有最大值为4.
故选：B.
3．（2024·河南·三模）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】显然首先
，
，
令
，则
，所以
在定义域内严格单调递增，
所以若有
成立，则必有
，
即
对于任意的
恒成立，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，
从而
，所以
的取值范围是
，即实数
的最大值为
.
故选：B.
4．（23-24 高二下·天津·期中）若函数
恰好有四个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
不是
的零点，
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，令
，得
，
令
，
由对勾函数性质可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
令
，
则
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
且当
趋近正无穷时，
趋近2，如图所示，
所以当
时，
与
的图象有且仅有四个交点，
此时函数
恰好有四个零点.
故选：C.
5．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，若存在
使得
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于
，
，
所以
在区间
上单调递增，
，
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以当
时，
的值域为
.
对于
，
，
若
，则
，不符合题意.
若
，则
，所以
在
上单调递增，
所以当
时，
的值域为
，符合题意，D 选项正确.
当
时，
在区间
上
单调递增，
在区间
上
单调递减，
，而当
时
所以当
时，
的值域为
，不符合题意.
综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：D
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若
恒成立，则正实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，且
，
两边加上
得，
，
设
，则
，所以
单调递增，
，即
，
令
，则
，
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的定义域是
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
当
时，
取得极大值即为最大值，
，
，
.
故选：C．
7．（2024·全国·模拟预测）已知过点
的直线与函数
的图象有三个交点，则该直线的斜率
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】问题转化为方程
有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为
，所以方程
有三个不等的实根等价于方程
有两个不等的实根．
令
，
则
．
令
，则
，即
单调递增．
又
，所以当
时，
单调递减，且
；
当
时，
单调递增，
且
．
又因为当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以实数k 的取值范围是
．
故选：C．
方法二：分离函数
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，则
，所以
．
令
，则
，解得
，
令
，得
；令
，得
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
有极小值；
而
且
，
所以方程
有一解
．
①当
时，
过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当
时，过原点O 作
的切线，
设切点
，则
，
所以
．
又
，得
，
所以
，
所以
．
故选：C．
8．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知
，若函数
有两个不同的零点，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意
，令
，得
，
已知
，当
时，
，此时
在
单调递减，
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，此时
在
单调递增，
故当
时，
有最小值，而
，
由此可知当
时，
，当
时，
，
若函数
有两个不同的零点，结合零点存在定理可知，
的最小值
，
又
，所以
，
，所以
，所以
，
即a 的取值范围是
．
故选：B.
二．多选题
9．（2024·河北衡水·三模）已知函数
，
是函数
的一个极值点，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．函数
在区间
上单调递减
C．过点
能作两条不同直线与
相切
D．函数
有5 个零点
【答案】AD
【解析】对于A 中，由函数
，可得
，
因为
是函数
的一个极值点，可得
，
解得
，经检验适合题意，所以A 正确；
对于B 中，由
，令
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
故
在区间
上递增，在区间
上递减，在区间
上递增，所以B 错误；
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于C 中，设过点
且与函数
相切的切点为
，
则该切线方程为
，
由于切点
满足直线方程，则
，
整理得
，解得
，所以只能作一条切线，所以C 错误；
对于D 中，令
，则
的根有三个，如图所示，
，
所以方程
有3 个不同根，方程
和
均有1 个根，
故
有5 个零点，所以D 正确．
故选：AD．
10．（2024·湖北·二模）已知
，则下列不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】设
，则
，
在
单调递增，
所以
，即
，即
，A 正确；
令
，
，则
，而
，所以
，B 不正确；
设
，则
，
当
时，
，函数
单调递减；
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，函数
单调递增；
则
在
时取得最小值
，即
，C 正确；
设
，则
，所以
在
上是增函数，
所以由
得
，即
，D 正确.
故选：ACD
11．（2024·山东济南·三模）已知函数
，则（ ）
A．曲线
在
处的切线斜率为
B．方程
有无数个实数根
C．曲线
上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于
D．
在
上单调递减
【答案】BCD
【解析】对于A，
，则
，
故
，A 错误；
对于B，由于
为周期函数，当
时，
，
故
的图象大致如图示：
结合图象可知，当x 增大到一定数值
满足
后，
大于
的数将有无数个满足
，B 正确；
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于C，设
为
上任意一点，则
，
由于
，故
，
由于
时，
，故曲线
上任意一点与坐标原点连线的斜率在
时才取到正值，
则
时，
取正值时，
，
取负值时，显然成立；
设
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，故
，
由于
取等号条件和
取等号条件不一致，
故
，C 正确；
对于D，设
，则
，
故
在
上单调递减，则
，则
；
设
，
，
故
在
上单调递减，D 正确，
故选：BCD
三．填空题
12．（2024·河北·三模）已知
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】因为
，
，
所以
，即
，
设
，
，
令
，
，即
在
上单调递增，
令
，
，即
在
上单调递减，
则
，
所以
，
解得
.
故答案为：
.
13．（2024·福建泉州·一模）已知函数
有且只有两个零点，则a 的范围 ．
【答案】
【解析】由函数
，令
，可得
，
即
，因为
，所以
，所以
，
可得
或
，
即
或
，
令
，
，可得
，
，
当
时，可得
，
在
单调递增，且
；
当
时，
且
；
当
时，可得
，
在
单调递减；
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，可得
，
在
单调递增，且
，
又当
时，
，
，
当
时，
且
；
作出函数
的图象，如图所示，
要使得
有两个实数根，即
有两个不同的零点，
结合图象，可得
或
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
14．（2024·四川南充·模拟预测）已知圆
和曲线
相交于两个不同的点，则
的取值范围
为 .
【答案】
【解析】由
可知，
，所以令
，
，
则
，
可得
，
令
，
原题意等价于
在
内有2 个零点，
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
显然
，
若
，
，即
，可得
；
若
，
，即
，可得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
，
当
，即
时， 可得
，
此时
至多只有一个零点，不满足题意；
当
，即
时，则
，
且当
趋近于
或
时，
均趋近于
，
由零点存在性定理可知：
在
内有2 个零点，符合题意；
综上所述：
的取值范围为
.
故答案为：
.
四．解答题
15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
.
(1)若
是函数
的极值点，求
的值，并求其单调区间；
(2)若函数
在
上仅有2 个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
的增区间是
和
，减区间是
；
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
【解析】（1）
，
，得
，
当
时，
，得
或
，
的变化情况如下表所示，
0
0
增区间
极大值
减区间
极小值
增区间
所以函数
的增区间是
和
，减区间是
；
（2）令
，
，
得
，
令
，
，
，得
，
如下表，
1
3
0
减区
间
极小值3
增区
间
因为函数
在
上仅有2 个零点，即
与
有2 个交点，如图：
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
16．（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)
【解析】（1）当
时，
，
故
，
因为
在
上为增函数，
故
在
上为增函数，而
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
处取极小值且极小值为
，无极大值.
（2）
，
设
，
则
，
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
，即
，
所以
在
上为增函数，故
.
当
时，当
时，
，
故
在
上为减函数，故在
上
，
即在
上
即
为减函数，
故在
上
，不合题意，舍.
当
，此时
在
上恒成立，
同理可得在
上
恒成立，不合题意，舍；
综上，
.
17．（2024·广东湛江·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
【答案】(1)
在
上单调递增，
上单调递减，
(2)见解析
【解析】（1）由题意可得
，所以
，
的定义域为
，
又
，由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，则
在
上单调递减，
（2）由
，得
，设
，
，由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
又
，
，且当
趋近于正无穷，
趋近于，
的图象如下图，
所以当
时，方程
有两个根，
证明：不妨设
，则
，
，
设
，
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
，即
，
又
，所以
，
又
，
，
在
上单调递减，所以
，
故
.
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
．
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)若对任意的
都有
，求实数的取值范围；
(2)若
且
，
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由
，
，
得
，
，
当
时，
，
在区间
上单调递增，当
时，
，
在区间
上单调递减，
所以当
时，
的最大值为
．
当
时，
，
在区间
上单调递减，当
时，
，
在区间
上单调递增，
所以当
时，
的最小值为
．
所以
，故实数的取值范围为
．
（2）由
得
，两边取对数并整理，
得
，即
，即
．
由（1）知，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，（技巧：注意对第（1）问结论的应用）
而
，当
时，
恒成立，不妨设
，则
．
记
，
，
则
，所以函数
在
上单调递增，
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，即
，
，
于是
，
，
又
在
上单调递减，因此
，即
，
所以
．
19．（2024·全国·高考真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）
时，
，其中
，
则
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
故
，而
成立，故
即
，
所以
的最小值为
.，
（2）
的定义域为
，
设
为
图象上任意一点，
关于
的对称点为
，
因为
在
图象上，故
，
53
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
而
，
，
所以
也在
图象上，
由
的任意性可得
图象为中心对称图形，且对称中心为
.
（3）因为
当且仅当
，故
为
的一个解，
所以
即
，
先考虑
时，
恒成立.
此时
即为
在
上恒成立，
设
，则
在
上恒成立，
设
，
则
，
当
，
，
故
恒成立，故
在
上为增函数，
故
即
在
上恒成立.
当
时，
，
故
恒成立，故
在
上为增函数，
故
即
在
上恒成立.
当
，则当
时，
故在
上
为减函数，故
，不合题意，舍；
54
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
综上，
在
上恒成立时
.
而当
时，
而
时，由上述过程可得
在
递增，故
的解为
，
即
的解为
.
综上，
.
55
