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数列求和问题过关练习卷-2025 年高考数学一轮复习
一、单选题
1．某旅游景区计划将山脚下的一片荒地改造成一个停车场，根据地形，设计7 排停车位，
靠近山脚的第1 排设计9 个停车位，从第2 排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2
倍减去8，则设计的停车位的总数是（ ）
A．172
B．183
C．286
D．311
2．在数列
中，已知
，
，则它的前30 项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
是递增的等比数列 ，且
，等差数列
满足
，
，
．设m 为正整数，且对任意的
，
，则m 的
最小值为（ ）
A．8
B．7
C．5
D．4
4．数列
的前
项和为
，
，
，设
，则数列
的前51 项之和为（ ）
A．
B．
C．49
D．149
5．已知数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4 个大正方形中，着色的小
正方形的个数依次构成一个数列{an)的前4 项. 记
，则下列结论正确的
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为（ ）
A．
B．
C．
D．与
的大小关系不能确定
7．已知首项为2 的数列
满足
，当
的前
项和
时，则
的最小值为（ ）
A．40
B．41
C．42
D．43
8．如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1 堆只有1 层，且只有
1 个球；第2 堆有2 层4 个球，其中第1 层有1 个球，第2 层有3 个球；…；第n 堆有n 层
共
个球，第1 层有1 个球，第2 层有3 个球，第3 层有6 个球，…．已知
，则
（ ）
A．2290
B．2540
C．2650
D．2870
二、多选题
9．已知函数
满足
，
，
，下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
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C．
时，
D．
10．利用不等式“
，当且仅当x =1时，等号成立”可得到许多与n（
且
）有关的结论，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1 行开始，第n 行从左至
右的数字之和记为
，如
的前
项和记为
，依次去掉
每一行中所有的1 构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为{bn)，{bn)的
前
项和记为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
的前
项和
C．
D．
三、填空题
12．在数列
中，
且
，当
时，
，则
实数
的取值范围为 ．
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13．已知数列
满足
，则其前9 项和
，数列
的前2024 项的和为 ．
14．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名
字定义的函数
称为高斯函数，其中
表示不超过
的最大整数，如
，已知数列
满足
，
，若
为数列
的前
项和，则
．
四、解答题
15．已知数列
，
中，
，
，
是公差为1 的等差数列，数列
是公比为2 的等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
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16．已知数列
满足
．
(1)证明：数列
是等差数列．
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
17．已知数列
是递增的等差数列，它的前三项和为9，前三项的积为15.
(1)求数列
的通项公式.
(2)记bn=
1
(an+1)
2，设数列
的前
项和为
，求证：
.
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18．已知
是等差数列，
是等比数列，且
的前
项和为
，
，
，在①
，②
这两个条件中任选其中一个，完成下面
问题的解答.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，求
.
19．已知
．
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)证明：
．
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
B
D
C
B
D
ABC
ABD
题号
11
答案
BCD
1．B
【分析】设每排停车位的个数构成数列{an)，则
，构造新数列
，可以
证明为等比数列，求出
，再分组求和即可.
【详解】设每排停车位的个数构成数列{an)，则
，即
，
所以数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，所以
，
所以
，所以设计的停车位总数为
.
故选：B.
2．D
【分析】由题意可得
，运用数列的恒等式可得
，再由数列的裂项
相消求和，计算可得所求和．
【详解】解：由
，
可得
，
所以当
时，
，
又
，
所以
，
所以
．
故选：D．
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3．D
【分析】根据已知条件求出
，设
，利用错位相减求出
可得答
案.
【详解】设等比数列{an)的公比为
，
由
得
，①
因为{bn)是等差数列，所以
，
即
，可得
，②
由①②解得
，或
，
因为{an)是递增的等比数列，所以
，即
，
设数列{bn)的公差为
，
由
，
，得
，
，解得
，
，
所以
，
设
，
则
，
两式相减可得
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，所以
，
因为
，所以
，
若
，则
，
可得
，
所以
最小值为4.
故选：D.
4．B
【分析】由
与
的关系，结合等差数列的通项公式求得
，即可得到
，再由并项求和法计算可得．
【详解】因为
，
当
时，
，
即
，
可得
，又
，所以
是以
为首项，为公差的等差数列，
所以
，则
，
当
时
，
所以
，当
时
也成立，
所以
，
可得数列
的前
项之和为
．
故选：B．
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5．D
【分析】由题意可得
，可得数列
是以2 为公比的等比数列，
从而可求出
，进而可求出
.
【详解】因为
，所以
，
由于
，则
，所以
，
所以数列
是以2 为公比，2 为首项的等比数列，
所以
，
所以
，
所以
，
故选：D
6．C
【分析】根据图象的规律，归纳各项，通过放缩结合等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由图分析可知
，
，
，
，
依次类推，
，
所以
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.
故选：
.
7．B
【分析】通过计算得到
为一个周期为4 的数列，从而计算出
，得到答案.
【详解】由题意得
，
，解得
，
同理
，解得
，
，解得
，
，解得
，
故
为一个周期为4 的数列，且
，
故
，
，
故
的最小值为41.
故选：B
8．D
【分析】由题意总结规律得
，再利用累加法求得{an)的通项公式，然后
再进分组求和，建立一个关于
的方程，解方程可得.
【详解】在第
堆中，从第2 层起，第n 层的球的个数比第
层的球的个数多n，
记第n 层球的个数为
，则
，
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得
，
其中
也适合上式，则
，
在第n 堆中，
，
当
时，
，解得
.
故选：D.
9．ABC
【分析】关键利用函数恒等式得到
，和
，从而可以利用数列思想求解并加以判断.
【详解】令
得：
，又因为
，
，
所以
，所以选项A 是正确的；
令
得：
，
因为
，所以由上式得，
，
，
根据递推可得，
，所以选项B 是正确的；
令
得：
，
所以
是等比数列，由
，
可得公比为
，所以
，
所以选项C 是正确的；
，所以选项D 是错误的.
故选：ABC.
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10．ABD
【分析】对于A：令
，代入可得
，运算整理即可；对于B：可
得
，令
，可得
，运算整理即可；对于C：取特值
检验即可；对于D：令
，可得
，结合等比数列求和公式分析证明.
【详解】对于不等式
，当且仅当
时，等号成立，
对于选项A：令
，则
，
可得
，
其中
，
所以
，A 正确；
对于选项B：将x 替换为
，可得
，当且仅当
时等号成立．
令
，可得
，整理可得
，
故
，
即
，
所以
，故B 正确；
对于选项C：令
，可得
，即
，
这显然不成立，故C 错误；
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对于选项D：等价于证明
，
将
中的x 替换为
，其中
，
，则
，即
，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则
，
所以
，故D 正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：对于已知不等式证明不等式的问题，常常利用代换的思想，结合数列
求和进而放缩证明.
11．BCD
【分析】由题意分析出数列{an)为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可．
【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应
的二项式系数，
所以
，所以{an)为等比数列，
，
所以
，故A 错误；
，
故
的前
项和为
，
故B 正确；
去掉每一行中的1 以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3…，构成一个等差数列，
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项数之和为
，则
的最大整数为11，此时
,
杨辉三角中取满了第11 行，第12 行首位为1，
取的就是第12 行中的第3 项，
，故C 正确；
是
中去掉22 个1，再加上第12 行中的第2 项和第3 项，
所以
，故D 正确.
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与
“三角数阵”联系起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解.
12．
【分析】由数列的递推式可得
，求和后结合条件可得
，求出
即可.
【详解】因为
，
，所以
，
当
时，
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
，所以
，解得
.
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
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【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由数列的递推式可得
，然后利用累加
法求和求解范围即可.
13． 45
【分析】第一空方法一由递推关系得到
，即奇数项和偶数项分别称等差数列，
再计算前9 项和；第一空方法二利用每两项和成等差数列，再求出前9 项和；第二空分别
讨论n 为奇数和n 为偶数时求出通项，和前
项和公式，再将
的通项裂项后求和即可.
【详解】方法一：由
得
，
所以
．
又因为
，所以
．
方法二：
．
由题意知
，则
，
当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
，
所以
，
所以数列{an)是首项为1，公差为1 的等差数列，
所以
，
故
，
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所以
，
所以
．
故答案为：45；
.
14．
【分析】由
变形为
，得到数列
是等比数列，
从而得到
，再利用累加法得到
，从而
，再利用裂项相消
法求解.
【详解】解：由
得
，又
，
所以数列
是以4 为首项和公比的等比数列，故
，
由累加法得
所以
，
，
又
，
令
，
，
，
答案第12页，共2页
代入
得
.
故答案为：2025
15．(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列
的通项公式，再根据等比
数列的通项公式计算出数列
的通项公式，即可计算出数列
的通项公式；
（2）根据数列
的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公
式即可计算出前
项和
．
【详解】（1）由题意，可得
，
故
，
，
数列
是公比为2 的等比数列，且
，
，
，
．
（2）由题意及（1），可得
，
则
．
答案第13页，共2页
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16．(1)证明见解析.
(2)
.
【分析】（1）通过构造
证明即可；
（2）采用裂项相消法求解出
即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
化简得
，
所以
为等差数列.
（2）由
，则
为首项为，公差为的等差数列；
所以
，即
，
，
所以
.
17．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意列出方程，求出等差数列的首项和公差即可.
（2）先求数列
的通项，放缩后再裂项求和即可证明.
【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，依题意：{
a1+a2+a3=9
a1a2a3=15 )
所以3a2=9，
，a1a3=5
所以{
a1+d =3
a1⋅(a1+2d)=5)，因为
是递增数列，所以
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所以解得
所以an=1+(n−1)×2=2n−1
（2）bn=
1
(an+1)
2 =
1
(2n+1)
2 =
1
4 n
2+ 4 n+1
<
1
4 n
2+ 4 n
= 1
4
1
n(n+1) = 1
4(
1
n −
1
n+1)
所以T n=b1+b2+...+bn< 1
4(
1
1 −1
2 + 1
2 −1
3 +...+ 1
n −
1
n+1)= 1
4(1−
1
n+1)= 1
4 −
1
4 n+ 4
因为n∈N+，所以
1
4 n+ 4 >0，所以T n= 1
4 −
1
4 n+ 4 < 1
4 得证.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列定义可求得数列{an)的通项公式，利用等比数列定义根据条件
①②列方程组解得公比可得数列{bn)的通项公式；
（2）利用错位相减法求出
.
【详解】（1）设等差数列{an)的公差为
，
∵
，
，
∴
，
∴
.
∴
.
设等比数列{bn)的公比为
，
若选条件①，
，
答案第15页，共2页
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由
，且
，
得
，
∴
，解得
.
所以{bn)是首项为2，公比为2 的等比数列.
故
.
若选条件②，
，
令
，得
，
∴公比
，
∴数列{bn)是首项为2，公比为2 的等比数列.
从而
.
（2）因为
，
所以
，
两式相减，得
，
即
，
所以
.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得
在
上恒成立．构造相应函数后借助导数分类
讨论研究其单调性即可得解；
答案第16页，共2页
（2）由（1）可得当
时，
，
，即可得
，
令
，从而可借助放缩法得到
，最后借助累
加法与裂项相消法计算即可得证.
【详解】（1）
，
恒成立．
设
，
．
当
时，
，
，
为单调递增，
满足题意；
当
时，
，
，
时，即
时，
，
，
为单调递增，
满足题意；
时，即
时，
，使
，
，
，
为单调递减，
，与
在
上恒成立矛盾；
综上可得
．
（2）由（1）知
时，
在
上单调递增，
，
时，
，
由（1）知
时，
时，
，
答案第17页，共2页
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，即
令
，
原不等式得证．
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在与结合（1）中所得，得到当
时，
，
，即可得
，从而可借助放缩法得到
.
