北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
专题九 平面解析几何
备考篇
【考情探究】
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
1.理解直线的倾斜角和斜率的概
念、掌握过两点的直线斜率的计算
公式.
一、直线的 2.能根据两条直线的斜率判定这两 从近几年高考情况来看,
1.直线与圆的问题求解一定要注意数
方程 条直线平行或垂直. 直线和圆主要考查方程
形结合的方法,充分利用圆的几何性
3.掌握直线方程的几种形式(点斜 的求法,常以选择题、填
质解题.
式、两点式及一般式),了解斜截式 空题的形式出现;对于圆
2.恰当选择直线和曲线方程形式,简
与一次函数的关系. 锥曲线,基础题目主要考
化计算.
1.能用解方程组的方法求两条相交 查定义与方程、几何性
3.合理运用消元技巧,涉及直线与圆
直线的交点坐标. 质,特别是双曲线的几何
二、两直线 锥曲线的交点坐标问题,常常“设而
2.掌握两点间的距离公式、点到直 性质(离心率、渐近线)
的位置关系 不求”,利用根与系数的关系解题.
线的距离公式、会求两条平行直线 及抛物线的几何性质.
4.圆锥曲线的弦中点问题的解题技
间的距离. 解答题通常以椭圆及抛
巧:代点相减法(点差法).
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的 物线为背景,考查直线与
5.直线与椭圆或直线与抛物线的位置
标准方程和一般方程. 椭圆的位置关系、直线
三、直线、 关系为基本题型,考查曲线的弦长,动
2.能根据给定直线、圆的方程判断 与抛物线的位置关系、
圆的位置关 点的轨迹方程和有关几何量的求解
直线与圆的位置关系. 弦中点问题、定点问
系 等.掌握基本解题方法:先联立方程(二
3.能根据给定两个圆的方程,判断两 题、定值问题、轨迹问
次方程和一次方程),再把几何条件代
圆的位置关系. 题、取值范围问题、证
数化,最后结合函数、不等式等知识,
1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆 明问题及直线过定点问
解决求值、范围、最值等问题.
四、椭圆、 锥曲线在刻画现实世界和解决实际 题.
双曲线、抛 问题中的作用.
物线 2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定
义、标准方程及简单的几何性质.
【真题探秘】
命题规律
解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,然后应用根与
系数的关系建立方程,把已知几何条件代数化转化为代数问题来解决.
易错警示
(1)设直线方程时,应注意讨论斜率不存在的情况.
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
总结提升
近几年平面解析几何题的呈现形式:第一问往往是求曲线的方程问题;第二问往往是直线与圆锥曲线相结合的问题.常常需
要应用根与系数的关系和判别式.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
圆心与原点距离的最小 转化法
2020北京,5 4 选择题 易 圆的方程 数学运算
值 数形结合法
直线与圆、圆与 数学运算
2020课标Ⅰ理,11 5 选择题 中 直线与圆相切,直线方程 数形结合法
圆的位置关系 逻辑推理
直线与圆的 半径、弦长的一半、 数学运算
2020课标Ⅰ文,6 5 选择题 易 数形结合法
位置关系 弦心距的关系 逻辑推理
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,本专题内容的考题与往年相差不大,考题难度以中档为主,题型主要以选择题、填
空题的形式出现(如2020年新高考Ⅰ卷第9题B选项、课标Ⅰ卷理数第11题),分值一般为5分.
2.本专题内容在高考试题中以考查直线、圆的方程及位置关系为主,常用的解题方法为数形结合法、转化法.
注意待定系数法在求解方程问题中的应用.
3.在处理直线与圆的位置关系及弦长问题时,常利用几何法.
4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理、直观想象.
3.命题变化与趋势
1.2020年高考对本专题内容的考查方式及题目难度变化不大,延续此前的考试风格,突出直线的基础地位.
2.考查内容主要体现在以下方面:①求直线方程与圆的方程;②以直线、圆的位置关系为背景考查与圆有关
的弦长、弦中点、切线以及最值等问题;③以直线、圆及圆锥曲线的融合为背景考查根与系数的关系,整体
代换思想的应用.这些内容依然是高考考查的重点,因此在备考复习之中应加以重视.同时注意数形结合思想
和分类讨论思想在解题中的应用.
4.真题典例
核心考点 (1)直线、圆的方程;
(2)直线与圆、圆与圆的位置关系.
命题要求 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程;
(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;
(3)能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.
知识储备 (1)以线段AB为直径的圆的方程
已知点A(x,y),B(x,y),则以AB为直径的圆的方程是(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0.
1 1 2 2 1 2 1 2
(2)两圆相交时,公共弦所在直线的方程
设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,若两圆相交,则有一条公共弦,两圆方程相减得(D-
1 1 1 1 2 2 2 2 1
D)x+(E-E)y+F-F=0,即为圆C 与C 的公共弦所在直线的方程.
2 1 2 1 2 1 2
思路分析 由题意可判断直线2x+y+2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0相离,根据圆的知识可知,四点A,P,B,M共圆,且
AB⊥MP,根据|PM|·|AB|=4S =4|PA|与|PA|= 可知,当直线MP⊥l时,|MP|最小,也就是|PM|·|AB|
△PAM √|MP|2-4北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
最小,求出以MP为直径的圆的方程,根据圆系的知识可知,直线AB是以MP为直径的圆与圆☉M的公共弦,将
两圆方程相减即可求出直线AB的方程.
命题规律 本章常考题型及方法
(1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定.
(2)利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围.
(3)利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长.
(4)由直线与圆的位置关系判定有关几何量的最值问题.
[教师专用题组]
(5)考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.
1.真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
椭圆、双曲线的 椭圆、双曲线的标准方
多项
2020新高考Ⅰ,9 5 中 定 程、 定义法 数学运算
选择题
义和标准方程 双曲线的渐近线
圆锥曲线的 直线与椭圆的位置 定义法 数学运算
2020新高考Ⅰ,22 12 解答题 难
综合问题 关系、定值(点)问题 分类讨论法 逻辑推理
双曲线的几何性 数学运算
2020天津,7 5 选择题 中 求双曲线的方程 定义法
质 逻辑推理
双曲线的几何性
2020课标Ⅰ理,15 5 填空题 中 双曲线的离心率的求法 公式法 数学运算
质
抛物线的几何性 逻辑推理
2020新高考Ⅰ,13 5 填空题 易 求抛物线过焦点的弦长 公式法
质 数学运算
2020课标Ⅰ,文21,理 圆锥曲线的 逻辑推理
12 解答题 难 椭圆的定值、定点问题 直接法
20 综合问题 数学运算
双曲线的定义 定义法
2020课标Ⅰ文,11 5 选择题 中 求焦点三角形的面积 数学运算
与标准方程 公式法
圆锥曲线的 直线与圆锥曲线的位置
2020北京,20 15 解答题 难 数形结合法 数学运算
综合问题 关系
双曲线的几何性 由标准方程求焦点和渐
2020北京,12 5 填空题 中 公式法 数学运算
质 近线
抛物线的几何性
2020北京,7 4 选择题 易 抛物线的定义 定义法 数学运算
质
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,本专题内容依然为高考热点,考题以中、高难度为主,题型涵盖选择题、填空题和
解答题,分值约为20分.
2.本专题内容在高考试题中命题形式多样,客观题主要考查圆锥曲线的定义(如2020年新高考Ⅰ卷第9题)、
方程和几何性质(如2020年课标Ⅰ卷理数第15题考查求双曲线的离心率),解答题主要考查直线与圆锥曲线
的位置关系及其相关的弦长、弦中点、定点、最值范围等问题.
3.在求解圆锥曲线方程时注意待定系数法与定义法的应用,在解决与圆锥曲线弦中点有关问题时注意点差法
和根与系数的关系的应用.
4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算、直观想象和逻辑推理.
3.命题变化与趋势
1.2020年高考对本章的考查方式及题目难度变化不大,延续此前的考试风格.
2.考查内容主要体现在以下方面:①以圆锥曲线方程为背景考查标准方程的应用(如2020年新高考Ⅰ卷第9
题).②以直线与圆锥曲线的位置关系为背景考查弦长(如2020年新高考Ⅰ卷第13题,可以直接用过抛物线焦
点的弦长公式,也可以用通用的弦长公式求解).③以直线与圆锥曲线的位置关系为载体考查定点、定值,取值
范围以及存在性问题.④以平面几何知识或圆锥曲线相关内容为载体考查动点轨迹方程的求解.这些内容均北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
为高考考查的重点和热点,因此在备考复习中应加强训练,同时在备考时还需要加强对数形结合思想、分类
讨论思想、函数与方程思想在解决圆锥曲线综合问题中的应用.
§9.1 直线方程与圆的方程
基础篇
【基础集训】
考点一 直线方程
1.直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是 ( )
A.[0,π] B.[ π]∪[3 )
0, π,π
4 4
C.[ π] D.[ π]∪(π )
0, 0, ,π
4 4 2
答案 B
2.已知直线l过点(1,2),且在纵轴上的截距为横轴上的截距的两倍,则直线l的方程为 ( )
A.2x-y=0 B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或x+2y-2=0 D.2x-y=0或2x+y-4=0
答案 D
3.(多选题)下列说法正确的是 ( )
x y
A.截距相等的直线都可以用方程 + =1表示
a a
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.经过两点P(x,y),P(x,y)的直线方程为(y-y)(x-x)-(x-x)(y-y)=0
1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1
答案 BD
4.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 .
答案 4x-3y+9=0
考点二 圆的方程
5.已知点A(-2,-1),B(1,3),则以线段AB为直径的圆的方程为 ( )
A.( 1) 2 +(y+1)2=25 B.( 1) 2 +(y-1)2=25
x- x+
2 2
C.( 1) 2 +(y+1)2=25 D.( 1) 2 +(y-1)2=25
x- x+
2 4 2 4
答案 D
6.若a∈{ 3},则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为 ( )
-2,0,1,
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A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
7.已知A(0,√3),B(1,0),O为坐标原点,则△ABO的外接圆方程是 ( )
A.x2+y2-x-√3y=0 B.x2+y2+x+√3y=0
C.x2+y2-x+√3y=0 D.x2+y2+x-√3y=0
答案 A
8.已知△ABC三个顶点是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),则△ABC外接圆的方程为 .
答案 (x+3)2+(y-1)2=25
[教师专用题组]
【基础集训】
考点二 圆的方程
1.(2017广东东莞二模,6)平面内动点P到两点A、B的距离之比为常数λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹叫做阿
1
波罗尼斯圆,若已知A(-2,0),B(2,0),λ= ,则此阿波罗尼斯圆的方程为 ( )
2
A.x2+y2-12x+4=0 B.x2+y2+12x+4=0
20 20
C.x2+y2- x+4=0 D.x2+y2+ x+4=0
3 3
答案 D 由题意,设P(x,y),
则
√(x+2)2+ y2
=
1
,
√(x-2)2+ y2 2
20
化简可得x2+y2+ x+4=0,故选D.
3
x y
2.(2020浙江温州一模,12)已知 + =1与x轴,y轴分别交于点A,B,则|AB|= ;以线段AB为直径的圆
4 2
的方程为 .
答案 2√5;x2+y2-4x-2y=0
解析 本题考查了两点之间的距离公式和利用圆心坐标和半径求圆的方程,属于基础题.
由题意,可得点A(4,0),B(0,2),由两点间的距离公式得|AB|= =2 .
√42+(-2)2 √5
以线段AB为直径的圆,其圆心为(2,1),半径为√5,
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,即x2+y2-4x-2y=0.
一题多解 用向量法求圆的方程:设M(x,y)为所求圆上任意一点,则⃗AM·⃗BM=0,即(x-4)x+y(y-2)=0,即x2+y2-
4x-2y=0.
综合篇
【综合集训】
考法一 求直线的倾斜角和斜率北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1.(2019湖南长沙长郡中学月考,5)已知点(-1,2)和(√3 )在直线l:ax-y+1=0(a≠0)的同侧,则直线l的倾斜角
,0
3
的取值范围是 ( )
A.(π π) B.( π)∪(3 )
, 0, π,π
4 3 3 4
C.(3 5 ) D.(2 3 )
π, π π, π
4 6 3 4
答案 D
2.(2020广西玉林期末,7)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是
( )
1 1
A.-1<k< B.k>1或k<
5 2
1 1
C.k> 或k<1 D.k> 或k<-1
5 2
答案 D
3.(2020百所名校单元示范卷(五),13)直线l经过A(2,1),B(1,m2),m∈R两点,那么直线l的倾斜角α的取值范围
为 .
答案 [ π]∪(π )
0, ,π
4 2
考法二 求直线的方程
4.(2020山西大同重点中学第六次模拟,7)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位
于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知
△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为 ( )
A.x-2y+3=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-3=0 D.2x-y-3=0
答案 D
5(2020豫西五校5月联考,5)过点P(1,2)作直线l,若点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则直线l的方程为 (
)
A.4x+y-6=0或x=1 B.3x+2y-7=0
C.4x+y-6=0或3x+2y-7=0 D.3x+2y-7=0或x=1
答案 C
6.(多选题)(2020山东聊城一中月考,10)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l方程可
能为( )
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y-1=0
答案 ABC
考法三 对称问题
7.(2020河南郑州二模,4)圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.(x+3)2+(y+2)2=4 B.(x+4)2+(y-6)2=4
C.(x-4)2+(y-6)2=4 D.(x+6)2+(y+4)2=4
答案 C
8. (2020甘肃民勤一中期末,8)如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线
OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A.2√5 B.3√3 C.6 D.2√10
答案 D
9.(2019豫南九校第四次联考,14)已知△ABC的一个顶点A(2,-4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为
x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在直线的方程为 .
答案 x+7y-6=0
考法四 求圆的方程
10.(2020重庆育才中学3月月考,7)圆C是以直线l:(2m+1)x+(m+1)y+2m=0上的定点为圆心,4为半径的圆,则
圆C的方程为 ( )
A.(x+2)2+(y-2)2=16 B.(x-2)2+(y-2)2=16
C.(x-2)2+(y+2)2=16 D.(x+2)2+(y+2)2=16
答案 A
11.(2020陕西西安中学4月周考,5)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长为6,则圆C的方
程为( )
A.x2+y2-2x-4y-8=0
B.x2+y2+2x-4y-8=0
C.x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
D.x2+y2+2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
答案 C
12.(2019福建漳州八校期中联考,14)已知圆心在直线x-2y-3=0上,且圆经过点A(2,-3),B(-2,-5),则该圆的方程为
.
答案 x2+y2+2x+4y-5=0(或(x+1)2+(y+2)2=10)
13.(2019湖北1月联考)过点A(0,1)和B(1,2),且与x轴相切的圆的方程为 .
答案 (x-1)2+(y-1)2=1或(x+3)2+(y-5)2=25
[教师专用题组]
【综合集训】
考法三 对称问题
1.(2017河北五校联考,5)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为 (
)
A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0
