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第5 题 依“法”解决数列新定义 （解透一题）
【山东青岛2024-2025 学年高三年级调研检测T11】
（多选题）设数列
和
的项数均为
，称
为数列
和
的距离．记满
足
的所有数列
构成的集合为
．已知数列
和
为
中的两个元素，
项数均为
，则下列正确的有（ ）
A．数列
和数列
的距离为4
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，数列
和
的距离小于2017，则
的最大值为3456
本题数列题将“新”溶于命题之中.通过定义一个两数列的距离这一新概念来创设问题情境
考察数列知识.数列是高中数学的一个重要知识，也是高等数学如常微分方程组合数学的基
础，既是特殊的函数，也能构成各种各样的递推关系.属于高考数学中必考查的内容之一，
对于新定义问题，要求我们在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，
依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列题迁移到等差、等
比或递推数列的知识上来，从而解决问题.
本题给定一个新信息，数列
和
的距离，要求我们通过认真阅读理解、
观察分析，并与已有认知结构中的知识进行同化，探索获取有用的信息，从而创造性地解
决问题.对于选项A，直接套用定义约定验证即可;对于B 选项，题目给出 一分式递推关系，
根据初始条件和递推公式，计算出前几项， 再通过这几个特殊项归纳出通项公式，.在选
择题中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算.值得注意，需要关注选项对知识考察的暗
示. 从选项提示来看，需判B 选项，要关注
的前n 项的积，证明或反驳
时，
的取值与初始项无关.对于选项C，由于递推关系没有给出初
始项， 说明初始项可以任意，故可以思考反例排出；对于选项D 结合选项B 归纳的结论
套用约定解决.
对于A，数列1，3，5，7 和数列
的距离为
，（提醒：
套用定义约定）A 正确；
对于B，由
得，
，
，
，
，
因此数列
中的项周期性重复，且间隔4 项重复一次，即
满足
，
，
，
，
，
，可以判断B 正确；
对于C，举反例，取
，则
，当
时，，
，
不
成立，故C 错误；
对于D，由B 分析知，若
，
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故满足数列
和
的距离小于2017 的
的最大值为3456，D 正确．
所以，答案为ABD.
本题是一道数列相关的新定义试题，解题关键是掌握新定义的本质，借助新定义的数列的
特征，向已掌握的数列知识转化.解题的突破点是正确理解与运用新的概念、新的运算或新
的关系的意义，理解新符号，转化为熟悉的内容，利用相关知识进行.值得注意的是，对于
，我们可以深入研究”对于连续函数
，若
，则称
为
的不动点. 分式函数型
的通项公式的求解，构造函数
，并令
， 求出
的不动点.若
有 2 个不动点，则用
两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除构造等比数列来求通项公式;
若
只有 1 个不动点，则用
两端减去该不动点，再取倒数，构造等
差数列求通项; 若
没有不动点，则在考题中，
往往是周期较小的周期数列，
直接根据首项和递推公式
求出前几项找规律即可. 本题就对这一性质进行
编制考察.
新定义型试题主要目的是考查考生在短时间内以最快速度理解、接受并运用新知识解决数
学问题能力，给出等和数列的概念，类题如下：
【典型例题】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一
个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．若数列
是等和数
列，且
，公和为3，则这个数列的前n 项和
的计算公式为 ．
【思路导引】根据等和数列定义可写出通项公式，分
为奇数偶数求和即可.
【详细解析】
由
，公和为3 知
，
当n 为偶数时，
，
当
，n 为奇数时，
为偶数，
，
代入检验知
时也成立，∴
.
【举一反三】
1．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那
么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列
是等积数列且
，前61 项的和为113，则这个数列的公积为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．8
【答案】A
【解析】先由题意，记
（
为常数），得出
，即数列
是以
为周期
的数列，
再由题中条件求出
，即可求出公积.
【详解】由题意，记
（
为常数），
则
，所以
，即
，
所以数列
是以
为周期的数列，
又其前61 项的和为113，
所以有
，因为
，
所以
，因此
.
故选：A.
【点睛】本题主要考查数列周期性的应用，属于基础题型.
形如
的分式型递推数列求解通项公式问题， 是高考数列试题中的难点. 故
而高考在考查此类问题时，通常先给出辅助数列
，通过求辅助数列的通项，进而再
求
的通项. 显然这里的辅助数列是求解最终目标的通项的一座“桥”.
【典型例题】设
，则数列
的通项公式
_____.
【思路导引】此题给出的递推公式
属于“
”型，试题中给出了
“桥”
， 通过这座“桥”，可以进一步求出
的通项.
【详细解析】
由条件得
，且
，所以数列
是首项为4，
公比为2 的等比数列，则
．
【举一反三】
2．已知数列
中
（Ⅰ）求
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
中
，证明：
【答案】（Ⅰ）
的通项公式为
，
（Ⅱ）证明见解析
【分析】（Ⅰ）利用构造等比数列的方法求解数列
的通项公式；（Ⅱ）利用数学归纳
法，证明
和
时不等式均成立.
【详解】（Ⅰ）由题设：
，即
．
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
∴
，即
，
即
的通项公式为
，
．
（Ⅱ）用数学归纳法证明：
（ⅰ）当
时，因
，
，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当
时，结论成立，即
，
也即
．
当
时，
又
，
所以
，
也就是说，当
时，结论成立.
根据（i）和（ii）知
【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问
题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算
的
不一定为1，而是根据题目要求选择合
适的起始值．第(2)步，证明
时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就
不是数学归纳法.
3．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那
么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列
是公积不为0 的等积
数列，且
，前7 项的和为14.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．公积为1
D．
【答案】AB
【分析】根据等积数列的定义，可判断A 的正误，根据条件，代入数据，可判断B、C 的
正误，分别讨论n 为奇数和偶数，可判断D 的正误，即可得答案.
【详解】设该等积数列的公积为m（m 为常数，
），
根据等积数列的定义可得
，
所以
，即
，故A 正确；
则
，
又
，则
，
又前7 项的和为14，则
，解得
，即公积为2，
所以
，故B 正确，C 错误，
当n 为奇数时
，当n 为偶数时
，故D 错误
故选：AB
4．设正整数
，其中
，记
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用
的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.
【详解】对于A 选项，
，
，
所以，
，A 选项正确；
对于B 选项，取
，
，
，
而
，则
，即
，B 选项错误；
对于C 选项，
，
所以，
，
，
所以，
，因此，
，C 选项正确；
对于D 选项，
，故
，D 选项正确.
故选：ACD.
5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那
么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列
是等和数列，且
，公和为5，那么
的值为 ，且这个数列的前21 项和
的值为
．
【答案】 3 52
【分析】由题意得
对任意的
恒成立，从而可求数列
的通项公式，从
而可求
与
.
【详解】根据“等和数列”的定义及公和为5，可得
对任意的
恒成立.
因为
，所以
.
所以
.
所以
.
故答案为:3;52.
6．已知数列
的首项
，
，
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)是否存在互不相等的正整数
，，
，使
，，
成等差数列，且
，
，
成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据
中给出递推公式，先取倒数再配凑的方法，就可以得到数列
是等比数列，进而求解.
（2）先假设存在，利用等差中项性质得到
，等比中项性质得到
，
再根据基本不等式发现
时等式成立，但题中条件是
，，
互不相等，从而得到结
论.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
取倒得
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
是
，
的等比数列，
所以
．
（2）假设存在，则
，
，
由（1）得
，
所以
，
化简得
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
又
，，
互不相等，
所以
，即不存在符合条件的
，，
.
7．若数列
和
的项数均为
，则将数列
和
的距离定义为
.
(1)求数列1，3，5，6 和数列2，3，10，7 的距离；
(2)记A 为满足递推关系
的所有数列
的集合，数列
和
为A 中的两个
元素，且项数均为
.若
，
，数列
和
的距离
，求m 的最
大值；
(3)记S 是所有7 项数列
（其中
，
或1）的集合，
，且T 中的任何
两个元素的距离大于或等于3.求证：T 中的元素个数小于或等于16.
【答案】(1)7
(2)3469
(3)证明见详解
【分析】（1）由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离；
（2）由题意分析可知 A 中数列项的周期性，可得
结合周期性求得m 的最大
值；
（3）假设T 中的元素个数大于等于17 个，设出
，最终求得
和
中必有一个成立，与已知矛盾即可得解.
【详解】（1）由题意可知：数列1，3，5，6 和数列2，3，10，7 的距离为
.
（2）设
，其中
，且
，
因为
，则
，
，
，
，
则有A 中数列的项呈周期性重复，且间隔4 项重复一次，
在数列
中，
；
在数列
中，
；
因为
，可知
，
即项数m 越大，数列
和
的距离越大，
由
得：
，
可知：若
时，
；
又因为
，
可知：若
时，
；
综上所述：所以m 的最大值为3469.
（3）假设T 中的元素个数大于等于17 个，在数列
中，
，
则仅由数列前三项组成的数组
有且仅有8 个：
，
那么这17 个元素(即数列)之中必有三个具有相同的
，
设这个数列分别为
；
；
，
其中
，
因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，则在
和
中，
中至
少有三个成立，
不妨设
，由题意，
中一个等于0，而另一个等于1，
又因
或1，于是得
和
中必有一个成立，
同理可得：
和
中必有一个成立，
和
中必有一个成立，
即“
中至少有两个成立”或“
中至少有两个成立”中必有
一个成立，
从而得
和
中必有一个成立，与T 中任何两个元素的距离大于或等
于3 矛盾，即假设不成立，
所以T 中的元素个数小于或等于16.
【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列
结合新定义探求数列的相关性质，并合理地运用计算、分析、推理等方法综合解决.
