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专题13 导数中单调性和恒成立问题
1．若函数
在
上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数
在
上单调递减，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
是增函数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．“函数
在
上是增函数”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知函数
，则“
”是“
在
上单调递增”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知
在
上递增，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
在定义域内单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若函数
在
上单调递减，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知
在
上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．若函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．函数
在
单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．“a≤-1”是“函数f(x)=ln x-ax 在[1,+∞)上为单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．设
，
函数
在
上是减函数，则
是
的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
《专题13 导数中单调性和恒成立问题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
B
B
A
A
C
D
D
题号
11
12
13
14
15
16
答案
A
B
D
D
A
A
1．C
【分析】由题意得
在
上恒成立，再次转化为
在
上恒成立，从而
可求出的取值范围.
【详解】由
，得
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，所以
，
即的取值范围为
.
故选：C
2．A
【分析】利用导数，依题意只需使
在
上恒成立，参变分离后，求出正弦型函数
的值域即得.
【详解】由题意，
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
因函数
在
上的值域为
，故得
.
故选：A.
3．B
【分析】由题可得
在
上恒成立，据此可得答案.
【详解】
，由题，
，
即
在
上恒成立，
则
.
对于函数
，
其在
上单调递减，在
上单调递增.则
。
故选：B
4．B
【分析】由函数是增函数得
在
上恒成立，即
，所以有
，从
而得解．
【详解】由题意可得，
恒成立，所以
，解得
．
故选；B
5．B
【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于
0，即可求解.
【详解】依题意
在区间
上恒成立，即
在区间
上恒
成立.
令
，则
，所以
在
上单调递增，
则
，所以
.
故选:B.
6．A
【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知
在区间
上恒成立，即可
由定义域及不等式求得
的取值范围.
【详解】函数
，
.
则
，
因为
在区间
上单调递减，
则
在区间
上恒成立，即
，
所以
在区间
上恒成立，
所以
，解得
，
故选：A.
7．A
【分析】求导，根据导数恒大于等于0 可得a 的范围，然后判断可得.
【详解】因为函数
是增函数，
所以
恒成立，即
恒成立，
所以
反之
，函数的导数不一定大于0.
故“函数
在
上是增函数”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
8．C
【分析】求得
在
上单调递增的充要条件即可判断.
【详解】由题
若
在
上单调递增，则
恒成立，
即
，
故“
”是“
在
上单调递增”的必要不充分条件
故选:
.
9．D
【分析】利用导数与单调性的关系转化为不等式恒成立问题，进而分离参数可求
的取值
范围.
【详解】根据题意，在
上
恒成立，即
恒成立，
易知，当
时，
，
所以，使得
恒成立，则
.
故选：D.
10．D
【分析】求出函数的导函数，依题意可得
在
上恒成立，参变分
离可得
在
上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】
的定义域为
，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，因为函数
，
所以当
时
取得最大值9，
所以
，即
的取值范围是
.
故选：D.
11．A
【分析】等价转化为
在
上恒成立，计算即可.
【详解】由题可知：函数
在
上单调递减，则
在
上
恒成立，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，所以
.
故选：A
12．B
【分析】求导，利用单调性得到
在
上恒成立，求出实数a 的取值范围.
【详解】由
可得
，
由题意得
，即
在
上恒成立，而
，故
．
故选：B
13．D
【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求
的取值范围.
【详解】
，
当
，解得：
，
由条件可知
，
所以
，解得：
.
故选：D
14．D
【分析】求出导函数
，由于函数
在区间
单调递增，可得
在区间
上恒成立，求出
的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解.
【详解】由题得
，
函数
在区间
单调递增，
在区间
上恒成立．
，
而
在区间
上单调递减，
．
选项中只有
是
的必要不充分条件. 选项AC 是
的充分不必要条件，选项B 是充
要条件.
故选：D
15．A
【分析】先根据函数单调性求a 的范围，再根据两个范围确定充要关系.
【详解】因为函数f(x)=ln x-ax 在[1,+∞)上为单调函数，
所以
在[1,+∞)上恒成立或
在[1,+∞)上恒成立，
即
或
，
从而
或
因为“
”是“
或
” 充分不必要条件，
所以“a≤-1”是“函数f(x)=ln x-ax 在[1,+∞)上为单调函数”的充分不必要条件，
故选：A
【点睛】本题考查判断充要关系、利用导数研究函数单调性，考查综合分析求解能力，属
中档题.
16．A
【详解】试题分析：若
为真,则
,解得
．若
为真,
在
上恒成立,则
,解得
,所以
是
的充
分不必要条件．故选A．
考点：充分必要条件．
