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【培优点22：切线放缩+割线放缩+切线夹】
【知识拓展】
切线放缩的核心是“以直代曲”，即利用函数在某定点处的切线替代函数本身进行不等关系转化.以下梳
理高考高频切线放缩不等式，涵盖指数、对数、三角函数、幂函数等四大类，附推导过程、变形形式及等
号成立条件.
1.1 指数函数类（核心函数：
）
指数函数
是下凸函数（
），其图象始终在任意点切线的上方，常见切线放缩不等式如下：
基础不等式1：
推导：取切点
，
，切线斜率
，切线方程为
.因函
数下凸，故
，等号成立条件：
.常见变形：①替换
，得
（等号：
）；
②替换
，得
（即
，等号：
）.
基础不等式2：
推导：取切点
，切线斜率
，切线方程为
.因函
数下凸，故
，等号成立条件：
.常见变形：替换
（
），得
（即
，可与对数类不等式呼应）.
拓展不等式：
（二阶切线放缩）推导：取切点
，利用泰勒展开一阶近似（本质是二次
切线拟合），适用于需更高精度放缩的场景，等号成立条件：
.
1.2 对数函数类（核心函数：
）
对数函数
是上凸函数（
），其图象始终在任意点切线的下方，常见切线放缩不等式
如下：
基础不等式1：
推导：取切点
，
，切线斜率
，切线方程为
.因函数上
凸，故
，等号成立条件：
.常见变形：①替换
（
），得
（即
，等号：
）；②替换
（
），得
（等号：
）；③替换
（
），得
（即
，等号：
）.
基础不等式2：
推导：取切点
，切线斜率
，切线方程为
.因函数上
凸，故
，等号成立条件：
.
拓展不等式：
（
）推导：取切点
，构造割线辅助验证，适用于
的对数不等
式证明，等号成立条件：
.
1.3 三角函数类（核心函数：
、
、
）
三角函数的切线放缩主要适用于
区间，利用图象凹凸性推导，常见不等式如下：
核心不等式1：
（
）推导：函数
在
处切线为
，因
（
），函数上凸，故
，等号成立条件：
.
核心不等式2 ：
（
）推导：函数
在
处切线为
，因
（
），函数下凸，故
，等号成立条件：
.
核心不等式3：
（
）推导：函数
在
处切线为
，利用三角函
数二倍角公式验证，等号成立条件：
.
记忆技巧：结合图象，
是
和
在原点处的公切线，在
区间内，
，可通过图象快速联想.
1.4 幂函数与组合函数类
幂函数及指数、对数组合函数的切线放缩在高考中高频出现，核心不等式如下：
1.函数
：
，
（
）推导：①取切点
，切线方程为
，
故
（等号：
）；②由
两边乘
（
），得
（等号：
）.
2.函数
：
推导：取切点
，切线方程为
，函数最大值为
，故
（等
号：
）.
3.函数
：
推导：由
变形得
，两边加
得
，等号
成立条件：
.
二、核心原理拓展：切线放缩的本质与适用场景
2.1 与函数凹凸性的关联
切线放缩的理论基础是函数凹凸性：
下凸函数（
）：图象在任意切线之上，即
（如
、
）；
上凸函数（
）：图象在任意切线之下，即
（如
、
）.
高考中需快速判断函数凹凸性，进而选择正确的放缩方向.
2.2 切线放缩的核心技巧：精准选切点
切点选择直接决定放缩成败，常见选择原则：
优先选函数零点、极值点（如
选
，
选
）；
选使得切线方程简洁的特殊点（如
选
、
）；
结合待证不等式的结构选切点（如证明
，分别对
选
，
选
）.
2.3 切线夹与割线夹的原理回顾
切线夹：通过两条切线界定超越方程根的范围（放大根差）；割线夹：通过两条割线界定根的范围（缩小
根差），二者合称“剪刀模型”，核心是利用一次函数根的可解性替代超越方程根的不可解性.
【热点题型1：切线放缩证明不等式】
【核心归纳】
核心归纳：证明含超越函数的不等式时，优先用常见切线放缩不等式将超越函数转化为一次函数或二次函
数，再通过代数变形验证.
方法总结：①拆分函数：将待证不等式拆分为多个可放缩的超越函数项；②选对放缩式：根据函数类型匹
配常见放缩不等式；③验证等号条件：确保所有放缩的等号条件一致（否则需调整放缩策略）.
（2025 高三·全国·专题练习）证明：当x ≥0时，e
x+(2−e) x ≥xln(x +1)+1．
（2025 高二·全国·专题练习）当x ≥0时，证明：xe
x+ 1
2 sin 2 x ≥2sin x +sin
2 x．
（24-25 高三上河北保定期中）已知函数f (x)=e
x+sin x−2 x , g(x)=2−cos x.
(1)已知直线x−y +a=0是曲线y = g(x), x∈[0,π)的切线，求实数a 的值；
(2)求函数f (x)的单调区间；
(3)求证：f (x)≥g(x)恒成立.
（24-25 高三上天津静海月考）已知函数f (x)=e
x+cos2 x +2 x
2+ x−2.
g(x)=aln x + x
2−(a+2) x，其中a∈R.
(1)求f (x)在x =0处的切线方程；
(2)讨论函数g(x)的单调性；
(3)求证：f (x)≥ln(2 x +1).
【热点题型2：切线放缩求参数】
【核心归纳】
核心归纳：恒成立问题中，利用切线放缩可将含参数的超越函数不等式转化为含参数的一次函数不等式，
简化参数讨论.
方法总结：①放缩减元：用常见不等式消去三角函数、对数等难处理项；②临界分析：找到参数的临界值
（如本例中
）；③验证边界：对临界值两侧的参数取值验证是否满足条件.
讲解与常考题型
题型分类
经典例题
例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
（25-26 高三上·河南周口·月考）已知函数f (x)= ln x−ax +a．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若关于x 的不等式f (x)≤0恒成立，求a 的值；
(3)证明：对一切的x∈[1,+ ∞)，都有2 xe
x ln x−x
3−x
2+2≥0．
（2025·河北沧州·一模）已知函数
f (x)=ae
x−ln x−cos(x−1)(a≥0), g(x)=ln x−bx +1(b∈R).
(1)若b=2，求g(x)的极值；
(2)若g(x)≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求b的取值范围；
(3)若f (x)存在零点，求a的取值范围.
（2024 高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=ae
x−1−ln x +lna．若f (x)≥1，求a
的取值范围．
（25-26 高三上·河北邢台·期中）已知函数f ( x)=e
x−x −1．
(1)求曲线y = f ( x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)判断函数f ( x)的单调性并求其最值；
(3)若不等式f ( x)−k x
2≥0对∀x∈[0,+∞)恒成立，求实数k的取值范围．
【热点题型3：切线夹的应用】
【核心归纳】
核心归纳：切线夹的关键是构造“上下界切线”，将超越方程的根转化为一次方程的根，实现根差的放缩.
方法总结：①找关键切点（零点、极值点）；②证函数与切线的位置关系；③求切线与定直线交点；④利
用位置关系放缩根的范围.
（24-25 高三上山东泰安期中）已知函数f (x)=(x−1)ln (x +1)，曲线y = f (x)在点
(1,0)处的切线方程为y =kx +b(k ,b∈R).
(1)求k，b的值；
(2)证明：f (x)≥kx +b；
(3)若函数g(x)= f (x)+m(m∈R)有两个零点x1，x2，证明：|x2−x1)≤1−m−m
ln 2.
（23-24 高二下广东梅州期末）已知函数f ( x)=( x +b)(e
x−a)(b>0)在点
P(0,f (0))处的切线方程为：y = x.
(1)求实数a，b 的值；
经典例题
例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
经典例题
例题
小试牛刀1
(2)证明：f ( x)≥(
1
e −1)(x +1)；
(3)若方程f ( x)=m有两个实数根x1, x2,且x1< x2，证明：x2−x1≤1+ m(1−2e)
1−e
.
（2024 山东模拟预测）已知函数f ( x)= x ln x−a( x−1)，其中a∈R.
(1)求函数f ( x)的单调区间；
(2)当a=0时，
①证明：f ( x)≥−x−1
e
2；
②方程f ( x)=m有两个实根x1, x2，且x2> x1，求证：x2−x1<1+ 1
e
2 +2m.
（2025 高二·全国·专题练习）已知f ( x)=e
x−ax，当a=2时，若关于f ( x)=t的方
程有两个实数根x1< x2，求证：x2−x1<3t −1．
【热点题型4：割线放缩及割线夹】
【核心归纳】
核心归纳：割线放缩适用于“根差大于某表达式”的证明，通过割线缩小根的范围，与切线夹形成互补.
方法总结：①选极值点、零点构造割线；②证函数与割线的位置关系；③求交点并放缩根差.
（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=ln x
x
与y =a有两个交点，交点横坐标分
别为x1，x2，且x1< x2．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：x2−x1>−2ae+2；
（2024 浙江杭州一模）已知函数f (x)=axln x−x
3−1.
(1)若a=1，求f (x)的单调区间;
(2)若0≤a≤3，求证:f (x)<0;
(3)若h(x)= f (x)+ x
3+1
a
，∃x1≠x2使得h(x1)=h(x2)=b，求证:be+1<|x1−x2)<b+1.
（23-24 高三上黑龙江哈尔滨开学考试）已知函数f (x)= xln x
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若a≤−2，证明:f (x)≥ax−e
−3在(0，+ ∞)上恒成立；
(3)若方程f (x)=b有两个实数根x1，x2，且x1< x2，
小试牛刀2
小试牛刀3
经典例题
例题
小试牛刀1
小试牛刀2
求证:be+1< x2−x1<e
−3+2+3b
2
.
（24-25 高三下河南月考）已知函数f (x)= x ln x，g(x)= 2f (x)
x
−x + 1
x ．
(1)求函数g(x)的单调区间；
(2)若方程f (x)=m的根为x1、x2，且x2> x1，求证：x2−x1>1+em．
1.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)=2k sin x−x
2+2π x−a，其中a，k ∈R.
(1)当a=0，k =1时，求f (x)在(0,f (0))处的切线方程；
(2)当a=0时，求证：k ∈[−1,1)是满足“f (x)在[0,2π)上存在2 个零点”的一个充分不必要条件；
(3)当k =1时，若函数f (x)有两个零点x1，x2(x1< x2)，求证：1−π
2
π
(x2−x1−2π)≥a.
2.（2025 高二·全国·专题练习）已知函数f ( x)= x ln x，函数h( x)=|f ( x)|−b有3 个不同的零点x1，x2，
x3(x1< x2< x3)
(1)求证：x1
2+ x2
2> 2
e
2 ；
(2)求证：
❑√1+2b−❑√1−2b< x3−x2<be（e=2.71828⋯是自然对数的底数）．
3.（2025 高二·全国·专题练习）知函数f ( x)= x(t −ln x)，t ∈R．
(1)讨论函数f ( x)的单调区间；
(2)当t =1时，设x1，x2为两个不相等的正数，且f (x1)= f (x2)=a，证明：x1+ x2>a(2−e)+e−1
e ．
4.（2025 高二·全国·专题练习）已知f ( x)=e
x(1−x)．
(1)求函数g( x)= f ( x)+e x−e的最大值；
(2)设f (x1)= f (x2)=t，x1≠x2，求证：x1+ x2<2t −t
e −1．
5.（2025 高二·全国·专题练习）已知函数f ( x)= x ln x．
(1)若a≤−2，证明：f ( x)≥ax−e
−3在(0,+ ∞)上恒成立；
(2)若方程f ( x)=b有两个实数根x1，x2，且x1< x2，求证：be+1< x2−x1<e
−3+2+3b
2
．
6.（2025 高二·全国·专题练习）已知函数f ( x)= x ln x，g( x)= 2f ( x)
x
−x + 1
x ．
(1)求函数g( x)的单调区间；
(2)若方程f ( x)=m的根为x1、x2，且x2> x1，求证：x2−x1>1+em．
7.（2025 高二·全国·专题练习）已知函数f ( x)=( x−a)ln x−x，a∈R．
小试牛刀3
课后针对训练
(1)若函数f ( x)在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)设x1，x2(x1< x2)是f ( x)的两个极值点，证明：
（i） ln x1+ ln x2<−2；
（ii）x2−x1<e
−2+2a+1．
8.（2025 高二·全国·专题练习）已知函数f ( x)= 4 x−x
4，x∈R．
(1)求f ( x)的单调区间；
(2)设曲线y = f ( x)与x 轴正半轴的交点为P，曲线在点P 处的切线方程为y = g( x)，求证：对于任意的实
数x，都有f ( x)≤g( x)；
(3)若方程f ( x)=a（a 为实数）有两个实数根x1，x2，且x1< x2，求证：x2−x1≤−a
3 + 4
1
3．
9.（25-26 高三上·河北·期中）已知函数f (x)= 1
2 x
2−ax +aln x +1(a∈R).
(1)讨论函数f (x)的极值点个数；
(2)当a=1时，证明：f (x)−1
2 x
2+2 x ≤xe
x +1−1；
(3)函数h(x)= f (x)−1
2 x
2+2aln x−1有两个零点x1, x2，求证：x1 x2>e
2.
10.（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数f (x)= ln x−ax.
(1)若f (x)≤0，求实数a的取值范围；
(2)证明：e
x+ x
2>2sin x + x ln x +1；
(3)若函数h(x)=|xf (x))+1在x∈(1,e)时有最小值，求正实数a的取值范围.
11.（2025·甘肃白银·二模）若曲线y = xe
x−ln x−1恒在直线y =ax的上方，则实数a 的取值范围是
．
12.（2025·河南信阳·模拟预测）若函数f (x)= ae
x
x −x +ln x−lna的最小值为1，则实数a的取值范围为
.
13.（2025·重庆·三模）已知f (x)=e
x−a，g(x)= ln (x +a)， f (x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是
.
