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第04讲 基本不等式
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．用基本不等式求最值
用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等.
(1)a，b是正数；
(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2；
②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
一．由基本不等式比较大小
例1．（1）若 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B． C． D．（2）设 (其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是（ ）
A．P<N<M B．N<P<M
C．P<M<N D．M<N<P
（3）设 ， ， ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【复习指导】：比较大小有以下几种方法：
（1）利用函数单调性比较大小；
（2）中间量法比较大小；
（3）作差法、作商法比较大小.
二．利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法
例2．（1）当x>1时，求2x＋的最小值；
（2）已知 ，求 的最小值.
（3）已知 ，求函数 的最大值．
（4）已知函数f(x)＝(x<－1)，则( )
A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值－4
C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值－4
命题点2 常数代换法
例3．（1）若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
（2）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
（3）已知非负实数 ， 满足 ，则 的最小值为______________.
命题点3 消元法
例4．（1）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
（2）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，求xy的最大值．
（3）若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
【复习指导】：(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三
是消元法．
在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再
使用基本不等式求解．
命题点4 建立求解目标不等式求最值
例5．（1）已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是( )
A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2
C．1<a＋b<4 D．a＋b>4
（2）正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
（3）正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________．【复习指导】：利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最
值．
三．基本不等式的综合应用
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例6．（1）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，
则 的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D．
（2）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
（3）在 中，角 所对边长分别为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（4）（多选）设正项等差数列 满足 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
命题点2 求参数值或取值范围
例7．（1）对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为( )
A. B．2 C．4 D.（2）若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cos A的最小值是( )
A. B. C. D.
（3）若 使得不等式 成立，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
（4）已知正实数a、b满足 ，若 的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用
常数代换法求最值．
(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或
范围．
1．已知 ， .设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则x､y､z的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．下列不等式中，一定成立的是（ ）A． B．
C． D．
4．已知 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．设实数 满足 ，函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
6．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 相交于点 不重
合），
则 面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
7．在 中， ， ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．9．若正实数 ， 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，则 不可能满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
12．若对任意 ， 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知实数 , ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在 中， 为 上一点， ， 为 上任一点，若 ，则
的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．1215．已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．8
16．若两个正实数x，y满足 ，且不等式 恒成立，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
17．已知 且 ，若 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． } C． D．
18．若正数 、 满足 ，若不等式 的恒成立，则 的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
19．设 是 与 的等差中项，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C．9 D．
20．过定点A的直线 与过定点 的直线 交于点 与 不重合），
则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．421．已知F是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于A，B两点，且
，
则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
60．已知函数 设 ，若关于x的不等式 在R上恒成立，则a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
22．（多选）已知 、 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
23．（多选）已知 ，且 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为9
C． 的最小值为 D． 的最大值为224．（多选）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
25．（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
26．（多选）已知 ，则a，b满足下列关系的是（ ）
A． B． C． D．
27．已知 则当a的值为________时 取得最大值.
28．已知 ， ，且 ，则 的最大值为____________．
29．已知 为正实数，则 的最小值为__________．
30．函数 的值域是_______．31．已知非负实数 ， 满足 ，则 的最小值为______________.
32．已知ab＞0，a+b＝3，则 的最小值为_____．
33．设 ，则 的最小值为______.
34．已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的范围是______.
35．已知a，b都是正数，且 ，则ab的最大值是________， 的最小值是________.
36．已知 ，且 ，则 的最小值为_____________.
37．已知 ， ，且 ，则 最小值为__________．
38．已知 ，且 ，若不等式 恒成立，则实数m的取值范围
______．39． 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ，则 的取值范围是
___________.
40．在 中，角 的对边分别为 .若 ，则 的最小值是___________.
41．已知 分别为 三个内角 的对边， ，且 ，
则 面积的最大值为____________．
42．直线 分别交 轴､ 轴的正半轴于 ､ 两点，当 面积最小时，直
线 的方程为___________.
43．解答下列各题．
（1）若 ，求 的最小值．
（2）若正数 ， 满足 ，求 的最小值．
（3）若正数 ， 满足 ，求 的取值范围．
44．（1）已知 ，求 的最小值；
（2）若 ，求 的最大值．45．（1）当 时，求 的最小值；
（2）当 时，求 的最小值．
46．设函数 .
(1)解关于x的不等式 ；
(2)当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围.
47．已知函数 ．
（1）关于 的不等式 的解集恰好为 ，求 的值；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
48．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围
49．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，．
(1)求a的长度；
(2)求 周长的最大值．
