【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
专题检测三(分值:150 分)
学生用书
P167
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·北京昌平二模)已知数列{an}满足an+1=2an,a2=4,则数列{an}的前4 项和等于( )
A.16
B.24
C.30
D.62
答案C
解析由已知可得,an+1=2an,所以数列{an}是公比为2 的等比数列.又因为a2=4,所以a1=2,所以数列{an}
的前4 项和等于2+4+8+16=30.故选C.
2.(2024·广东江门一模)已知各项均为正数的等比数列{an}中,若a5=9,则log3a4+log3a6=( )
A.3
B.4
C.8
D.9
答案B
解析由各项为正数的等比数列{an},且a5=9,可得a4a6=a5
2=81,所以log3a4+log3a6=log3a4a6=log381=4.故
选B.
3.(2024·江苏徐州模拟)若等差数列{an}满足an+an+1=4n+1,则a1=( )
A.3
B. 3
2
C.1
D. 1
2
答案B
解析设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd.
因为an+an+1=4n+1,可得an+an+1=2a1+(2n-1)d=2a1-d+2nd,
所以有{
2a1-d =1,
2d = 4,
解得{
a1= 3
2 ,
d =2,
故选B.
4.(2024·河北保定三模)已知在等差数列{an}中,a1=1,公差d>0.若数列{
an
2- 4
n }也是等差数列,则d=
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案C
解析依题意,an=dn+1-d(d>0),则an
2- 4
n
=d2n+2d(1-d)+(1-d )
2- 4
n
,则an+1
2
- 4
n+1 - an
2- 4
n
=d2+
(1-d )
2- 4
n+1
-(1-d )
2- 4
n
=d2-(1-d )
2- 4
n(n+1) .
又{
an
2- 4
n }是等差数列,所以-(1-d )
2- 4
n(n+1)
=0,解得d=3 或d=-1(舍去).故选C.
5.(2024·河北秦皇岛二模)将数列{3n+1}与数列{4n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的
前30 项的和为( )
A.3 255
B.5 250
C.5 430
D.6 235
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
答案C
解析显然数列{3n+1}和数列{4n-1}均为等差数列,令3n1+1=4n2-1,其中n1,n2∈N*,可得n1=4 n2-2
3
,则
n2=2,5,8,…,则数列{an}为等差数列,且a1=4×2-1=7,公差为(4×5-1)-(4×2-1)=12,所以{an}的前30 项的和
为30×7+30×29
2
×12=5 430.故选C.
6.(2024·湖南岳阳三模)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,若a2≥a1>0,S20=100,则a10a11( )
A.有最小值25
B.有最大值25
C.有最小值50
D.有最大值50
答案B
解析由S20=20(a1+a20)
2
=10(a10+a11)=100 可得a10+a11=10.因为a2≥a1>0,则等差数列{an}的公差
d≥0,故a10>0,a11>0,则a10a11≤(
a10+a11
2 )
2
=25,当且仅当a10=a11=5 时,等号成立,即当a10=a11=5 时,
a10a11取得最大值25.故选B.
7.(2024·江苏苏州二模)已知数列{an}的前n 项和为Sn,2an+1=3Sn,若tSn<2n对任意的n∈N*恒成立,则
实数t 的取值范围为( )
A.(-4,2)
B.[-3,2)
C.(-6,2)
D.(-3,2]
答案B
解析由2an+1=3Sn,得an=3 Sn-1
2
.当n≥2 时,an=Sn-Sn-1,则3 Sn-1
2
=Sn-Sn-1,整理得Sn=-2Sn-1+1,即Sn-1
3
=-2(Sn-1- 1
3).
又3S1=2a1+1=2S1+1,解得S1=1,于是S1-1
3 = 2
3 ≠0,数列{Sn- 1
3}是首项为2
3
,公比为-2 的等比数列,因此
Sn-1
3 = 2
3 ·(-2)n-1,即Sn=1-(-2)
n
3
.
由tSn<2n,得1-(-2)
n
3
·t<2n,当n 为奇数时,1+2
n
3
·t<2n,即t<3×2
n
1+2
n =3-
3
1+2
n,显然{3-
3
1+2
n}为递增
数列,当n=1 时,(3-
3
1+2
n)min
=2,所以t<2.当n 为偶数时,1-2
n
3
·t<2n,即t>3×2
n
1-2
n =-3+
3
1-2
n,显然恒
有-3+
3
1-2
n<-3,所以t≥-3,所以实数t 的取值范围为[-3,2).故选B.
8.(2024·北京东城二模)设无穷正项数列{an},如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数m,使得
am=a1+a2+a3+…+an,那么称{an}为内和数列,并令bn=m,称{bn}为{an}的伴随数列,则下列说法正确的
是( )
A.若{an}为等差数列,则{an}为内和数列
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
B.若{an}为等比数列,则{an}为内和数列
C.若内和数列{an}为递增数列,则其伴随数列{bn}为递增数列
D.若内和数列{an}的伴随数列{bn}为递增数列,则{an}为递增数列
答案C
解析对于选项A,B,令an=1,可知{an}即为等差数列也为等比数列,则a1+a2=2,但不存在m∈N*,使得
am=2,所以{an}不为内和数列,故A,B 错误;对于选项C,因为an>0,对任意n1,n2∈N*,n1<n2,可知存在
m1,m2∈N*,使得am1=a1+a2+a3+…+an1,am2=a1+a2+a3+…+an2,则am2-am1=an1+1+an1+2+…+an2>0,即
am2>am1,且内和数列{an}为递增数列,可知m2>m1,所以其伴随数列{bn}为递增数列,故C 正确;对于选
项D,例如2,1,3,4,5,…,显然{an}是所有正整数的排列,可知{an}为内和数列,且{an}的伴随数列为递增
数列,但{an}不是递增数列,故D 错误.故选C.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·广东广州模拟)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,a6=31,S3=21,则下列说法正确的有( )
A.{
an
n
2}为递减数列
B.a2=7
C.若∀n∈N*,Sn
n
2 ≤a,则a 的取值范围为(3,+∞)
D. an
n
<6
答案BD
解析由题意知{an}为等差数列,设公差为d,
由a6=31,S3=21,得{
a1+5d =31,
3a1+ 3×(3-1)d
2
=21,
解得a1=1,d=6,则an=6n-5,Sn=n+n(n-1)
2
×6=3n2-2n,
则a2=7,故B 正确.
由a1
1
2=1<a2
2
2 = 7
4 ,得{
an
n
2}不为递减数列,故A 错误.
因为Sn
n
2 =3-2
n
,由于n∈N*,0<2
n ≤2,故1≤Sn
n
2 <3.由于∀n∈N*,Sn
n
2 ≤a,故a 的取值范围为[3,+∞),故C 错误.
由于n∈N*,0<5
n ≤5,故an
n
=6-5
n
<6,故D 正确.故选BD.
10.(2024·山东滨州模拟)已知{an}是正项等差数列,首项为a1,公差为d,且a1=d,Sn为{an}的前n 项和,则
下列说法正确的是( )
A.数列{Sn+1-Sn}是等差数列
B.数列{√Sn}是等差数列
C.数列{2
an}是等比数列
D.数列{lg an}是等比数列
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
答案AC
解析由题意得,a1=d>0.因为数列{an}是等差数列,Sn+1-Sn=an+1,Sn+1-Sn-(Sn-Sn-1)=an+1-an=d,所以数列{Sn+1-
Sn}是等差数列,故A 正确;当a1=d=1 时,an=n,√S1=1,√S2=√3,√S3=√6,因为2√S2≠√S1+√S3,所以
数列{√Sn}不是等差数列,故B 错误;因为2
an+1
2
an =2
an+1-an=2d,所以数列{2
an}是等比数列,故C 正确;当
a1=d=1 时,an=n,lg a1=0,数列{lg an}不是等比数列,故D 错误.故选AC.
11.(2024·福建宁德模拟)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1 行开始,第n 行
从左至右的数字之和记为an,如a1=1+1=2,a2=1+2+1=4,…,{an}的前n 项和记为Sn,依次去掉每一行中
所有的1 构成的新数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,记为{bn},{bn}的前n 项和记为Tn,则下列说法正确的有
( )
A.S10=1 022
B.{
2an
Sn·Sn+1}的前n 项和为1
2 -
1
an+2-2
C.b57=66
D.T57=4 150
答案BCD
解析从第一行开始,每一行的数依次对应(a+b)n的二项式系数,所以an=(1+1)n=2n,所以{an}为等比数
列,Sn=2×(1-2
n)
1-2
=2n+1-2,所以S10=211-2=2 046,故A 错误;
2an
Sn·Sn+1
=
2
n+1
(2
n+1-2)(2
n+2-2)
=
1
2
n+1-2
-
1
2
n+2-2
,故{
2an
Sn·Sn+1}的前n 项和为
1
2
2-2
-
1
2
3-2
+
1
2
3-2
-
1
2
4-2
+…+
1
2
n+1-2
-
1
2
n+2-2
= 1
2 -
1
2
n+2-2
= 1
2 -
1
an+2-2
,故B 正确;去掉每
一行中的1 以后,每一行剩下的项数分别为0,1,2,3,…,构成一个等差数列,项数之和为n(n-1)
2
≤57,
则n 的最大整数为11,此时11(11-1)
2
=55,杨辉三角中取满了第11 行,第12 行首位为1,b57取的就是
第12 行中的第3 项,b57=C12
2 =66,故C 正确;T57是S11中去掉22 个1,再加上第12 行中的第2 项和第3
项,所以T57=S11-22+C12
1 +C12
2 =4 150,故D 正确.故选BCD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·浙江金华模拟)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a2+a4+a6=5π,b2b4b6=3√3,
则tan a1+a7
1-b2b6
= .
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
答案√3
解析由等差数列的性质可知,a2+a4+a6=3a4=5π,即a4=5 π
3
,而a1+a7=2a4=10 π
3
,根据等比数列的性质
可知,b2b4b6=b4
3=3√3,则b4=√3,b2b6=b4
2=3,所以tan a1+a7
1-b2b6
=tan(- 5 π
3 )=tanπ
3 =√3.
13.(2024·陕西西安模拟)已知等差数列{an}和{bn}的前n 项和分别为Sn和Tn,且Sn
T n
= n+3
n-1
,则a3
b4
=
.
答案4
3
解析因为等差数列{an}和{bn}的前n 项和分别为Sn和Tn,设Sn=An2+Bn,Tn=Cn2+Dn,A,B,C,D∈R,由
Sn
T n
= A n
2+ Bn
C n
2+ Dn
= An+ B
Cn+ D = n+3
n-1
,则An+B=k(n+3),Cn+D=k(n-1),k∈R,k≠0,所以
Sn=kn(n+3),Tn=kn(n-1),k≠0,
所以a3
b4
= S3- S2
T 4-T 3
= 18k -10k
12k -6k = 8k
6 k = 4
3 .
14.(2024·广东广州模拟)如图,画一个正三角形A1A2A3,不画第三边;接着画正方形A2A3A4A5,对这个正方
形,不画第四边;接着画正五边形A4A5A6A7A8,对这个正五边形,不画第五边;接着画正六边形,…,这样无
限画下去,形成一条无穷伸展的等边折线.设线段AnAn+1与线段An+1An+2所夹的角为
θn(n∈N*,θn∈(0,π)),则θ10= ,满足θn>174°的最小n 值为 .
答案120° 1 712
解析由题意得,θ1=60°,由此类推,
θ2=90°,θ3=90°,θ4=108°,θ5=108°,θ6=108°,θ7=120°,θ8=120°,θ9=120°,θ10=120°,…,观察规律,三角形会有1
个角,并且角的度数恰好是其内角的度数,正方形有2 个90°,正五边形有3 个108°,正六边形有4 个
120°,…,所以正k 多边形有(k-2)个180°(k -2)
k
.令180°(k -2)
k
>174°,解得k>60,所以k 的最小
值为61,即满足条件θn>174°的角至少要在正六十一边形中,所以n>1+2+3+4+…+58=1 711,即n 的
最小值为1 712.
四、解答题:本题共5 小题,共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)(2024·安徽合肥三模)设数列{an}的前n 项和为Sn,已知a1=6,{
Sn
n+2}是公差为2 的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(2)若bn=
4
anan+1
,设数列{bn}的前n 项和为Tn,求证: 1
15 ≤Tn<1
6 .
(1)解因为a1=6,所以S1
1+2 =
6
1+2
=2.又因为{
Sn
n+2}是公差为2 的等差数列,所以Sn
n+2
=2+
(n-1)×2=2n,即Sn=2n(n+2).
当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n(n+2)-2(n-1)(n+1)=4n+2.又由a1=6,适合上式,所以数列{an}的通项公式为
an=4n+2.
(2)证明由(1)知bn=
4
anan+1
=
4
(4 n+2)(4 n+6)
=4× 1
4(
1
4 n+2 -
1
4 n+6)=
1
4 n+2 -
1
4 n+6
,所以
Tn=(
1
6 - 1
10)+(
1
10 - 1
14)+(
1
14 - 1
18)+…+(
1
4 n+2 -
1
4 n+6)= 1
6 -
1
4 n+6 .
又由Tn+1-Tn=
1
4 n+6 -
1
4 n+10 =
4
(4 n+6)(4 n+10)
>0,
所以{Tn}为递增数列,
所以Tn≥T1= 1
15 .
又因为
1
4 n+6
>0,
所以Tn=1
6 -
1
4 n+6 < 1
6
,
所以1
15 ≤Tn<1
6 .
16.(15 分)(2024·四川成都模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=1,当n≥3 时,an={
an-1+an-2,n为奇数,
2an-2+1,n为偶数.
(1)求a4和a6,并证明当n 为偶数时{an+1}是等比数列;
(2)求a1+a3+a5+…+a29.
解(1)因为a1=1,a2=1,
当n≥3 时,an={
an-1+an-2,n为奇数,
2an-2+1,n为偶数,
所以a4=2a2+1=3,a6=2a4+1=7.
令k∈N*,
则a2k+2=2a2k+1,a2k+2+1=2(a2k+1).
又a2+1=2,所以当n 为偶数时,{an+1}是以2 为首项,以2 为公比的等比数列.
(2)由(1)知,a2k+1=(a2+1)2k-1=2k,
设n=2k,k∈N*,则an=
2
n
2-1,
所以当n 为偶数时,an=
2
n
2-1.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
a2k+1=a2k+a2k-1=2k-1+a2k-1=2k-1+a2k-2+a2k-3=2k-1+2k-1-1+a2k-3=…=2k-1+2k-1-1+…+(21-1)+a1,
所以a2k+1=2(1-2
k )
1-2
-k+a1=2k+1-k-1.
当k=0 时,a1=20+1-0-1=1 符合上式,
所以a2k+1=2k+1-k-1,k∈N.
设n=2k+1,k∈N,
所以当n 为奇数时,an=2
n+1
2 - n+1
2
,
所以a1+a3+a5+…+a29=(21-1)+(22-2)+(23-3)+…+(215-15)=(21+22+23+…+215)-(1+2+3+…+15)=
2
1(1-2
15)
1-2
- 15(1+15)
2
=216-122.
17.(15 分)(2024·广东广州二模)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,a2n+1=2an+2,且{
Sn
n+1}为等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)在2
an
2 与2
an+1
2 之间插入n 个数,使这n+2 个数组成一个公差为dn(dn>0)的等差数列,记数列{
1
dn}的
前n 项和为Tn,求证:Tn<3.
(1)解因为等差数列{an}中,an=a1+(n-1)d,且a2n+1=2an+2,
所以a1+2nd=2[a1+(n-1)d]+2,即a1+2=2d ①.
因为{
Sn
n+1}为等差数列,
所以Sn+1
n+2 - Sn
n+1 = Sn+2
n+3 - Sn+1
n+2 .
令n=1 时,S2
3 - S1
2 = S3
4 - S2
3
,即2a1+d
3
- a1
2 = 3a1+3d
4
- 2a1+d
3
,则a1=d ②,
结合①②,解出d=2,a1=2,
则an=2+(n-1)×2=2n,
所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)证明由题设得dn=2
an+1
2 -2
an
2
n+2-1 = 2
n+1-2
n
n+1
= 2
n
n+1
,即1
dn
= n+1
2
n
,
所以Tn= 1
d1
+ 1
d2
+…+ 1
dn
= 2
2 + 3
2
2+…+n+1
2
n ③,
则1
2
Tn= 2
2
2 + 3
2
3+…+n+1
2
n+1 ④,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
由③-④得1
2
Tn=1+ 1
2
2 + 1
2
3+…+ 1
2
n - n+1
2
n+1 =1+
1
2
2(1- 1
2
n-1)
1- 1
2
- n+1
2
n+1 = 3
2 - n+3
2
n+1
,
所以Tn=3-n+3
2
n ,
因为n∈N*,
所以n+3
2
n >0,
所以Tn<3.
18.(17 分)(2024·重庆九龙坡模拟)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,a4+a7=20,S9=27a2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
2
√an+2+√an
,数列{bn}的前n 项和为Tn,证明:当n≥3 时,2Tn>√an+1.
(1)解设{an}的公差为d,
则{
a1+3d +a1+6d =20,
9a1+ 9×8
2
d =27(a1+d ),
即{
2a1+9d =20,
18a1=9d , 解得{
a1=1,
d =2,
所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(2)证明bn=
2
√an+2+√an
=
2
√2n+3+√2n-1
=
2(√2n+3-√2n-1)
(√2n+3+√2n-1)(√2n+3-√2n-1)
=2(√2n+3-√2n-1)
2n+3-(2n-1)
=√2n+3-√2n-1
2
,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=1
2 (√5-1+√7 -√3+√9-√5+…+√2n+3-√2n-1)=1
2
(-1-
√3+√2n+1+√2n+3),
所以2Tn=√2n+3+√2n+1-√3-1,
所以2Tn-√an+1=√2n+3+√2n+1-√3-1-√2n+1=√2n+3-√3-1,
当n≥3 时,√2n+3-√3-1≥√2×3+3-√3-1=3-√3-1=2-√3>0,
所以当n≥3 时,2Tn>√an+1.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
19.(17 分)(2024·湖北武汉模拟)混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中,比如天气预测、种群数量
变化和天体运动等等,假设在一个混沌系统中,用xn来表示系统在第n(n∈N*)个时刻的状态值,且该系
统下一时刻的状态xn+1满足xn+1=f(xn),0<x1<1,其中f(x)=-ax2+ax.
(1)当a=3 时,若满足对∀n∈N*,有xn=f(xn+1),求{xn}的通项公式;
(2)证明:当a=1 时,{xn}中不存在连续的三项构成等比数列;
(3)若x1=1
2
,a=1,记Sn=xn
2 xn+1
2
,证明:S1+S2+…+Sn<1
8 .
(1)解当a=3 时,f(x)=-3x2+3x,
依题意,x1=-3x2
2+3x2①,
x2=-3x1
2+3x1②,
两式作差,得(x2-x1)[4-3(x1+x2)]=0,则x1=x2或x1+x2=4
3 .
若x1=x2,代入①式解得,x1=0 或x1=2
3
,
而0<x1<1,于是x1=2
3
;
若x1+x2=4
3
,将x2=4
3
-x1代入②式,解得x1=2
3 .
因此必有x1=2
3 .
因为f(
2
3)= 2
3
,xn+1=f(xn),
从而由x1=2
3
归纳即知{xn}是常数列xn=2
3 .
所以{xn}的通项公式为xn=2
3 .
(2)证明假设xn,xn+1,xn+2构成等比数列,
则xn≠0.
那么由xn+1
xn
=- xn
2+ xn
xn
=-xn+1, xn+2
xn+1
=- xn+1
2
+ xn+1
xn+1
=-xn+1+1 可知xn+1=xn.
又xn+1=-xn
2+xn,
则-xn
2+xn=xn,
解得xn=0,与xn≠0 矛盾.
故{xn}中不存在连续的三项构成等比数列.
(3)证明当0<x<1 时,f(x)=-x2+x=x(1-x)>0,f(x)=-x2+x<x<1,
即0<f(x)<1.
因为0<x1<1,xn+1=f(xn),
所以归纳即知对任意正整数n 都有0<xn<1.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
又由xn>0 及xn+1=f(xn)可知xn+1=-xn
2+xn<xn,
故数列{xn}是递减数列.
又由于xi
2=xi-(-xi
2+xi)=xi-xi+1,
故∑
i=1
n Si=∑
i=1
n
xi
2 xi+1
2 <∑
i=1
n
xi
2 x1
2= x1
2∑
i=1
n
xi
2= x1
2∑
i=1
n (xi-xi+1)=x1
2(x1-xn+1)<x1
3= 1
8 .
