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第二章 方程与不等式
2.3 分式方程及其应用
考点：1.根据题意列分式方程；2.分式方程的解；3.解分式方程；4.分式方程的实际应用.
第1 关练速度
1.方程
2
x−3 =1的解是
( )
A. x=1
B. x=-1
C. x=5
D. x=-5
2.端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2 元销售.细心的小夏发现，降价后用240 元可
以比降价前多购买10 袋，求：每袋粽子的原价是多少元?设每袋粽子的原价是x 元，所得方程正确的是( )
A . 240
x −240
x +2 =10
B. 240
x −240
x−2 =10
C . 240
x−2 −240
x =10
D . 240
x +2 −240
x =10
3.若x=4 是分式方程 a−2
x
=
1
x−3的根，则a 的值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
4.解分式方程 1−
1
3 x−1 =−
5
2−6 x 时，去分母变形正确的是( )
A.2-6x+2=-5
B.6x-2-2=-5
C.2-6x-1=5
D.6x-2+1=5
5. 分式方程 x +1
x−1 −3=0 的解为 .
6.题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知★，甲做30 个所用的时间与乙做45 个所用的时间相同，求甲每
小时做中国结的个数.”★部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是
.
解：设甲每小时做x 个。
由题意得： 30
x = 45
x +6
……
7.水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1 月1 日起调整居民用水价
格，每立方米水费上涨原价的 1
4 .小丽家去年5 月份的水费是28 元，而今年5 月份的水费则是24.5 元.已知小
丽家今年 5 月份的用水量比去年 5 月份的用水量少3 m ³.设该市去年居民用水价格为x 元/m ³，则可列分式方
程为 .
8.解方程：
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(1)3
x =
2
x +1 ; (2) 3
x +2 +1=
x
x−2 ;
(3)
2
x
2−1
+
x
x−1 =1.
第2 关练准确率
9.一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km 所用时间，与以该航速沿江逆流航行80
km 所用时间相等，则江水的流速为
( )
A. 5k m/h
B.6km/h
C. 7 km/h
D.8km/h
10.分式方程
2
x−1 =1−
m
x−1的解为正数，则m 的取值范围是( )
A. m>-3
B. m>-3 且m≠-2
C. m<3
D. m<3 且m≠-2
11.已知关于 x 的分式方程 kx
x−3 −2=
3
3−x 无解，则k 的值为( )
A. k=2 或k=-1
B. k=-2
C. k=2 或k=1
D. k=-1
12.定义一种新运算：对于任意的非零实数a、b， a⊗b= 1
a + 1
b .若(x+1)⊗x= 2 x +1
x
,则x 的值为 .
13.若关于x 的一元一次不等式组 {
2 x +1
3
≤3,
4 x−2<3 x +a
的解集为x≤4，且关于y 的分式方程 a−8
y +2 −
y
y +2 =1的解均
为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是
.
14.初三(1)班同学在“2024 义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品.销售一件甲纪念品可获利
16%；销售一件乙纪念品可获利24%；当销售量的比为3：2 时，总获利为18%.当销售量的比为1：3 时，总获
利为 .
15.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480 棵.由于青年志愿者的支援，每天比原计划多
种20%，结果不仅提前1 天完成任务，还多种了48 棵.实际每天种多少棵树?
本题所列的方程可以是： ①480+ 48
(1+20 %) x = 480
x −1;②480+ 48
y
=(1+20 %)⋅480
y +1 .
(1)x 表示的实际意义是 ，y 表示的实际意义是 .
(2)选择其中一种方程解答此题.
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16.某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000 平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B 两种外墙漆
各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A、B 两种外墙漆各 300 千克，购买外墙漆总费用为15 000 元，已知A 种
外墙漆每千克的价格比B 种外墙漆每千克的价格多2 元.
(1)求A、B 两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
(2)已知乙每小时粉刷外墙的面积是甲每小时粉刷外墙面积的 4
5 ，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任
务所需时间多5 小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米?
第3 关练 思维宽度
17.观察分析下列方程： ①x + 2
x =3,②x + 6
x =5, ③x + 12
x =7;请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程
x + n
2+n
x−3 =2n+ 4(n 为正整数)的根，你的答案是 .
18.书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，
一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m,装裱后,上、下、左、右边衬的宽度分别是 a m、b m、c m、d m.
若装裱后 AB 与 AD 的比是16 : 10,且a=b,c=d,c=2a,求四周边衬的宽度.
19.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共 30 条生产线的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1 条甲类生产线的
设备可获得3 万元的补贴，更新1 条乙类生产线的设备可获得2 万元的补贴.这样更新完这30 条生产线的设
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备，该企业可获得 70 万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条?
(2)经测算，购买更新1 条甲类生产线的设备比购买更新1 条乙类生产线的设备需多投入5 万元，用200 万元
购买更新甲类生产线的设备数量和用180 万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70
万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备?
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2.3 分式方程及其应用
1. C 2. C 3. D 4. A
5. x=26.乙每小时比甲多做6 个中国结 7. 28
x −24.5
5
4 x
=3
8.(1)方程两边同时乘x(x+1),得3(x+1)=2x,解得x=-3.
经检验,当x=-3 时,x(x+1)≠0,所以x=-3 是原方程的解.
(2)
3
x +2 +1=
x
x−2 ,方程两边都乘(x+2)(x-2),得3(x-2)+(x+2)·(x-2)=x(x+2),去括
号得 3 x−6+ x
2−4 = x
2+2 x ,
解得x=10.经检验,x=10 是原方程的解.
(3)
2
x
2−1
+
x
x−1 =1,去分母，得 2+ x (x +1)= x
2−1,去括号，得 2+ x
2+ x = x
2−1,,
移项,合并同类项,得x=-3,检验:把x=-3 代入(x+1)(x-1)得(-3+1)(-3-1)=8≠0,∴x=-3
是原方程的解.
9. D 10. B 11. A
12.- 1
2
13.12 14.20.8%
15.(1)原计划每天种树的棵数 实际种树的天数
(2)选择方程( ①480+ 48
(1+20 %) x = 480
x −1,∴480+ 48= 480×(1+20 %)−(1+20%)x,解得
x=40,
经检验，x=40 是所列方程的解，且符合题意，
∴40×(1+20%)=48(棵),∴实际每天种48 棵树;
选择方程( ②480+ 48
y
=(1+20 %)⋅480
y
+1 ,∴(480+ 48)( y +1)=(1+20%)×480y,解得
y=11,
经检验，y=11 是所列分式方程的解，且符合意义.
∴(480+48)÷11=48(棵),∴实际每天种48 棵树.
16.(1) 设A 种外墙漆每千克的价格为x 元，则B 种外墙漆每千克的价格为(x-2)
元,∴300x+300(x-2)=15000,解得x=26,∴x-2=24.答：A 种外墙漆每千克的价格为26
元，B 种外墙漆每千克的价格为24 元.
(2)设甲每小时粉刷外墙的面积为y 平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是 4
5
y 平方
米,1000÷2=500(平方米),. 解 ∴500
4
5 y
−5= 500
y ,得y=25.经检验，y=25
是原方程的根且符合题意.
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25 平方米.
17. x=n+3 或x=n+4 解析:∵由①得,方程的根为x=1 或x=2,由②得,方程的根为x=2 或
x=3, 由③得, 方程的根为x=3 或x=4,∴方程 x + ab
x =a+b的根为x=a 或:x=b,∴
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x + n
2+n
x−3 =2n+ 4可化为(x- 3)+ n(n+1)
x−3 =n+(n+1), x−3=n 或x-3=n+1,即x=n+3 或
x=n+4.故答案为x=n+3 或x=n+4.
18. 由题意, 得AB=1.2+c+d=1.2+2c=1.2+4a,AD=0.8+a+b=0.8+2a,∵AB 与AD 的比是
16:10,∴ 1.2+ 4 a
0.8+2a = 16
10 ,解得a=0.1,经检验,a=0.1 是原方程的解.∴c=2a=0.2.∴上、
下、左、右边衬的宽度分别是0.1m,0.1m,0.2m,0.2m.
19.(1)设该企业甲类生产线有x 条，则乙类生产线有(30-x)条，则3x+2(30-x)=70,解得
x=10,则30-x=20.
答：该企业甲类生产线有10 条，乙类生产线有20 条.
(2)设购买更新1 条甲类生产线的设备为m 万元，则购买更新1 条乙类生产线的设备为
(m-5)万元，则 200
m = 180
m−5 ,解得m=50,经检验，m=50 是原方程的根，且符合题意，则
m-5=45，则还需要投入更新设备的费用为10×50+20×45-70=1330(万元).
