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第 3 讲 分类讨论思想在解析几何中的应用
在解答某些数学问题时。有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理
解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法。是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策
略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。分类讨论思想在数学问题具有明显的。
逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。
解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。
也是高考常考查的知识点。
【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用
1、直线方程的几种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含垂直于x轴的直线
0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含垂直于坐标轴的直线
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
2、圆与圆的位置关系
设圆O ：(x－a )2＋(y－b )2＝r(r ＞0)，
1 1 1 1
圆O ：(x－a )2＋(y－b )2＝r(r ＞0).
2 2 2 2
方法 代数法：两圆方程联立组成方程
几何法：圆心距d与r ，r 的关系
位置关系 1 2 组的解的情况
外离 d>r ＋r 无解
1 2
外切 d＝r ＋r 一组实数解
1 2
相交 |r －r |<d<r ＋r 两组不同的实数解
1 2 1 2
内切 d＝|r －r |(r ≠r ) 一组实数解
1 2 1 2
内含 0≤d<|r －r |(r ≠r ) 无解
1 2 1 2
3、 直线与圆的位置关系
三种位置关系：相交、相切、相离．
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ0 Δ0 Δ0
量化
几何观点 dr dr dr【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过 作圆 的切线，则其切线方程为
____________.
．
【思维提升】涉及到直线的方程问题。若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特
别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。
【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过 , , 三点的圆与直线 的位置
关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．无法确定
【 变 式 1.2 】 （ 2022 年 重 庆 市 第 八 中 学 高 三 模 拟 试 卷 ） 若 直 线 与 直 线
平行，则 的值为（ ）
A. B. 3 C. 3或 D. 或6
【变式1.3】 （202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆 ： ，圆 ：
，下列直线中，与圆 ， 都相切的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点 引圆 的切线，则切线的方程为
（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用
1、 椭圆的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，
1 2
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2、 双曲线的定义平面内与两个定点F ，F 的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点
1 2
叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
3、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，
直线l叫做抛物线的准线．
【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点 ， ，动点 满足条件
（ 为常数，且 ），则点 的轨迹是______.
【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，
如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。在求圆锥曲线的方程式特别是椭圆、双曲线要判断
焦点在x轴，还是y轴。否则就要讨论。
【变式2.1】（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学期中联考）（多选题）在平面直角
坐标系中，有两个圆 ： 和 ： ，其中常数 满足 ，一个动圆
与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
【变式2.2】（2022宁夏隆德高三期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为 ，焦距为 ，则椭圆的方
程（ ）
A． B．
C． 或 D．以上都不对
【变式2.3】（2022湖北师大附中期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为 ，焦距为 ，则椭圆的方
程（ ）
A． B．
C． 或 D．以上都不对
【应用三】分类讨论思想在圆锥曲线性质中的应用
1、 椭圆的标准方程和几何性质标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
－a≤x≤a， －b≤x≤b，
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
A (0，－a)，A (0，
A (－a,0)，A (a,0)， 1 2
顶点
1 2 a)，
性质 B (0，－b)，B (0，b)
1 2 B (－b,0)，B (b,0)
1 2
轴 长轴A A 的长为2a，短轴B B 的长为2b
1 2 1 2
焦距 ＝2c
离心率 e＝， e∈(0,1)
a，b，c
c2＝a2－b2
的关系
2 、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
y＝±x
性 渐近线
质 y＝±x
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
线段AA叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段BB叫做双曲线的虚轴，它的长
实虚轴 1 2 1 2
＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
3 、抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中 ＝ ＝ ＝ ＝
P(x 0 ，y 0 )) x 0 ＋ －x 0 ＋ y 0 ＋ －y 0 ＋
【例3.1】【2020年山东卷09】已知曲线C:mx2+n y2=1.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为❑√n
√ m
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±❑− x
n
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【思维提升】圆锥曲线的性质的考查关键要注意焦点在什么轴上，进而确定 a,b.c的值。不易明确的就要
进行分类讨论。
【变式3.1】（2022福建·莆田锦江中学高二期末）若椭圆 的焦距为2，则 （ ）
A．3 B．5 C．2 D．1
【变式3.2】（2023·广东广州·高三月考）已知曲线C： ，则下列命题中为真命题的是
（ ）
A．若 ，则C是圆
B．若 ，且 ，则C是椭圆
C．若 ，则C是双曲线，且渐近线方程为
D．若 ，则C是椭圆，其离心率为【变式3.3】 【江苏省苏州市八校联盟2023届高三下学期5月适应性检测（三模）】已知双曲线
x2 y2
C: − =1(a>0)，过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，已知|AB|=16，若这样的直线l有4
a2 12
条，则实数a的取值范围是 .
巩固练习
1、（2022·河北唐山·高二期末）若椭圆 的离心率为 ，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8
2、（2023·广东江门·统考一模）（多选题）已知曲线 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．若曲线 表示两条平行线，则
B．若曲线 表示双曲线，则
C．若 ，则曲线 表示椭圆
D．若 ，则曲线 表示焦点在 轴的椭圆
3、（2021·广东茂名·高三月考）（多选题）已知曲线 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 与曲线 没有公共点
B．直线 与曲线 最多有三个公共点
C．当直线 与曲线 有且只有两个不同公共点 ， 时， 的取值范围为
D．当直线 与曲线 有公共点时，记公共点为 ．则 的取值范围为
4、【2021年新高考2卷11】（多选题）已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:x2+ y2=r2，点A(a,b)，则下列
说法正确的是（ ）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
5、（2022·山东日照·高三期末）（多选题）焦点为 的抛物线 与圆 交
于 两点，其中 点横坐标为 ，方程 的曲线记为 是圆 与 轴的交点，
是坐标原点，则下列正确的是（ ）
A．给定 ，对于任意 ，圆弧 所对的圆心角
B．对于给定的角 ，存在 ，使得圆弧 所对的圆心角
C．对于任意 ，该曲线有且仅有一个内接正
D．当 时，存在面积大于2022的内接正
6、（2022·福建泉州·高二期中）已知两直线 .若直线 与
不能构成三角形，则满足条件的实数 __________（写出一个即可）.
7、（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高二期中）过点 作圆 圆
的切线 ，则 的方程是___________.
8、（2022·江苏·扬州大学附属中学东部分校高二期中）已知点 ，圆 ： ，则过
点 且与圆 相切的直线方程为___________.
9、（2023·云南玉溪·统考一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆与抛物线的公共点，，关于轴
对称且位于轴右侧，，则椭圆的离心率的最大值为______．
