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第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
第一部分：题型篇....................................................2
题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数）...............2
题型二：重点考查函数定义域中的参数问题...........................5
题型三：重点考查求函数的解析式...................................7
题型四：重点考查分段函数求值及参数问题...........................9
题型五：重点考查分段函数单调性问题..............................11
题型六：重点考查分段函数不等式问题..............................14
题型七：重点考查分段函数值域问题................................18
题型八：重点考查分段函数零点问题................................20
第二部分：方法篇...................................................26
函数值域问题方法一：判别式法....................................26
函数值域问题方法二：分离常数法..................................28
函数值域问题方法三：基本不等式法................................30
函数值域问题方法四：分类讨论法..................................32
第三部分：易错篇...................................................35
易错一：换元必换范围............................................35
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：题型篇
题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数）
典型例题
例题1．（2023春·河北·高二统考学业考试）若函数 的定义域是 ，则函数 的定
义域是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
例题2．（2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）求函数 的
定义域为_________．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是_______．
例题4．（2023·高一课时练习）已知函数 的表达式 ，求函数 的定
义域．
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
A． B． C． D．
2．（2023·北京·校考模拟预测）函数 的定义域为______________．
3．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）函数 的定义域为______．
4．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 的定义域为_______.题型二：重点考查函数定义域中的参数问题
典型例题
例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若函数 的定义域为
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围
是__________．
精练核心考点
1．（2023·高一课时练习）已知函数 ，若此函数的定义域为 ，求实数 的取值范围．
2．（2023·高一课时练习）若函数 的定义域为R，则实数m的取值范围是
___________．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，则实数a的取值范围是
___________.
题型三：重点考查求函数的解析式
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 为一次函数，求 _________
例题4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）（1）已知 ，求 的解析
式；
（2）已知 ，求 的解析式．
精练核心考点
1．（2023·高一课时练习）若 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 求 的解析式
3．（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数 ，均有 ，求 ___________
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，则 ___________.
题型四：重点考查分段函数求值及参数问题
典型例题
例题1．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）已知函数 ，若
，则实数 的值是（ ）
A． 或5 B．3或 C．5 D．3或 或5
例题2．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数 ，则 ___________．例题3．（2023春·江西上饶·高一江西省余干中学校考阶段练习）若函数
，则 ___．
精练核心考点
1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 若 ，则实数
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数 ，则 ________．
3．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知函数 则
________．
题型五：重点考查分段函数单调性问题
典型例题
例题1．（2023秋·广东清远·高一统考期末）已知函数 在 上单调递增，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）已知函数 ，
满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．例题4．（2023春·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知 且 ，函数
，满足 时，恒有 成立，那么实数 的取
值范围（ ）
A． B． C． D．
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知 是 上的增函数，则
实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数 ，满足对任意 ，都有
成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2023秋·湖南湘潭·高一校联考期末）已知 是 上的减函数，那么
的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
题型六：重点考查分段函数不等式问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知函数 ，则
___________；若 ，则实数 的取值范围是___________.
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设函数 ，则满足
的 的取值范围是__________.题型七：重点考查分段函数值域问题
典型例题
例题1．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）已知函数 的值
域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知函数 ，若函
数 的值域为 ，则实数 的取值范围是____________．
例题3．（2023春·全国·高一校联考开学考试）已知函数 的值域为 ，则实数
的取值范围为______．
精练核心考点
1．（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）已知函数 ，若 是 的最小值，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知函数 的值域为 ，则实数 的取
值范围是______.
3．（2023秋·山东聊城·高一校联考期末）已知函数 的值域是R，则实数 的
最大值是______．题型八：重点考查分段函数零点问题
典型例题
例题1．（2023春·河南洛阳·高二统考期中）已知函数 ，若函数
有唯一零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（2023秋·山东德州·高一统考期末）已知函数 ，若
（ 互不相等），则 的值可以是（ ）
A．-2 B． C． D．-1
例题3．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知函数
，若函数 恰有4个不同的零点，则 的取值范围是__________．
例题4．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）已知函数 ，则 的最
小值是__________，若关于 的方程 有且仅有四个不同的实数解，则整数 的取值范围是
__________．
精练核心考点
1．（2023春·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知函数 ，
.若 有 个零点，则实数 的最小值是（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·湖南邵阳·高二邵阳市第二中学校考期中）已知函数 ，若对任意实数
，总存在实数 ，使得 ，则实数 的取值范围是___．
3．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数
①函数 的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程 有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
4．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知 ，函数 ，若方程 恰有2
个实数解，则 的取值范围是__________.
第二部分：方法篇
函数值域问题方法一：判别式法
典型例题
例题1．（2022·北京·高三强基计划）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
例题2．（2023高一课时练习）函数 的值域为________.
例题3．（2023·江苏·高三专题练习）求函数 的值域．
精练核心考点
1．（2023·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数 的值域是______．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （a、x为实数且 、 ）可取任意实数（即
函数的值域为一切实数），求参数a的取值范围.
函数值域问题方法二：分离常数法
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之
一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函
数”为： ， 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，已知
，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·天津滨海新·高一校考期中）已知函数 ．
(1)求函数 的值域 ；
精练核心考点
1．（2023·浙江·高一浙江省普陀中学校联考期中）已知函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高一课时练习）函数 的定义域是______，值域是______．
函数值域问题方法三：基本不等式法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数 在 上有最大值，最大值为
，当 取最小值时， （ ）A．0 B．1 C． D．
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数 满足， ，则 的最小
值为__________.
精练核心考点
1．（2023春·吉林·高二四平市实验中学校考阶段练习）函数 的最小值为
___________．
2．（2023春·上海虹口·高三统考期中）对于定义在 上的奇函数 ，当 时，
，则该函数的值域为________.
函数值域问题方法四：分类讨论法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）当 时，求 的最大值（ 为常数，结果可用
来表示）．
例题2．（2023·上海闵行·高一校考期中）已知函数 严格单调，且 的最大
值为8，求实数 的值.
例题3．（2023·陕西宝鸡·高一统考期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的最大值与最小值；(2)若 在 上的最大值为4，求实数 的值．
精练核心考点
1．（2023·上海徐汇·高一南洋中学校考期中）已知函数 的值域为 ，
(1)求实数 的值；
(2)求函数 ， 的最小值．
2．（2023·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知二次函数 的图象过点
，且最小值为 ．
(1)求函数的解析式；
(2)当 时，该函数的最小值为 ，求此时t的值．
3．（2023·陕西汉中·高一校联考期中）已知函数 .
(1)若函数 在区间 上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若 ，求函数 的最小值 .第三部分：易错篇
易错一：换元必换范围
典型例题
1．（2023·安徽合肥·高一合肥市第六中学校考阶段练习）若函数 ，且 ，则实
数 的值为（ ）
A． 或 B． 或3 C． D．3
2．（2023·高一课时练习）函数 的值域为__．
3．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 值域是_______
4．（2023·全国·高一专题练习）已知 ，则 __．
