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§1.5 基本不等式的综合应用
课标要求 1.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握基本
不等式在其他知识中的应用.
题型一 与基本不等式有关的恒(能)成立问题
例1 (1)若不等式1
√a ＋2
√b≥
m
√a＋2√b恒成立，则实数m 的最大值为( )
A.2
B.3
C.4
D.9
答案 D
解析 由题意√a＋2√b
√a
＋2√a＋4√b
√b
≥m 恒成立，即5＋2√b
√a ＋2√a
√b ≥m 恒成立.
又5＋2√b
√a ＋2√a
√b ≥5＋2√
2√b
√a · 2√a
√b
＝9，当且仅当a＝b 时取等号.
故实数m 的最大值为9.
(2)若两个正实数x，y 满足1
x ＋4
y ＝1，且不等式x＋y
4 <m2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )
A.{m|－1<m<4}
B.{m|m<－4 或m>1}
C.{m|－4<m<1}
D.{m|m<－1 或m>4}
答案 D
解析 ∵不等式x＋y
4 <m2－3m 有解，
∴(x＋y
4)min
<m2－3m，∵x>0，y>0，1
x ＋4
y ＝1，
∴x＋y
4 ＝(x＋y
4)(
1
x ＋4
y)＝4 x
y ＋y
4 x ＋2≥2√
4 x
y · y
4 x ＋2＝4，
当且仅当4 x
y ＝y
4 x ，即x＝2，y＝8 时等号成立，
∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0，
∴m<－1 或m>4，
∴实数m 的取值范围是{m|m<－1 或m>4}.
思维升华 ∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
跟踪训练1 (1)已知a>0，若关于x 的不等式x＋
a
x＋1≥3 在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值
为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
答案 C
解析 因为x>－1，x＋1>0，
所以x＋
a
x＋1＝x＋1＋
a
x＋1－1≥2√( x＋1)·
a
x＋1－1＝2√a－1，
当且仅当x＋1＝
a
x＋1，即x＝√a－1 时取等号，
所以x＋
a
x＋1有最小值2√a－1，
因为不等式x＋
a
x＋1≥3 在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2√a－1≥3，
解得a≥4，所以a 的最小值为4.
(2)已知正数x，y 满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A.(－∞，4＋6√2)
B.(6＋4√2，＋∞)
C.(－∞，7＋4√3)
D.(8＋4√3，＋∞)
答案 C
解析 因为(x－1)(y－2)＝2，x>0，y>0，
所以xy＝2x＋y，即1
x ＋2
y ＝1，
所以由基本不等式可得
3x＋2y＝(3x＋2y)(
1
x ＋2
y)＝7＋2 y
x ＋6 x
y ≥7＋2√
2 y
x · 6 x
y ＝7＋4√3，
当且仅当{
2 y
x ＝6 x
y ,
x>0, y >0,
( x -1)( y -2)＝2,
即{
x＝1＋2√3
3
,
y ＝2＋√3
时等号成立，
综上所述，3x＋2y 的最小值为7＋4√3.
因为不等式3x＋2y>m 恒成立，
所以实数m 的取值范围是(－∞，7＋4√3).
题型二 基本不等式的实际应用
例2 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行
驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满
足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型
号电动汽车从A 地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km 的B 地，
出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B 地后至少要保留5 kW·h 的保障电量(假设该电动汽车从静
止加速到速度为v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B 地，并说明理由；
(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A 地与B 地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充
电量＝充电功率×时间)，求到达B 地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).
解 (1)设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)＝P(v)·500
v ＝v＋2 500
v
－20(60≤v≤120)，
易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min＝f(60)＝245
3 >75－5，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B 地.
(2)设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h.
若能到达B 地，则初始电量＋充电电量－消耗电量≥保障电量，
即75＋15t2－f(v)≥5，
解得t2≥v
15 ＋500
3 v －6.
所以t＝t1＋t2≥500
v ＋v
15 ＋500
3 v －6＝v
15 ＋2 000
3 v
－6≥2√
v
15 · 2 000
3 v
－6＝22
3 .
当且仅当v
15 ＝2 000
3 v
，即v＝100 时取等号，
所以该汽车到达B 地的最少用时为22
3 h.
思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象
出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练2 某村现有180 户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8 万元.为探索科技
助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的
只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8(a- x
10)(a>0)万元，
从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有
多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a 的最大值为( )
A.12
B.14
C.22
D.60
答案 B
解析 由题意可得8(a- x
10)x≤(180－x)·8·(1＋5x%)，化简可得a≤180
x ＋x
20＋8，
因为180
x ＋x
20＋8≥2√
180
x · x
20＋8＝14，
当且仅当180
x ＝x
20，即x＝60 时等号成立，
所以a≤14，即a 的最大值为14.
题型三 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例3 (1)设a>0，b>0，若ln √3是ln 3a与ln 9b的等差中项，则2
a ＋1
b的最小值为( )
A.6
B.8
C.9
D.12
答案 B
解析 ∵ln √3是ln 3a与ln 9b的等差中项，
∴2ln √3＝ln 3a＋ln 9b，
即ln 3＝ln(3a·9b)＝ln 3a＋2b＝(a＋2b)ln 3，
∴a＋2b＝1，又a>0，b>0，
∴2
a ＋1
b ＝(
2
a ＋1
b)(a＋2b)＝4＋a
b ＋4 b
a ≥4＋2√
a
b · 4 b
a ＝8，
当且仅当a
b ＝4 b
a ，即a＝1
2，b＝1
4 时等号成立.
(2)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为( )
A.√2
5
B.2√2
5
C.4√2
5
D.√2
答案 D
解析 方法一 设原点到直线l 的距离为d，由点到直线的距离公式得
d＝|- λ＋1|
√λ
2＋1
＝√
λ
2-2 λ＋1
λ
2＋1
＝√
1-
2 λ
λ
2＋1
，
显然当λ<0 时，有最大值，
此时－
2 λ
λ
2＋1
＝
2
(- λ)＋(- 1
λ)
，
因为(－λ)＋(- 1
λ)≥2√
(- λ)·(- 1
λ)＝2，当且仅当λ＝－1 时等号成立，
所以
2
(- λ)＋(- 1
λ)
≤2
2＝1，所以dmax＝√2.
方法二 直线l 恒过定点(1，－1)，故原点到直线l 距离的最大值为√2.
思维升华 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、
解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
跟踪训练3 已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a，b，c 成等差数列，则sin B 的
取值范围是 .
答案 (0，√3
2 ]
解析 因为a，b，c 成等差数列，所以2b＝a＋c，
所以cos B＝a
2＋c
2-b
2
2ac
＝
a
2＋c
2-(
a＋c
2 )
2
2ac
＝3(a
2＋c
2)-2ac
8ac
.
因为a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c 时取等号，所以3(a2＋c2)－2ac≥4ac>0，
所以cos B＝3(a
2＋c
2)-2ac
8ac
≥4 ac
8ac ＝1
2.
又y＝cos x 在区间(0，π)上单调递减，
所以0<B≤π
3 ，所以0<sin B≤√3
2 .
课时精练
[分值：100 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知a>0，b>1，ab－a＝1，则a＋b 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.5
答案 C
解析 方法一 因为ab－a＝1，所以b＝1
a＋1，所以a＋b＝a＋1
a＋1≥2√a· 1
a＋1＝3，当且仅当a＝1 时，
等号成立，所以a＋b 的最小值为3.
方法二 因为b>1，所以b－1>0.
因为ab－a＝a(b－1)＝1，所以a＋b－1≥2√a(b-1)＝2，
当且仅当a＝b－1，即a＝1，b＝2 时，等号成立，
故a＋b 的最小值为3.
2.已知F1，F2是椭圆C：x
2
9 ＋y
2
4 ＝1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13
B.12
C.9
D.4
答案 C
解析 因为|MF1|＋|MF2|＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤(|M F1|＋|M F2|)
2
4
＝6
2
4
＝9，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3 时，等号成立，
所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.
3.已知实数x，y>0，1
x ＋4
y ＝2，且x＋y≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为( )
A.(-∞，9
2]
B.(－∞，9]
C.[
9
2 ，＋∞)
D.[9，＋∞)
答案 A
解析 由1
x ＋4
y ＝2，可得1
2 x ＋2
y ＝1，
又因为x，y>0，
则x＋y＝(x＋y)·(
1
2 x ＋2
y)＝1
2＋2＋y
2 x ＋2 x
y ≥5
2＋2√
y
2 x · 2 x
y ＝9
2，
当且仅当y
2 x ＝2 x
y ，即y＝2x＝3 时取等号，
所以(x＋y)min＝9
2，
由x＋y≥m 恒成立，可得m≤(x＋y)min＝9
2，
即实数m 的取值范围为(-∞，9
2].
4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0 成立，则实数a 的取值范围是( )
A.a<√3
3
B.0≤a≤4
7
C.a>√3
3
D.a>4
7
答案 A
解析 当x∈(0，2]时，由ax2－2x＋3a<0，
可得a(x2＋3)<2x，由题意得a<(
2 x
x
2＋3)max
，
因为
2 x
x
2＋3
＝
2
x＋3
x
≤
2
2√x· 3
x
＝√3
3 ，当且仅当x＝3
x (x>0)，即x＝√3时，等号成立，
所以当x∈(0，2]时，
2 x
x
2＋3的最大值为√3
3 ，
故a<√3
3 .
5.(2024·宿州模拟)定义：对于数a，b，若它们除以整数m 所得的余数相等，则称a 与b 对于模m 同余，记
作a≡b(mod m).已知正整数t 满足t≡11(mod 6)，将符合条件的所有t 的值按从小到大的顺序排列，构成数列
{an}.设数列{an}的前n 项和为Sn，则2Sn＋6
n
的最小值为( )
A.12
B.14
C.16
D.18
答案 C
解析 由题意可知an＝6n－1，n∈N*，
则数列{an}是等差数列，
所以Sn＝n[5＋(6n-1)]
2
＝3n2＋2n，
可得2Sn＋6
n
＝6n
2＋4 n＋6
n
＝6(n＋1
n)＋4≥12√n· 1
n＋4＝16，
当且仅当n＝1 时，2Sn＋6
n
取得最小值16.
6.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边
长分别为a，b，c，三角形的面积S 可由公式S＝√p( p-a)( p-b)( p-c)求得，其中p 为三角形周长的一
半.已知△ABC 的周长为12，c＝4，则此三角形面积最大时，A 等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案 C
解析 由题可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，
则S＝√6(6-a)(6-b)(6- 4)＝√12(6-a)(6-b)≤√12×6-a＋6-b
2
＝4√3，
当且仅当a＝b＝4 时取等号，
所以此时三角形为等边三角形，故A＝60°.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若mxy
m-1≤x＋2y 恒成立，则实数m 的可能取值为( )
A.1
2
B.9
8
C.3
D.17
16
答案 ABC
解析 由x>0，y>0，得xy>0，
mxy
m-1≤x＋2y 恒成立，
即m
m-1≤x＋2 y
xy
＝2
x ＋1
y 恒成立，
又2
x ＋1
y ＝(
2
x ＋1
y)(2x＋y)＝5＋2 y
x ＋2 x
y ≥5＋2√
2 y
x · 2 x
y ＝9，
当且仅当x＝y＝1
3时，等号成立，
故m
m-1≤9，即m
m-1－9＝-8m＋9
m-1
≤0，
即{
(m-1)(-8m＋9)≤0,
m-1≠0,
解得m<1 或m≥9
8.
8.若a>1，b>1，且ab＝e2，则( )
A.2e≤a＋b<e2＋1
B.0<ln a·ln b≤1
C.2√2－1≤ln a＋logab<2
D.aln b的最大值为e
答案 ABD
解析 由a>1，b＝e
2
a >1，得1<a<e2，
因为函数f(a)＝a＋b＝a＋e
2
a 在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a＋b<e2＋1，故A 正确；
因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0<ln a·ln b≤(
ln a＋ln b
2
)
2
＝1，当且仅当a＝b＝e 时，等号成立，
故B 正确；
ln a＋logab＝ln a＋ln b
ln a＝ln a＋2- ln a
ln a
＝ln a＋2
ln a－1，
设t＝ln a∈(0，2)，所以φ(t)＝t＋2
t －1 在(0，√2)上单调递减，在[√2，2)上单调递增，
所以φ(t)＝t＋2
t －1∈[2√2－1，＋∞)，故C 错误；
设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2024·南京模拟)若正实数x，y 满足x＋y＝2，且1
xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为 .
答案 1
解析 ∵正实数x，y 满足x＋y＝2，
∴xy≤( x＋y)
2
4
＝2
2
4 ＝1，∴1
xy ≥1，
又1
xy ≥M 恒成立，∴M≤1，即M 的最大值为1.
10.已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b 的值域为[0，＋∞)，其中a>b，则a
2＋b
2
a-b 的最小值为 .
答案 2√2
解析 函数f(x)＝ax2＋2x＋b 的值域为[0，＋∞)，
令ax2＋2x＋b＝0，
则有{
Δ＝4 - 4 ab＝0,
a>0,
即ab＝1，且a>0，
所以a
2＋b
2
a-b ＝(a-b)
2＋2ab
a-b
＝(a－b)＋2
a-b，
又a>b，所以a－b>0，
则(a－b)＋2
a-b≥2√
2
a-b ·(a-b)＝2√2，
当且仅当a－b＝√2，且ab＝1，
即a＝√6＋√2
2
，b＝√6-√2
2
时等号成立，
即a
2＋b
2
a-b 的最小值为2√2.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知函数f(x)＝x＋9
x -1(x>1).
(1)求f(x)的最小值；(6 分)
(2)若a2＋6a≤f(x)恒成立，求a 的取值范围.(7 分)
解 (1)f(x)＝x＋9
x -1＝x－1＋9
x -1＋1，
因为x>1，所以x－1>0，
所以x－1＋9
x -1＋1≥2√( x -1)·
9
x -1＋1＝7，
当且仅当x－1＝9
x -1，即x＝4 时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2＋6a≤f(x)恒成立，
所以a2＋6a≤7，解得－7≤a≤1，
所以a 的取值范围是[－7，1].
12.(15 分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影
响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产
某产品.已知生产该产品的年固定成本为400 万元，最大产能为100 台.每生产x 台，需另投入成本G(x)万元，
且G(x)＝{
2 x
2＋60 x ,0< x ≤40,
201 x＋3 600
x
-2 100,40< x ≤100,由市场调研知，该产品每台的售价为200 万元，且全年内
生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；(7 分)
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？(8 分)
解 (1)由题意可得W(x)＝{
200 x -2 x
2-60 x - 400,0< x ≤40,
200 x -201 x - 3 600
x
＋2 100- 400,40< x ≤100,
所以W(x)＝{
-2 x
2＋140 x - 400,0< x ≤40,
- x - 3 600
x
＋1 700,40< x ≤100.
(2)当0<x≤40 时，W(x)＝－2x2＋140x－400，
当x＝35 时，W(x)取最大值，W(35)＝2 050(万元)；
当40<x≤100 时，W(x)＝－x－3 600
x
＋1 700＝－(x＋3 600
x )＋1 700≤－2√x· 3 600
x
＋1 700＝1 580，
当且仅当x＝60 时，等号成立，
因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050 万元.
每小题5 分，共20 分
13.(2025·德阳模拟)设双曲线x
2
a
2 －
y
2
a
2＋1
＝1(a>0)的离心率为e，则当e2＋a2取最小值时，e 等于( )
A.√2
B.2
C.√3
D.3
答案 C
解析 双曲线x
2
a
2 －
y
2
a
2＋1
＝1(a>0)的离心率为e＝√2a
2＋1
a
，
e2＋a2＝2a
2＋1
a
2
＋a2＝2＋1
a
2＋a2≥2＋2√
1
a
2 ·a
2＝4，
当且仅当1
a
2＝a2，即a＝1 时取等号，
此时e＝√2a
2＋1
a
＝√3.
14.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)＝2 026x－2 026－x，若m>0，n>1，且f(
1
m -2)＋f(
2
n)＝f(sin 2 026π)，则
3
2m-1 ＋
1
n-1的最小值为 .
答案 2√3
解析 因为f(x)＝2 026x－2 026－x，
所以f(－x)＝2 026－x－2 026x＝－(2 026x－2 026－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，f(0)＝0，
若m>0，n>1，则f(
1
m -2)＋f(
2
n)
＝f(sin 2 026π)＝f(0)＝0，
所以f(
1
m -2)＝－f(
2
n)＝f(- 2
n)，
又f(x)在R 上单调递增，
所以1
m－2＝－2
n，即1
m ＋2
n＝2，n＋2m＝2mn，
则2m＝n
n-1，
所以
3
2m-1 ＋
1
n-1 ＝
3n＋2m- 4
2mn-(2m＋n)＋1
＝3n＋2m－4＝3n＋n
n-1－4
＝3(n－1)＋1
n-1≥2√3(n-1)·
1
n-1＝2√3，
当且仅当3(n－1)＝1
n-1，即n＝1＋√3
3 时，等号成立，
所以
3
2m-1 ＋
1
n-1的最小值为2√3.
15.出入相补是指一个平面(或立体)图形被分割成若干部分后面积(或体积)的总和保持不变，我国汉代数学
家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC=b，BC=a(b≥a)，AB=c，图中两
个阴影三角形的周长分别为l1，l2，则l1+l2
a+b 的最小值为 .
答案 1+√2
2
解析 如图1，易知△BDE∽△ACB，
且BD=CD-BC=b-a，
所以BD
AC =b-a
b
=
l1
a+b+c ，
所以l1=b-a
b
(a+b+c)；
如图2，易知△GFH∽△ACB，且FG=a，
所以FG
AC =a
b=
l2
a+b+c ，
所以l2=a
b(a+b+c)，
所以l1+l2
a+b =a+b+c
a+b
=1+√a
2+b
2
a+b
=1+√
a
2+b
2
a
2+b
2+2ab
=1+√
1
1+ 2ab
a
2+b
2
，
又因为a2+b2≥2ab，所以2ab
a
2+b
2≤1，
当且仅当a=b 时取等号，
所以l1+l2
a+b ≥1+√
1
1+1=1+√2
2 ，
所以l1+l2
a+b 的最小值为1+√2
2 .
16.已知椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)，经过仿射变换{
x' = x ,
y ' = a
b y ,则椭圆变为了圆x'2+y'2=a2，并且变换过程有如下对
应关系：①点P(x0，y0)变为P'(x0，a
b y0)；②直线斜率k 变为k'=a
bk，对应直线的斜率比不变；③图形面
积S 变为S'=a
bS，对应图形面积比不变；④点、线、面位置关系不变(平行直线还是平行直线，相交直线还
是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等).过椭圆x
2
4 +y2=1 内一点P(1，1
2)作一直线与椭圆相交
于A，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为 .
答案 1
解析 x
2
4 +y2=1，a=2，b=1，
由仿射变换{
x' = x ,
y ' =2 y ,
椭圆方程变换为x'2+y'2=4，
P(1，1
2)变换为P'(1，1)，如图所示，设圆的半径为r，点O'到直线A'B'的距离为d，则r=2，
所以S'△A'O'B'=1
2×2√r
2-d
2·d=√4 -d
2·d≤4 -d
2+d
2
2
=2，
当且仅当d=√2时，等号成立，
而S'△A'O'B'=2S△AOB，
所以S△AOB≤1，即△AOB 的最大面积为1.
