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2.4 指数运算及指数函数
1
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2
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3
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4
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考点一 指数的运算
【例1】（2024 广西）化简求值:
(1)
；
(2)
．
(3)
；
（4）已知
，计算：
.
【一隅三反】
1（2024 甘肃）（多选）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）化简下列各式：
（1）
=
5
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（2）
（
=
（3 设
，则
的值为
3.（2024 广东广州）计算下列各式．
(1)
； （2）
（3）
； （4）
；
(51)
； (6)
；
（7）已知
，求
的值．
考点二 指数函数概念及解析式
【例2-1】（2024 宁夏吴忠·阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2023 上海）函数
是指数函数，求
的值 ．
【例2-3】（2024·广东湛江·开学考试）若函数
（
，且
）满足
，则
的值为
6
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（ ）
A．±
B．±3
C．
D．3
【一隅三反】
1．（2024 广西河池·期末）已知指数函数
的图象经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
2．（2024 江西新余·期中）（多选）若函数
是指数函数，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 指数型函数的定义域
【例3-1】（2024 湖南）设函数
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2022·4 海南·模拟预）已知函数
的定义域为
，则
．
【一隅三反】
1．（2024 北京·期末）函数
的定义域是 ．
2．（2024 湖南长沙·）函数
的定义域为
3．（2024 重庆渝中）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 .
（用区间或集合作答）
考点四 指数型函数的值域
【例4-1】（1）（2024 浙江丽水）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2024 河北石家庄·阶段练）函数
，
的值域是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
（3）（2024 黑龙江绥化）当
时，函数
的值域为 .
【例4-2】（1）（2024 湖北）已知函数
的值域为R，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为
．若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1（2024 山东潍坊·期中）函数
的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．
D．
2．（2024 上海虹口·期中）已知函数
，则
的值域为 ．
3．（2024·贵州·模拟预测）已知函数
，则
的最大值是 .
4．（2023 高三·全国·专题练习）函数
的值域为 .
5．（2024 福建福州·期中）函数
的值域为 ．
6．（2024 上海·开学考试）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围为 ．
7（23-24 高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数
（
且
）在区间
上的值域为
，则实
数
的值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．
8
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8（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 指数型函数的单调性
【例5-1】（2024 湖南岳阳·期中）已知函数
，则函数
单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2024·辽宁·一模）若函数
在区间
内单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-3】（2024 内蒙古赤峰）若函数
是
上的减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1（2024 上海静安·阶段练习）函数
的严格增区间是 .
2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 天津和平）设函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 江苏淮安·阶段练习）使得“函数
在区间
上单调递减”成立的一个充分不必要条
件可以是（ ）
9
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A．
B．
1
C．
D．
0
考点六 指数型函数单调性的应用
【例6-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-2】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-3】（2024·天津·一模）已知实数a，b，c 满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-4】（23-24 高三下·河南周口·开学考试）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2（23-24 高三上·天津·期末）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 江苏苏州·阶段练习）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10
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4（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2024 上海黄浦·期末）已知函数
，则不等式
的解集为 .
考点七 指数型函数的图像
【例7-1】（2023 广东惠州·阶段练习）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7-2】（2024 广西柳州·期中）要使
的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 江西·开学考试）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2024 山东济南）函数
的图象大致为（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（2024 江苏常州）（多选）若函数
（其中
且
）的图象过第一、三、四象限，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点八 指数型函数的定点
【例8-1】（2024 安徽六安）函数
，且
恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-2】（2024 内蒙古鄂尔多斯·）当
时，
的图像恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 辽宁抚顺）已知函数
的图象恒过定点P，则P 点的坐标为（ ）.
A．
B．
C．
D．
2（22024 广西南宁 ）函数
且
的图象恒过定点
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 福建莆田）对任意
且
，函数
的图象都过定点
，且点
在角
的终边上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点九 指数型函数的实际应用
【例9】（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成
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公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近
似满足关系
（其中
、
为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为
，经过
个月，这种垃圾
的分解率为
，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a 个这种病毒在t 天后将繁殖到
个．已
知经过4 天后病毒的数量会达到原来的2 倍．且再过m 天后病毒的数量将达到原来的16 倍，则
（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
2．（2024 河北保定）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951 年9 月底，毛主席在
接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：
好好学习，天天向上.这8 个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.
他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为
3%，那么经过一个学期（看作120 天）后的学习情况为
，如果每天的“迟步率”为3%，同
样经过一个学期后的学习情况为
，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的
1335 倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10 倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考
数据：
，
）（ ）
A．28
B．38
C．60
D．100
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性
．动植物死亡后，停止了新陈代谢，
不再产生，且原来的
会自动衰变．经过5730 年，它的残余量只
有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中
含量占原来的
，推算该古物约是
年前的遗物（参考数
据：
），则实数
的值为（ ）
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A．12302
B．13304
C．23004
D．24034
一．单选题
1．（2024 北京）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3（2024 福建漳州）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2023·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
与时间
（单位：
）间的关系为
，其中
，
是正的常数．如果在前
消除了
的污染物，则10 小时后
还剩下百分之几的污染物？（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．-1
B．-2
C．2
D．1
6.（2024·四川）设函数
在定义域
上满足
，若
在
上是减函数，且
，
则不等式
的解集为（ ）
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A．
B．
C．
D．
7（2024·辽宁·一模）设
则（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（2024·四川攀枝花）已知奇函数
在
上的最大值为
，则
（）
A．
或3
B．
或2
C．3
D．2
二．多选题
9．（2024 河北邯郸·期中）若函数
且
的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024 江苏徐州·阶段练习）函数
的定义域为
，值域为
，下列结论中一定成立的
结论的序号是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023·吉林）若函数
的图像经过点
， 则（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
的最大值为 81
D．
的最小值为
三．填空题
12．（2024 云南）若函数
（
，且
）的图象不经过第二象限，那么a，b 的取值范围分别
为 .
13（2024 河南信阳·阶段练习）设函数
且
在区间
单调递减，则
的取值范围是
.
15
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14．（2024 上海闵行）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
．
四．解答题
15．（2024 广东湛江）设函数
．
(1)若函数
的图象关于原点对称，求函数
的零点
；
(2)若函数
在
，
的最大值为
，求实数
的值．
16（2024 上海虹口）已知函数
是定义域为
的奇函数.
(1)求实数
的值，并证明
在
上单调递增；
(2)已知
且
，若对于任意的
、
，都有
恒成立，求实数
的取值范围.
16
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17．（2024·四川遂宁）已知函数
定义在
上有
恒成立，且当
时，
.
（1）求
的值及函数
的解析式；
（2）求函数
的值域.
18．（2024·新疆）设函数
．
(1)求函数
的值域；
(2)设函数
，若对
，求正实数a 的取值范围．
17
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19．（2024 天津）已知函数
（
为常数，且
，
）．
(1)当
时，若对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围；
(2)当
为偶函数时，若关于
的方程
有实数解，求实数
的取值范围．
18
