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第07讲 函数的图像
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)――――――――――――――――――――→y＝f(ax)．
②y＝f(x)――――――――――――――――――→y＝af(x)．
(3)对称变换
①y＝f(x)――――――→y＝－f(x)．
②y＝f(x)――――――→y＝f(－x)．
③y＝f(x)――――――→y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)――――――→y＝log x(a>0且a≠1)．
a
(4)翻折变换
①y＝f(x)―――――――――→y＝|f(x)|.
②y＝f(x)―――――――――――→y＝f(|x|)．
一．作出函数的图像
例1．（1）作出下列函数的大致图象：① ；
② ；
③ ；
④ .
（2）根据 的图像，作出下列函数的图像：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ．
【复习指导】：图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y
＝x＋的函数．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但
要注意变换顺序．
(3)图像变换的翻折变换有两种：
图像保留x轴上方图像，将x轴下方图像翻折上去，得到 的图像；
图像保留y轴右边图像，并将其关于y轴对称的图像画出，得到 的图像．
（3）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域：① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， 为正实数.
⑤ ；
⑥ .
（4）作出下列函数的图象：
①y＝；
②y＝|x2－4x＋3|.
③y＝x2－|x|－2.
④
（5）若函数 的图象如图所示，则函数 的图象大致为（ ）．A． B． C． D．
【复习指导】：常见的平移变换原则“左加右减，上加下减”，对称变换有 和 关于
轴对称， 和 关于 轴对称， 和 关于原点轴对称等.
（6）将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，所得图象的函数式为 ，
则 、 的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
（7）（多选）为了得到函数 的图象，可将函数 的图象（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍
B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
C．向上平移一个单位长度
D．向下平移一个单位长度
二．函数图像的辨识
例2．（1）函数 在区间 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
（2）函数 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
（3）函数 在区间（ ， ）内的图象是( )
A． B．
C． D．
（4）函数 在 的图像大致为（ ）A． B．
C． D．
（5）函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【复习指导】：辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
（6）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：函数图象与解析式的对应情况可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断与图象的左右位置是否一致；从函数的值域，判断与图象的上下位置是否一致；
(2)从函数的单调性，判断与图象的变化趋势是否一致；
(3)从函数的奇偶性，判断与图象的对称性是否一致；
(4)从函数的零点分布，判断与图象是否一致.
三．函数图像的应用
命题点1 研究函数的性质
例3．（1）（多选）下面关于函数 的性质，说法正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 在定义域上单调递减 D．点 是 图象的对称中心
（2）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减（3）已知 为定义在 上的奇函数，当 时，有 ，且当 时，
，下列命题正确的是（ ）
A． B．函数 在定义域上是周期为 的函数
C．直线 与函数 的图象有 个交点 D．函数 的值域为
（4）①在同一坐标系中， 与 的图象关于 轴对称；
② 是奇函数；
③ 的图象关于 成中心对称；
④ 的最大值为 ；
⑤ 的单调增区间： ．
以上五个判断正确的有____________________（写上所有正确判断的序号）．
（5）设函数 的定义域为R，则下列命题：
①若 是偶函数，则 的图像关于 轴对称；
②若 是偶函数，则 的图像关于直线 对称；
③若 ，则函数 的图像关于直线 对称；
④ 与 的图像关于直线 对称．
其中正确命题的序号为________．
【复习指导】：利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借
助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．命题点2 确定零点个数、解不等式
例4．（1）奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集是（
）
A． B． C． D．
（2）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（3）若函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【复习指导】：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析
式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
（4）函数f(x)= -|sin 2x|在 上零点的个数为( )
A．2 B．4 C．5 D．6
（5）定义在R上的偶函数 满足 ,当 时， ，设函数，则函数 与 的图象交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
命题点3 求参数的取值范围
例5．（1）已知函数 ，若函数 恰有3个零点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
（2）若曲线 与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是_______．
【复习指导】：考查函数的零点个数与参数，解题的关键就是作出图象，将问题转化为两个图象的交点个
数问题来求解，在画函数图象时，分析函数的一些基本性质以及一些基本的图象变换，数形结合得出结论．
（3）已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx. 若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是
__________．若f(x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．
【复习指导】：利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与
g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，
体现了数形结合思想．（4）把函数 的图象向左平移 ( )个单位长度后，所得图象对应的函数 在 上
单调递增，则 的取值范围为______.
（5）已知函数 .若函数 存在5个零点，则实数 的取值范围为
_________.
（6）已知函数 ， ，对于任意 ，总存在 ，使得
成立，则实数 的取值范围为_____.
1．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A． B． C． D．
3．函数y＝1＋x＋ 的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A． B．
C． D．6．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
8．函数 的图象如图，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
9．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事
休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数 的部分图象如图
所示，则函数 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
10．若函数 的大致图象如图，则 的解析式可能是( )
A． B． C． D．
11．已知某函数的部分图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．存在函数 满足：对任意 都有（ ）
A． B．
C． D．13．设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则一定有（ ）
A． B． C． D．
14．定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解.若关于x的不等式
有最优解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． ∪ D． ∪
15．已知函数 是定义在 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数 ，不等式
恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
16．已知 ，若关于 的方程 有三个实根，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
17．若函数 图象与函数 的图象关于原点对称，则（ ）
A． B．
C． D．18．已知函数f（x）＝ ，若 ，且 ，给出下列结
论：① ，② ，③ ，④ ，其中所有正确命题的编号是（
）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
19．已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是( )
A． B． C． D．
20．函数 的图象向右平移一个单位，所得图象与 的图象关于 轴对称，则 （ ）．
A． B． C． D．
21．若当 时，函数 始终满足 ，则函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．22．已知函数 ，若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
23．函数 与 的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之和为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
24．已知定义在 上的函数 ， 满足 ，则函数 的图象关于（ ）
A．直线 对称 B．直线 对称 C．原点对称 D． 轴对称
25．有以下结论∶
①将函数 的图像向右平移1个单位得到 的图像；
②函数 与 = lnx的图像关于直线y= x对称；
③对于函数 (a>0且a≠1)，一定有
④函数 的图像恒在x轴上方，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．426．函数 的图象与函数gx 2sinx1 2 x4的图象所有交点的横坐标之和等于
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
27．已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝3x－9，则f(x－3)>0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>2} B．{x|x<－2或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<1或x>5}
29．已知 是定义在 上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点 成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
30．已知函数 （ 且 ）的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．31．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
A． B．
C． D．
32．已知函数 ，若方程 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
33．要得到函数 的图像，只需将 的图象（ ）
A．向左移动 个单位 B．向右移动 个单位
C．向左移动1个单位 D．向右移动1个单位
34．（多选）已知函数 若函数 有且只有两个不同的零点，则实
数 的取值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．235．（多选）已知函数 ，方程 有4个不同的实数根，则下列选项
正确的为（ ）
A．函数 的零点的个数为2
B．实数 的取值范围为
C．函数 无最值
D．函数 在 上单调递增
36．（多选）已知定义在 上的函数 的图像关于点 对称，则下列结论成立的是（ ）
A． 为偶函数 B．
C． D．
37．（多选）已知函数 对任意 都有 ，若函数 的图像关于 对称，且对
任意的 ，且 ，都有 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．
C． 的图像关于 对称 D．38．（多选）已知函数f(x)＝x－4＋ ，x∈(0，4).当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝ 的图
象不可能是（ ）
A． B． C． D．
39．设函数 ， ，则函数 零点的个数有______个.
40．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是________.
41．函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，给出
下列四个结论：
① 图象的对称中心是 ；
② 图象的对称中心是 ；
③类比可得函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是 为偶函数；
④类比可得函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是 为偶函数．其中所有正确结论的序号是______．
42．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为_____．
43．已知函数 ，将函数 的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数 的
图象，函数 ，若对任意的 （ ），都有 ，则实数 的最大值
为__________．
44．已知f(x)＝ 则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
45．若函数 的图象经过点 ，则 的图象必经过的点坐标是_______.
46．若方程 有四个不同的根，则 的取值范围是 _______．
47．如图所示，函数 的图象由两条射线和三条线段组成.若 ， ，则正实
数 的取值范围是________.48．已知函数 ，给出下列四个命题：
①函数 的图象关于点 对称；
②函数 的图象关于直线 对称；
③函数 在定义域内单调递减；
④将 的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位后与 的图象重合．
其中真命题是_________（填写编号）．
49．作出下列函数图象
(1)
(2)
50．已知 f x .
⑴ 作出函数 f x 的图象；
⑵ 写出函数 f x 的单调递增区间．
⑶ 写出集合 M m | 使方程f x m有四个不相等的实根.
