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进阶2 与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题
解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法：
(1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解；
(2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围.
常见的方法：①基本不等式法；②利用函数单调性；③配方法；④换元法；⑤判别式法；⑥导数法；⑦利
用三角函数有界性.
题型一 与弦长、周长有关的范围(最值)问题
例1 (2024·衢州模拟)已知椭圆C：y
2
a
2 ＋x
2
b
2＝1(a>b>0)的离心率为√2
2 ，斜率为1
2的直线l 与y 轴交于点
P，l 与C 交于A，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与坐标原点O 重合时，△ABT 的面积为8
9.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q，求△OPQ 周长的最小值.
解 (1)当P 与坐标原点O 重合时，可设A(x0，y0)(x0>0)，
则有B(－x0，－y0)，
T(x0，－y0)，
且x0＝2y0，AT⊥BT，
则S△ABT＝1
2|AT|·|BT|＝1
2·2y0·2x0＝8
9，
即2y0
2＝4
9 ，∴y0
2＝2
9，则x0
2＝8
9，
则有2
9a
2 ＋8
9b
2＝1，由离心率为√2
2 ，即c
a ＝√2
2 ，
则a2＝2c2＝b2＋c2，∴a2＝2b2，
即有1
9b
2 ＋8
9b
2＝1，解得b2＝1，∴a2＝2，
即椭圆C 的方程为y
2
2 ＋x2＝1.
(2)设直线l 的方程为x＝2y＋t(t≠0)，令x＝0，有y＝－t
2，即yP＝－t
2，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则T(x1，－y1)，
联立直线l 与椭圆方程{
x＝2 y ＋t ,
y
2
2 ＋x
2＝1,
消去x 得9y2＋8ty＋2t2－2＝0，
有y1＋y2＝－8t
9 ，y1y2＝2t
2-2
9
，
Δ＝64t2－36(2t2－2)>0，得－3<t<3，
直线BT 的方程为y＝
y2＋y1
x2- x1
(x－x2)＋y2，
令y＝0，xQ＝
x1 y2- x2 y2
y1＋y2
＋x2＝
x1 y2＋x2 y1
y1＋y2
，
由x＝2y＋t，
得x1 y2＋x2 y1
y1＋y2
＝(2 y1＋t ) y2＋(2 y2＋t ) y1
y1＋y2
＝
4 y1 y2
y1＋y2
＋t＝
4× 2t
2-2
9
- 8t
9
＋t＝1
t ，即xQ＝1
t ，
则C△OPQ＝|yP|＋|xQ|＋√| y P|
2＋| xQ|
2
＝|t|
2 ＋1
|t|＋√
t
2
4 ＋1
t
2≥2√
|t|
2 · 1
|t|＋√
2√
t
2
4 · 1
t
2 ＝√2＋1，
当且仅当t＝±√2时等号成立，
故△OPQ 周长的最小值为√2＋1.
思维升华 利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
(1)设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ 的判断；
(3)列出根与系数的关系；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的形式；
(5)代入根与系数的关系求解.
跟踪训练1 (2025·衡阳模拟)已知抛物线C：x2＝4y，过点D(0，2)的直线l 交抛物线于A，B 两点，抛
物线在点A 处的切线为l1，在点B 处的切线为l2，直线l1与l2交于点M.
(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2＝－2；
(2)设线段AB 的中点为N，求| MN |
| AB| 的取值范围.
(1)证明 由题意知，直线l 的斜率存在，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l 的方程为y＝kx＋2，
由{
y ＝kx ＋2,
x
2＝4 y , 得x2－4kx－8＝0，
Δ＝16k2＋32>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，
由y＝1
4 x2，得切点A(x1，x1
2
4 )，B(x2，x2
2
4 )，
y'＝1
2x，所以切线l1的斜率k1＝1
2x1，
切线l2的斜率k2＝1
2x2，
所以k1k2＝1
4 x1x2＝1
4 ×(－8)＝－2.
(2)解 由(1)可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝4(k2＋1)，
故y1＋y2
2
＝2(k2＋1)，N(2k，2(k2＋1)).
由(1)得l1：y－x1
2
4 ＝x1
2
(x－x1)，
可化为y＝1
2x1x－x1
2
4
，
①
同理得l2：y＝1
2x2x－x2
2
4
，
②
由①②，得x＝x1＋x2
2
＝2k，y＝x1 x2
4
＝－2，
即M(2k，－2)，
则|MN|＝2(k2＋1)＋2＝2(k2＋2)，
|AB|＝√1＋k
2·|x1－x2|＝√1＋k
2·√( x1＋x2)
2- 4 x1 x2
＝√k
2＋1·√(4 k )
2＋32＝4√(k
2＋1)(k
2＋2)，
所以| MN |
| AB| ＝1
2√
k
2＋2
k
2＋1
＝1
2√
1＋
1
k
2＋1
.
由k2≥0，k2＋1≥1，得0<
1
k
2＋1≤1，
故| MN |
| AB| ∈(
1
2 ，√2
2 ]，
即| MN |
| AB| 的取值范围为(
1
2 ，√2
2 ].
题型二 与距离、面积有关的范围(最值)问题
例2 已知P(0，√2)和Q(√2，1)为椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)上的两点.
(1)求椭圆C 的方程和离心率；
(2)设直线l：y＝kx＋1 与椭圆C 交于A，B 两点，求△AOB 面积的取值范围.
解 (1)因为P(0，√2)和Q(√2，1)为椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)上的两点，
所以{
2
b
2 ＝1,
2
a
2 ＋1
b
2 ＝1,
解得{
a
2＝4 ,
b
2＝2,
又因为a2＝b2＋c2，所以c2＝2.
所以椭圆C 的方程为x
2
4 ＋y
2
2 ＝1，离心率e＝c
a ＝√2
2 .
(2)联立方程{
y ＝kx ＋1,
x
2
4 ＋y
2
2 ＝1,
消去y 得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，
因为Δ＝(4k)2－4×(1＋2k2)×(－2)＝32k2＋8>0，
所以设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－
4 k
1＋2k
2，x1x2＝－
2
1＋2k
2，
所以|AB|＝√k
2＋1√( x1＋x2)
2- 4 x1 x2
＝√k
2＋1
1＋2k
2×√32k
2＋8.
又因为点O 到直线l：y＝kx＋1 的距离为d＝
1
√k
2＋1，
所以△AOB 的面积S＝1
2×d×|AB|
＝1
2×
1
√k
2＋1×√k
2＋1
1＋2k
2×√32k
2＋8
＝√2√4 k
2＋1
1＋2k
2
＝√2√
4 k
2＋1
(1＋2k
2)
2 ＝√2√
4 k
2＋1
1＋4 k
2＋4 k
4，
令t＝4k2＋1(t≥1)，
则S＝√2√
4t
t
2＋2t ＋1
＝√2
√
4
t ＋1
t ＋2≤√2
√
4
2√t × 1
t ＋2
＝√2
(当且仅当t ＝1
t ，即t ＝1时，等号成立)，
也就是当k＝0 时，△AOB 的面积取最大值√2，
又因为当|k|→＋∞时，S→0，
所以△AOB 面积的取值范围是(0，√2].
思维升华 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、
距离、三角形的面积等问题.
跟踪训练2 双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的
直线交C 于B，D 两点，且△ABD 是直角三角形.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)M，N 是C 右支上的两动点，设直线AM，AN 的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A 到直线MN
的距离d 的取值范围.
解 (1)依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
由|AF|＝|BF|，得a＋c＝b
2
a ，得a2＋2a＝22－a2，
解得a＝1(其中a＝－2<0 舍去)，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故双曲线C 的方程为x2－y
2
3 ＝1.
(2)由(1)知A(－1，0)，显然直线MN 不可能与x 轴平行，故可设直线MN 的方程为x＝my＋n，
联立{
x＝my ＋n,
3 x
2- y
2＝3,
消去x 整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
在条件{
3m
2-1≠0,
Δ>0
下，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－6mn
3m
2-1，y1y2＝3(n
2-1)
3m
2-1
，
由k1k2＝－2，得
y1
x1＋1·
y2
x2＋1＝－2，
即y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，
整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，
所以3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，
化简得n2－4n－5＝0，解得n＝5 或n＝－1(舍去)，此时Δ>0，
则直线MN 的方程为x－my－5＝0，
得d＝
6
√m
2＋1，
又M，N 都在双曲线的右支上，
故有y1y2＝3(n
2-1)
3m
2-1
＝
72
3m
2-1
<0，
解得0≤m2<1
3，
此时1≤√m
2＋1< 2
√3，d＝
6
√m
2＋1∈(3√3，6]，
所以点A 到直线MN 的距离d 的取值范围为(3√3，6].
课时精练
[分值：34 分]
1.(17 分)已知双曲线C：x2－y
2
b
2 ＝1(b>0)的离心率为√2.
(1)求此双曲线的渐近线方程；(7 分)
(2)若经过点P(0，－1)的直线与双曲线C 的右支交于不同的两点M，N，求线段MN 的垂直平分线l 在y 轴
上的截距t 的取值范围.(10 分)
解 (1)双曲线C：x2－y
2
b
2 ＝1(b>0)的离心率为√2，
a＝1，可得c＝√2，所以b＝1，
可得双曲线C：x2－y2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)设经过点P 的直线方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
联立方程组{
x
2- y
2＝1,
y ＝kx -1,
消去y 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以{
1-k
2≠0,
x1＋x2＝- 2k
1-k
2 >0,
x1 x2＝-2
1-k
2 >0,
Δ＝4 k
2＋8(1-k
2)>0,
解得1<k<√2.
所以线段MN 的中点坐标为(
-k
1-k
2 ，-1
1-k
2)，
所以线段MN 的垂直平分线方程为
y＋
1
1-k
2＝－1
k(x＋
k
1-k
2)，
令x＝0 得截距t＝
2
k
2-1>2，
即线段MN 的垂直平分线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是(2，＋∞).
2.(17 分)如图，已知椭圆E 的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P，Q 为椭圆上的两个动点，
△PQF2周长的最大值为8.
(1)求椭圆E 的标准方程；(7 分)
(2)过F2作直线l 与椭圆E 交于不同的两点M，N，求△F1MN 面积取最大值时直线l 的方程.(10 分)
解 (1)由题意知椭圆E 的左焦点F1(－1，0)，连接PF1，QF1，如图1，
图1
设椭圆E 的标准方程为x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)，
则△PQF2的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2a－|PF1|＋2a－|QF1|＋|PQ|
＝4a－(|PF1|＋|QF1|－|PQ|)≤4a(当P，Q，F1三点共线时取等号)，
由4a＝8，得a＝2，
易知c＝1，所以b＝√a
2-c
2＝√3，
所以椭圆E 的标准方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1.
(2)如图2，可设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
图2
由{
x＝my ＋1,
x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
Δ＝144(m2＋1)>0，
y1＋y2＝-6m
3m
2＋4 ，y1y2＝-9
3m
2＋4 ，
S△F1 MN ＝1
2|F1F2||y1－y2|
＝√( y1＋y2)
2- 4 y1 y2＝12√m
2＋1
3m
2＋4
，
令t＝√m
2＋1(t≥1)，则S△F1 MN ＝
12t
3t
2＋1
＝
12
3t ＋1
t
，
由y＝3t＋1
t 在[1，＋∞)上单调递增，
得S△F1 MN ＝
12
3t ＋1
t
≤3，所以S△F1 MN的最大值为3，此时m＝0，直线l 的方程为x＝1.
