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保密★启用前
2025 届新高三阶段性检测01（基础版）
（范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数）
（新课标卷）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简集合
，结合交集的概念即可得解.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：B.
2．已知命题p：有些实数的相反数是正数，则
是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接写出答案.
【详解】已知命题
：有些实数的相反数是正数，即
，
1
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则
，
故选：B.
3．下列函数最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断．
【详解】选项A，
时，
，最小值不是4，A 错；
选项B，由基本不等式知
，当且仅当
时等号成立，B 正确；
选项CD 中，当
时，函数最小值为0，CD 均错．
故选：B．
4．若函数
在其定义域内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将问题转化为f
′ (x)≥0在(0,+∞)上恒成立，利用基本不等式可得.
【详解】
的定义域为(0,+ ∞)，
，
因为函数
在其定义域内单调递增，
所以
在(0,+ ∞)上恒成立，即
在(0,+ ∞)上恒成立，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，所以
.
故选：B
2
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5．设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解.
【详解】因为
，所以
，因为
，
所以
.
因为
，所以
，所以
.
故选：D
6．大气压强
（单位：
）与海拔
（单位：
）之间的关系可以由
近似描述，
其中
为标准大气压强，
为常数.已知海拔为
两地的大气压强分别为
.若测得某地的大气压强为80
，则该地的海拔约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件得到
，
，两式相比得到
，又由
和
，得到
，从而得到
，即可求
解.
【详解】由题知
①，
②，
①
②两式相比得到
，
所以
③，
当
时，由
④，②
④得到
，
3
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所以
⑤，
由⑤
④，得到
，
解得
.
故选：C.
7．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：
，
，
，然后他们三人各用一句话来正
确描述“
”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，
甲：此数为小于5 的正整数；乙：
是
的必要不充分条件；丙：
是
的
充分不必要条件.则“
”表示的数字是（ ）
A．3 或4
B．2 或3
C．1 或2
D．1 或3
【答案】C
【分析】根据此数为小于5 的正整数得到
，再推出
是
的真子集，
是
的真子集，从而得到不等式，求出
，得到答案.
【详解】因为此数为小于5 的正整数，所以
，
.因为
是
的必要不充分条件，
是
的充分不必要条件，
所以
是
的真子集，
是
的真子集，
所以
且
，解得
，所以“
”表示的数字是1 或2，故
正确.
故选：C.
8．已知函数
不是常数函数，且满足对于任意的
，
4
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，则（ ）
A．
B．
一定为周期函数
C．
不可能为奇函数
D．
，
【答案】C
【分析】令
，和
，可判定A 错误；令
，
，得到
，
可判定C 正确；令
，得到
，可判定D 错误；结合函数
，
可判定B 错误．
【详解】由题意，函数
满足对于任意的
，
，
令
，解得
或
．
若
，令
，则
，
故
，
，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；
所以
，此时令
，
，得
，
即
，所以
必然为偶函数，所以C 正确；
再令
，则
，所以D 错误；
例如，函数
符合题意，此时函数
在
上单调递增，且不为周期函
数，所以B 错误．
故选：C.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
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分，有选错的得0 分.
9．已知集合
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
，
B．当
时，
C．当
时，
D．
，使得
【答案】AB
【分析】对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：
根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解.
【详解】对于选项A：因为
表示过定点
，且斜率不为0 的直线，
可知
表示直线
上所有的点，
所以
，故A 正确；
对于选项B：当
时，则
，
，
联立方程
，解得
，所以
，B 正确；
对于选项C：当
时，则有：
若
，则
；
若
，可知直线
与直线
平行，且
，
可得
，解得
；
综上所述：
或
，故C 错误；
对于选项D：若
，由选项C 可知
，且
，无解，故D 错误．
故选：AB．
10．已知正数
，
满足
，则下列说法正确的是（ ）
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A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.
【详解】对于A：∵
，
，
.
∴
，
.
当且仅当
，即
，
，取“
”，∴A 正确；
对于B：
，由（1）知
，∴
.
∴
. B
∴
正确；
对于C：
.
∴
，∴C 错误；
对于D：
，
当且仅当
，即
，取“
”，∴D 正确.
故选：ABD.
11．已知函数
均为定义在
上的非常值函数，且
为
的导函数.对
且
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
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C．
D．
【答案】BCD
【分析】选项A，根据条件，令
，即可求解；选项B，利用选项A 中结果，令
，即可求解；选项C，令
，得到
，进而有
，再利用选项B 中结果，得到
为奇函数，从而得出
的周期
为
的周期函数，即可求解；选项D，令
，得到
，用
代替
得到
，利用C 中结果，两式相加，即可求解.
【详解】因为
，且f (1)=0，
对于选项A，令
，得到
，所以
或
，
若
，令
，得到
，得到
，与题不合，
所以
，故选项A 错误，
对于选项B，由选项A 知
，令
，得到
，
即
，又
的定义域为
，所以选项B 正确，
对于选项C，令
，得到
，
所以
关于点
中心对称，
即
，所以
，
又由选项B 知，
，得到
，即
，
所以
为奇函数，令
，由
，得到
，
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则有
，所以
，
即
的周期为
的周期函数，所以
，故选项C 正确，
对于D，令
，得到则
①，
用
代替
得到
②，
由①+②得
，
由选项C 知
，所以
，故选项D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知集合
，
，若
，则a 的值为
.
【答案】
【分析】求出
，分类讨论
的值，根据集合元素的互异性进行检验是否符合 .
【详解】由
，
，
则
，
又
，即
，
当
时，
变为
不满足集合元素的互异性，故不符合；
当
时，即
，
当
时，
，故符合；
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当
时，
，故符合；
因此
，
故答案为：
.
13．若
，且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】由题意可借助
、
表示出
，从而消去
，再计算化简后结合基本不等式计算即
可得.
【详解】由
，则
，
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故答案为：
.
14．已知函数
有且只有一个零点，则ab 的取值范围为
.
【答案】
【分析】由题意可得
只有一个解，从而可得
，
，设
，利用导数求解即可．
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【详解】依题意得
与
只有一个交点，即两曲线相切，
则
只有一个解，
，化简得
，将其代入
得
，
，即
，
.
，
则
，
设
，则
，
在
单调递减，
，
的取值范围是
.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13 分）已知集合
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）依题先求出A 集合，再判断A、B 集合的包含关系，即可得
（2）先判断出
是A 的真子集，再考虑B 是否为空集两种情况考虑
【详解】（1）由题意知
，
因为
，所以
，
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则
，解得
，则实数
的取值范围是
；
（2）因为“
”是“
”的必要不充分条件，所以
是A 的真子集，
当
时，
解得
；
当
时，
（等号不能同时取得），解得
，
综上，
.
16．（15 分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2023 年举行促销活动．经调查测
算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用
万元满足
．
如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1 万件．已知2023 年生产该产品的固定投入
为6 万元，每生产1 万件该产品需要再投入12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件
产品平均成本的1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．求该厂家2023 年的年
促销费用t 投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少?
【答案】该厂家2023 年的年促销费用投入2.5 万元时，厂家利润最大，最大利润是21.5 万
元
【分析】首先将所获利润表示为的函数，结合基本不等式即可求得最大值即取最大值时
的值.
【详解】由题意将该厂家2023 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数为：
.
所以
，
当且仅当
时“=”成立.
所以，该厂家2023 年的年促销费用投入2.5 万元时，厂家利润最大，最大利润是21.5 万元.
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17．（15 分）已知函数
，
．
(1)若
，求使
的x 的取值范围；
(2)当
时，设
，求
在区间
上的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）解一元二次不等式可得结果.
（2）结合基本（均值）不等式求和的最小值.
【详解】（1）由题意可知：
．
所以，满足条件的x 的取值范围是
．
（2）
，
，
当
时，
，
（当且仅当
即
时取“
”），
所以
．
18．（17 分）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)求证：当
时，
.
【答案】(1)极大值
；极小值0.(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性、极值，计算即可；
（2）先利用导数计算函数的最小值
，将问题等价变形，法一、构造
函数
，利用导数求其单调性、最值即可；法二、构造函数
，
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利用二次求导判定其单调性计算即可.
【详解】（1）当
时，
令
得
或
，当
变化时，
与
变化如下表：
-2
+
-
0
+
单调递增
单调递减
0
单调递增
故当
时，
取得极大值
；
当
时，
取得极小值0.
（2）
令
，则
，当
变化时，
与
变化如下表：
-
0
+
单调递减
单调递增
故
.
要证当
时，
.
法一：
只需证当
时，
即
令
，则
在
上单调递减
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故
，即
式成立，原不等式成立.
法二：
只需证当
时，
即
令
，则
令
，则
在
上单调递减.
在
上单调递减，
即
式成立，原不等式成立.
19．（17 分）已知实数集
，定义
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求集合A；
(3)若A 中的元素个数为9，求
的元素个数的最小值．
【答案】(1)
(2)
或者
.(3)13
【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；
（2）根据
可得
，然后分
中4 个非零元素，符号为一
负三正或者一正三负进行讨论即可；
（3）分
中没有负数和
中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.
【详解】（1）
;
（2）首先，
；
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其次
中有4 个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记
，不妨设
或者
--
①当
时，
，
相乘可知
，从而
，
从而
，所以
；
②当
时，与上面类似的方法可以得到
进而
，从而
所以
或者
.
（3）估值+构造 需要分类讨论
中非负元素个数.
先证明
．考虑到将
中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合
不变，故不妨设
中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一：
中没有负数．
不妨设
，则
上式从小到大共有1+7+6=14 个数，它们都是
的元素，这表明
情况二：
中至少有一个负数．
设
是
中的全部负元素，
是
中的全部非负元素.
不妨设
其中
为正整数，
．
于是有
以上是
中的
个非正数元素：另外，注意到
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它们是
中的5 个正数．这表明
综上可知，总有
-
另一方面，当
时，
中恰有13
个元素. 综上所述，
中元素个数的最小值为13.
17
