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第05讲 复数
1．复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，
其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数⇔b＝0
复数的分类 a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋d
⇔
i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z＝a＋bi，z＝c＋di，a，b，c，d∈R.
1 2
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，
1 2
即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
4．
如图的复平面中，r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)．
任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．
我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除运算的三角表示：
已知复数z＝r(cos θ＋isin θ)，z＝r(cos θ＋isin θ)，则
1 1 1 1 2 2 2 2
z·z＝rr[cos(θ＋θ)＋isin(θ＋θ)]．
1 2 1 2 1 2 1 2
＝[cos(θ－θ)＋isin(θ－θ)]．
1 2 1 2
一．复数的四则运算
例1．（1）复数 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以 .
故选：C（2）设 为虚数单位，复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 . 故选：D.
（3）i是虚数单位，则复数 ___________.
【答案】
【详解】
二．共轭复数
例2．（1）已知 ，则复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 可得 ，所以复数 的共轭复数是 ，故选：C
（2）复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，则 .
故选：B.
（3） 的共轭复数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意， ，其共轭复数为 ；故选：A.
三．求复数的模
例3．（1）设复数z满足 ，则 （ ）
A．6 B．6 C． D．5
【答案】D
【详解】因为 ，所以 . 故选：D
（2）若 ， 为虚数单位，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【详解】由 ，可得 ，所以 .
故选：A.
（3）计算： ___________.
【答案】
【详解】 .
故答案为：
四．求复数的实部与虚部例4．（1）复数 满足 ，则复数 的实部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意 ，所以 ，故 的实部为 .
故选：D.
（2）已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】B
【详解】由 ，所以 的虚部为 ，故选：B
（3）复数 满足 （ 为虚数单位），则 的共轭复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】由题设， ，则 ，所以 的虚部为 . 故选：B
五．复数的相等
例5．（1）已知 ，若 （i为虚数单位），则 的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，则 ，所以 . 故选：B
（2）复数 ， ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题 ，即 ，即 ，所以 ， . 故选：B
（3）复数z满足 （i为虚数单位），则实数m＝（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】C
【详解】设 ，则 ，有 ，
由复数相等得到 . 故选:C.
六．已知复数类型求参数
例6．（1）若复数 为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A． B．10 C．100 D． 或10
【答案】A
【详解】 为纯虚数， 同时 ，故选：A
（2）已知复数 是纯虚数，则 ___________.
【答案】
【详解】由题知 ，解得 . 故答案为：
（3）已知复数 ，其中 ．
(1)若 为实数，求 的值；
(2)若 为纯虚数，求 的虚部．
【详解】(1)由实数定义可知： ，解得： ；(2)由纯虚数定义知： ，解得： ， ；
， 的虚部为 .
七．判断复数对应的点所在象限
例7．（1）复数 （ 表示虚数单位）在复平面内对应的点为（ ）
A．（－1，2） B．（1，－2） C．（1，2） D．（2，1）
【答案】C
【详解】因为 ，所以在复平面内对应的点为（1，2），故选:C
（2）已知 是虚数单位， ，则复数 所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第二象限．故选：B．
（3）已知复数z满足 ，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】依题意， ， ，
对应坐标为 ，在第四象限. 故选：D八．根据复数的坐标写出对应的复数
例8．（1）如图所示，在复平面内，复数 对应的点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，得 ，则 .
故选：A.
（2）已知点 ， ， ，复数 ， 在复平面内对应的向量分别是 ， ，则复数
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意知 ， ，于是 ，
故选：C.
（3）在复平面内，复数 和 对应的点分别是 和 ，则 _______.
【答案】
【详解】由题意得 ， ，所以 . 故答案为：九．根据复数对应坐标的特点求参数
例9．（1）若复数 在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ． 由题意得 解得 ．
故选：D
（2）在复平面内，若复数 所对应的点落在直线 上，其中i为虚数单位，则
（ ）
A． B． C．9 D．12
【答案】B
【详解】 ，则复数 所对应的点为
由题意 ，得 ，
故选：B
（3）复数 ，且z在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】B
【详解】当z在复平面内对应的点在第二象限时，
则有 ，可得 ，结合选项可知，B正确．
故选：B．
十．由复数模求参数例10．（1）已知复数z的虚部为1，且 ，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为___________.
【答案】
【详解】由题意，设 对应点为 ，则 ，
∴ ，则 .
∴z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为 .
故答案为： .
（2）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
【答案】
【详解】设 ，则 ﹒ 故答案为：
（3）写出一个同时满足下列条件的复数 __________.
① ；②复数 在复平面内对应的点在第四象限.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】设 ，由条件可知 ，
所以可取 ，所以 （答案不唯一，符合条件即可）.
故答案为： （答案不唯一）
十一．与复数模相关的轨迹（图形）问题
例11．（1）若z是复数，且 ，则 的最大值是（ ）A．12 B．8 C．6 D．3
【答案】A
【详解】由已知得 表示复平面内z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，
而 表示的是复平面内 对应的点 到复数 对应的点（6，－8）之间的距离，其最大值为
，
故选：A.
（2）已知复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，
因为复数z满足 ，所以由复数的几何意义可知，点 到点 和 的距离相等，
所以在复平面内点 的轨迹为 轴，
又 表示点 到点 的距离，
所以问题转化为 轴上的动点 到定点 距离的最小值，
所以 的最小值为2，
故选：B.
（3）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】z在复平面内对应的点为 ，则复数 ，则 ，由复数的模长公式可得 .
故选：A
十二．复数的三角形式
例12．（1）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式 推动了复数领域
的研究．
根据该公式，可得 （ ）．
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】根据公式得 ，故选：B．
（2）在复平面内，复数 （ ， ）对应向量 （O为坐标原点），设 ，以射线Ox为
始边，OZ为终边旋转的角为 ，则 ，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：
， ，则 ，由棣莫弗定理可
以导出复数乘方公式： ，已知 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．16
【答案】D
【详解】
， . 故选：D（3）复数 在复平面内对应点为 ， 为原点，以 为始边， 为终边逆时针旋转的角为 ， ，
则 .法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： ， ，
则 ，由棣莫弗定理导出了复数的乘方公式：
.则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以由棣莫弗定理可得： ，
故选：B
1．已知i为虚数单位，复数 ，则z的虚部为（ ）
A．i B．1 C．7 D．7
【答案】B
【详解】∵ ∴z的虚部为1. 故选：B．2．若复数z满足 （其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．2i B． C．2 D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：C.
3．若复数 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以复数z的虚部为 ．
故选：B
4．已知 为虚数单位，复数 满足 为纯虚数，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，所以 ，
因为 为纯虚数，所以 ，解得 ，所以 的虚部为： .
故选：D.
5．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】由 得： .
故选：B.
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，有 ，可得 ,
故选：A
7．若复数 满足 ，则复数 的实部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 （ ），则 ，
化简得 ，
根据对应相等得 ，解得 ， ，
故选：C.
8．若 ，其中 ，i为虚数单位，则复数 所对应复平面内的点Z位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，解得： ，
所以 对应的点为 ，位于第四象限.
故选：D9． 是复数z的共轭复数，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，则 ，
由 ，可得 ，
∴ ，即 ，
∴ .
故选：B.
10．若 （i为虚数单位），则实数a的值为（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】A
【详解】 ， ∴ . 故选：A.
11．已知 为复数 的共轭复数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，则 ，
因为 ，故
即则 ，解得： ，故 ，
所以 .
故选：C.
12．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】设 ，
则 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：B.
13．若 ，其中 为虚数单位，则实数m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】由题意得： ，则 ，可得 .
故选：B.
14．在复平面内，复数z对应的点为 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为复数z对应的点为 ，所以 ，
所以 ，
故选：B
15．若复数 （i为虚数单位），则在复平面内， 对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， 对应的点的坐标是 ．故选：A．
16．若 （i为虚数单位），则在复平面内复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】 ，
所以在复平面内复数z所对应的点为 ，位于第四象限.
故选：D.
17．复数 则在复平面内， 对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以在复平面内， 对应的点的坐标是 .故选：C
18．复数 满足 ，则 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，所以 的共轭复数在
复平面内对应的点的坐标为 位于第一象限；
故选：A
19．非零复数 满足 ，则复平面上表示复数 的点位于（ ）
A．实轴 B．虚轴 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
【答案】C
【详解】由题意，设 ，故
故 ，即复数 ，在复平面对应的点位于一三象限的角分线上.
故选：C
20．若复数 是纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，
因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 ，
所以 ．故选：D．
21．已知复数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．复数z的共轭复数为
C． D．
【答案】C
【详解】A： ，故A正确；
B：复数z的共轭复数为 ，故B正确；
C：因为 ，所以 ，故C不正确；
D： ，故D正确；
故选：C.
22．已知m， ， 是虚数单位，若 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【详解】由 得 ，
所以 ，所以 .
故选：A
23．若 （ 为虚数单位），则 （ ）
A．5 B．2 C．3 D．1
【答案】A【详解】由题知 ，则 ，则 ，故
.
故选：A.
24．已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，且 ，
所以 ，则 ，
所以 ，可得 ，即 ，所以 . 故选：C
25．设复数z满足 ，则|z|=（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【答案】D
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
36．i是虚数单位，设复数 满足 ，则 的共轭复数 （ ）
A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i
【答案】D【详解】由 得 ， ，故 .
故选：D.
26．已知复数 满足 ，则 （ ）
A．100 B．10 C．5 D．
【答案】D
【详解】 ， ，
故选：D
27．已知复数 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A．2 B． C．4 D．10
【答案】B
【详解】依题意， ，所以 .
故选：B
28．欧拉是 世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查
表明，人们把欧拉恒等式“ ”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等
式是欧拉公式： 的一种特殊情况．根据欧拉公式， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】 ，
因此， .
故选：C.
29．已知i是虚数单位，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】 ，故 .
故选：C.
30． 世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意
义，例如 ，也即复数 的模的几何意义为 对应的点 到原点的距离．已知复数 满足 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， 对应的点 的轨迹为圆 ；
的几何意义为点 到点 的距离，
.
故选：C.
31．（多选）若复数 ，则（ ）A． B．z的实部为
C．z的虚部为 D．复平面内z对应的点在虚轴上
【答案】ACD
【详解】 ， ， 的实部为 ，虚部为 ， 在
复平面内的坐标为 ，复平面内z对应的点在虚轴上.
故选：ACD
32．（多选）下面是关于复数 （ 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A． B．
C． 的共轭复数为 D． 的虚部为1
【答案】ABD
【详解】已知 ，
，A正确；
，B正确；
的共轭复数为 ，C错误；
的虚部为1，D正确；
故选：ABD．
33．（多选）若 ，则n可以是（ ）
A．102 B．104 C．106 D．108
【答案】BD
【详解】∵ ， ，∴ ， ，
要使 ，则 ，则 为偶数.
故选：BD.
34．（多选）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】 ， ，
， ， ，
故选：AD.
35．（多选）对于复数 ( ， ∈R)，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 为纯虚数 B．若 ，则 ，
C．若 ，则 为实数 D． 的平方等于1
【答案】BC
【详解】对于A，当 时， 为实数，故A错误；
对于B，若 ，则 解得 ，故B正确；
对于C，若 ，则 为实数，故C正确；
对于D， 的平方为 ，故D错误.
故选：BC
36．（多选）已知复数 （其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A．z的虚部是6 B．C． 是纯虚数 D．复数 满足 ，则复数 对应点的集合是个圆
【答案】BD
【详解】因为 的虚部是 ，故A错误；
因为复数 ，则 ，故B正确；
，是实数，故C错误；
z在复平面上对应点的坐标为 ，设复数 ，
则由 可得 ，故复数 对应的点表示圆，故D正确．
故选：BD.
37．（多选）若 ，则z可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】设 ，则 ，由题意可得
解得 或 所以 或 ．
故选：AC
38．（多选）设有下面四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若复数z满足 ，则 ；
B．若复数z满足 ，则 ；
C．若复数 满足 ，则 ；
D．若复数 ，则
【答案】AD【详解】对于A中，设复数 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，取 ，可得 ，所以B不正确；
对于C中，例如： ，则 ，此时 ，所以C不正确；
对于D中，设 ，
所以
，
所以 ，故D正确；
故选：AD
39．（多选）已知i为虚数单位，复数z满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的模为
B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】CD
【详解】 ，则 ，∴ ，故A错，复数z的共轭复数为 ，故B错；
复数z的虚部为 ，故C正确；
复数z在复平面内对应的点为 ，在第一象限，故D正确.
故选：CD
40．设 ，其中a，b是实数，则 ____________．
【答案】
【详解】由 ，即 ，可得 ，
所以 .
故答案为：
41．设复数 满足 ，且 是纯虚数，试写出一个满足条件的复数： ___________.
【答案】
【详解】设 ，由 ，可得 ，解得 ，
又 是纯虚数，设 且 ，则 ，则 ，解得 ，
所以 或 .
故答案为：42．若复数 是正实数，则实数 的值为________．
【答案】3
【详解】因为复数 是正实数，
由 ，解得 或 ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意，
所以实数 的值为 .
故答案为： .
43．已知复数 满足 ，则 ___________.
【答案】5
【详解】设 ，则 ，所以 ，
从而 ，解得： ，所以 .
故答案为：5
44．已知复数 ，则 ____________
【答案】
【详解】 ，
，
故答案为：
45．设复数 ， 满足 ， ， ，则 ________．【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
46．已知 ， ， ， 为虚数单位．且 是纯虚数．
(1)求实数 的值；
(2)求 的值．
【详解】(1)因为 ，
所以 ，
是纯虚数，
，解得 ；
(2)由（1）得 ， ，
则 ，
．47．已知复数 ， ．
(1)若 对应复平面上的点在第四象限，求 的范围；
(2)若 是纯虚数，求 的值．
【详解】(1)∵ 对应复平面上的点在第四象限，
∴ ，解得 .
∴
(2)∵ 是纯虚数，
∴ ，∴
48．（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限， ，且 ，求z；
（2）已知复数 为纯虚数，求实数m的值.
【详解】（1）设 ，由题意每 ，解得 ， ，
∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴ ，∴ .
（2）
，
由题意得 ，解得
49．已知复数(1)若 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若 在复平面内的对应点位于第四象限，求实数 的取值范围及 的最小值.
【详解】(1) 为纯虚数，
且
(2) 在复平面内的对应点为
由题意： ， ．
即实数 的取值范围是 ．
而 ，
当 时， ．
50．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
【详解】(1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝
＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m<－2，
即实数m的取值范围为(－∞，－2)．
