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专题01 集合与常用逻辑用语
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号
或
表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
知识点2 集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
图形语言
1
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基本
关系
子集
集合A 的所有元素都是集合B 的
元素（
则
）
或
真子集
集合A 是集合B 的子集，且集合
B 中至少有一个元素不属于A
或
相等
集合A，B 的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任
何集合A 的子集
知识点3 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
知识点4 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
（1）充要条件的定义
如果“若
，则
”和它的逆命题“若
，则
”均为真命题，即既有
，又有
，就记作
。
此时，
既是
的充分条件，也是
的必要条件，我们说
是
的充分必要条件，简称充要条件。
（2）充要条件的含义
若
是
的充要条件，则
也是
的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，
因为这两个命题的条件与结论不同。
（3）充要条件的等价说法：
是
的充要条件又常说成是
成立当且仅当
成立，或
与
等价。
知识点5 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“
”表示．
2
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【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：通常，将含有变量
的语句用
，
，
，…表示，变量
的取值范围用
表
示，那么，全称量词命题“对
中任意一个
，
成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“
”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在
中的元素
，使
成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词
命题
3、命题的否定：对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作“
”，读作“非p”或p 的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“
”的否定是存在量词命题：
．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“
”的否定是全称量词命题：
．
（3）命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
（4）常见正面词语的否定：
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不
小
于
（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n 个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1 个
重难点01 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
3
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【典例1】（23-24 高三上·广东惠州·月考）集合
，若
且
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
且
，所以
且
，解得
.故选：B.
【典例2】（23-24 高三下·江西·月考）已知
，若
，且
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
且
，解得
．故选：A
重难点02 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若A
B
，
且A 中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【典例1】（2024·陕西西安·三模）设集合
，
，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．1
D．1 或2
【答案】C
【解析】因为
，
且
，
所以
，则
或
，解得
或
，
当
时
，不满足集合元素的互异性，故舍去；
当
时
，符合题意.
综上可得
.故选：C
【典例2】（2024·黑龙江·二模）已知
，若
，则实数
的取值范
4
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围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
又
，所以
，故
.故选：A.
重难点03 根据集合运算的结果确定参数的取值范围
法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.
法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空
集。
【典例1】（2024·重庆·模拟预测）设集合
，
，若
， 则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，则
，
即此时
，
，不符合要求；
当
时，
，则
，
即此时
，
，符合要求；
故
.故选：B.
【典例2】（2024·重庆·模拟预测）已知集合
，
，若
，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由不等式
，解得
或
，所以
或
，
又由不等式
，
当
时，不等式解集为空集，不满足
，不符合题意，舍去；
当
时，解得
，即
，
5
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此时不满足
，不符合题意，舍去；
当
时，解得
，即
，
要使得
，则满足
，
综上可得，实数
的取值范围为
.故选：A.
重难点 04 利用充分必要条件求参数的策略
1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关
于参数的不等式（不等式组）求解；
2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。
【典例1】（23-24 高三上·上海松江·期中）已知
，且
是
的充分不必
要条件，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】
，解得
，设
，
，
若
是
的充分不必要条件，则
，
则有
，且等号不会同时取到，解得
，
则实数
的取值范围是
.
【典例2】（23-24 高三上·江苏扬州·月考）（多选）若“
”是“
”的必要不充分条件，
则实数
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由不等式
，可得
或
，
因为
是
的必要不充分条件，可得
或
，
解得
或
，即实数
的取值范围为
，
结合选项，可得A、D 符合题意.故选：AD.
重难点 05 根据全称（存在）量词命题的真假求参数
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1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成
立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；
2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件
的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在
量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。
【典例1】（2024·四川·模拟预测）已知命题“
”为真命题，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为命题“
”为真命题，所以
．
令
与
在
上均为增函数，
故
为增函数，当
时，
有最小值
，即
，故选：A．
【典例2】（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题：
为假命题，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知命题：
为假命题，
则命题：
为真命题，
故当
时，
，即为
，符合题意；
当
时，需满足
，解得
，
综合可得实数
的取值范围是
，故选：D
一、子集的个数问题
如果集合A 中含有n 个元素，则有
（1）A 的子集的个数有2n个． （2）A 的非空子集的个数有2n－1 个．
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（3）A 的真子集的个数有2n－1 个 （4）A 的非空真子集的个数有2n－2 个．
【典例1】（2024·浙江·二模）已知集合
，
，若
，则满足集合
的
个数为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解析】因为
，
所以
可以是
，
共8 个，故选：D
【典例2】（2024·全国·一模）已知集合
，
，则
子集的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】由
，得
，解得
，
所以
，所以
，
所以
子集的个数为
.故选：D
二、判断集合与集合的关系
判断集合间关系的常用方法：
1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系；
2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征
判断集合间关系；
3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法。
【典例1】（2024·云南贵州·二模）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，所以
.故选：A
【典例2】（2024 高三·全国·专题练习）已知集合
，
，则下列关
系中正确的是（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知
，
，解得
或
，
则
，
，
则
不是B 的子集，
不是
的子集，
，
，故选：D．
三、韦恩图的应用
元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达。有时题设条件比较抽象，
也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题。
【典例1】（2024·山西长治·一模）已知集合
，则图中阴影部分
表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
图中阴影部分表示的集合为：
或
，
故选：A.
【典例2】（2024·河北邢台·二模）下列集合关系不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A：因为
，故A 正确；
B：由空集的定义可知
，故B 正确；
C：由图可知C 正确；
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D：因为空集中不包含任何元素，故D 错误；故选：D.
四、集合新定义问题
在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓
住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题
过程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。
【典例1】（2024·贵州黔东南·二模）若对任意
，
，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为
“影子关系”集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为
，但
，不符合题意，故A 错误；
对于选项B：因为
，但
无意义，不符合题意，故B 错误；
对于选项C：例如
，但
，不符合题意，故C 错误，
对于选项D：对任意
，均有
，符合题意，故D 正确；故选：D.
【典例2】（23-24 高三下·甘肃·月考）如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不
交）的非空子集
，且满足
，那么称子集组
构成集
合U 的一个k 划分．若集合I 中含有4 个元素，则集合I 的所有划分的个数为（ ）
A．7 个
B．9 个
C．10 个
D．14 个
【答案】D
【解析】不妨设
，则：
的2 划分有
，
，
，
，
，
，
；
的3 划分有
，
，
，
，
，
；
的4 划分只有
.
综上，
的划分共有
个，D 正确.故选：D.
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五、充分条件与必要条件的判断
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1、定义法：（1）分清命题的条件和结论；（2）判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假；（3）得出
结论.
2、集合法：利用集合间的包含关系进行判断；
3、等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。
【典例1】（2024·江西南昌·二模）已知集合
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】不等式
解得
，则
；
不等式
解得
，则
.
，所以“
”是“
”的充分不必要条件.故选：A
【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知命题p：集合
，命题q：集合
，则p 是q 的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
或
，
或
，
是
的真子集，
因此，
是
的必要不充分条件.故选：B
易错点1 对集合表示方法的理解存在偏差
点拨：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元
素类型（点集或者数集）及代表元素的含义。
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【典例1】（23-24 高三下·江西吉安·期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解不等式
可得
，
由指数函数
的值域可得
，所以
.故选：D
【典例2】（2024·湖北·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
当且仅当
，即
时，等号成立，得
；
由
得
，即
.所以
.故选：B
易错点2 忽视（漏）空集导致错误
点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往
容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。
【典例1】（2024·重庆·模拟预测）设若
，
，则
，实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题，得
，
因为
，所以
，
当
时，
无解，此时
，满足题意；
当
时，得
，所以
或
，解得
或
.
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综上，实数a 的值可以为0，
，
.故选：D．
【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知全集
，集合
，
．若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
当
时，
，若
，则
．
在数轴上表示出集合
，
，如图，
则
；
当
时，
，此时
不成立，
当
时，
，此时
不成立．
综上，
的最大值为
．
易错点3 忽视集合元素的互异性
点拨：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素。
【典例1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合
，
，若
中恰有三个元素，则
由a 的取值组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
中恰有三个元素，所以
或
或
，
结合集合中元素的互异性，解得
或
或
（舍去）或
.故选：D．
【典例2】（2024 高三·全国·专题练习）已知集合
，且
，则实数
为
（ ）
A．2
B．3
C．0 或3
D．
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【答案】B
【解析】因为
且
，所以
或
，
①若
，此时
，不满足元素的互异性；
②若
，解得
或3，
当
时不满足元素的互异性，当
时，
符合题意.
综上所述，
.故选：B
易错点4 判断充分性必要性位置颠倒
点拨：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算。
【典例1】（2024·新疆·二模）使“
”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，解得
，则选项中的
的范围组成的集合是
的真子集，
由选项知，选项
均不满足，选项B 满足.
故使“
”成立的一个充分不必要条件可以是“
”.故选：B.
【典例2】（23-24 高三上·天津南开·月考）若x，
，则“
”的一个必要不充分条件可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A：
，是“
”的必要不充分条件，故A 正确；
B：
，是“
”的既不充分也不必要条件，故B 错误；
C：
，是“
”的既不充分也不必要条件，故C 错误；
D：
，是“
”的充分不必要条件，故D 错误；故选：A
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易错点5 对含有一个量词命题的否定理解错误
点拨：对含有一个量词的命题进行否定时，除了将存在量词命题变为全称量词命题，全称量词命题变
为存在量词命题外，不等式的否定只否定结论。
【典例1】（2024·贵州遵义·一模）已知命题
，
，则
为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】由命题
，
可知，
为
，
，故D 正确；ABC 错误；故选：D
【典例2】（23-24 高三下·山东菏泽·开学考试）命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
故命题“，”的否定为，.故选：D.
15
