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专题02 函数与嵌套函数的零点问题
难点突破
知识讲解
一、函数的零点
1.函数零点的定义
对于函数
,把使函数
的值为0 的实数
叫作函数
的零点.
2.几个等价关系
方程
有实数根⇔函数
的图象与
x 轴
有交点⇔函数
有
零点
.
3.函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数
在区间
上的图象是一条不间断的曲线,且
f ( a ) · f ( b ) < 0
,那么,函数
在区间
( a , b )
上有零点,即存在
,使得
f ( c ) = 0
,这个
c
也就是方程
的根.
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数
在定义域上是单调函数,则
至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
(4)函数的零点是实数,而不是点,是方程
的实根.
(5)由函数
(图象是连续不断的)在闭区间
上有零点不一定能推出
,如图所
示,所以
是
在闭区间
上有零点的充分不必要条件.
二、二分法
1
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对于在区间
上连续不断且
f ( a ) · f ( b ) < 0
的函数
,通过不断地把函数
的零点所在的
区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近
零点
,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
三、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
判别式符号
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与
轴的交点
( x 1,0),(
x 2,0)
( x 1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
题型一、根据零点存在定理判断函数零点所在区间
1．在区间
上有零点的一个函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合选项，利用零点的存在性定理进行验证，即可求解.
【详解】对于A 中，由函数
，可得
，则
；
对于B 中，由函数
，可得
，则
；
对于C 中，由函数
，可得
则
；
对于D 中，由函数
，可得
则
，
所以只有C 项，符合函数零点的存在性定理，所以
在
内存在零点.
2．（2011 年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学）在下列区间中，函数
的零
点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先判断函数
在
上单调递增，由
,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数
在
上连续单调递增，
2
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且
,所以函数的零点在区间
内.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）
函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
3．方程
的根所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.
【详解】令
，显然
单调递增，
又因为
，
，
由零点存在性定理可知：
的零点所在区间为
，
所以
的根所在区间为
.
4．函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.
【详解】函数
,
是单调递增函数，
当
时，
，
，
故
,故函数的零点所在的区间为
.
5．（2023 届广东省二模数学试题）用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可
3
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得出答案.
【详解】令
，
因为函数
在
上都是增函数，
所以函数
在
上是增函数，
，
所以函数
在区间
上有唯一零点，
所以用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是
.
6．若用二分法求方程
在初始区间
内的近似解，则第三次取区间的中点
.
【答案】
/0.625
【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可.
【详解】设
，
则
，
，
∴第一次取区间
的中点
，
，∴
，∴
的零点所在的区间为
，
∴第二次取区间
的中点
，
，∴
，∴
的零点所在的区间为
，
∴第三次取区间
的中点
.
利用函数零点存在定理判断零点所在区间时,首先看函数
在区间
上的图象是否连续,再看
是否有
.若有,则函数
在区间
内必有零点.
题型二、根据函数图象交点判断函数零点所在区间
4
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1．设函数
,则函数
( ).
A.在区间
内均有零点
B.在区间
内均无零点
C.在区间
内有零点,在区间
内无零点
D.在区间
内无零点,在区间
内有零点
【答案】D
【解析】令
得
.作出函数
和
的图象,
如图所示,
由
与
的图象在
内无交点,在
内有交点,
得
在
内无零点,在
内有零点.
2．设
,
,则函数
存在的零点所在的区间一定为( ).
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的零点等价于方程
的根,
即函数
与
图象的交点的横坐标.
作出
与
的大致图象,如图所示,
从图象可知它们仅有一个交点
,其横坐标的范围为
.
5
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3．已知函数
，若
，且
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】由
得，
，把
转化为
，
利用二次函数求最值.
【详解】
的图像如图示：
不妨令
，由图像可知，
，
由
，
由
当
时，
．
【点睛】二元变量问题通常可以减元，转化为一元函数，利用函数求最值.
数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.
题型三、函数零点个数的判断
1．已知函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．
个
D．个
【答案】C
【分析】解方程
可得结果.
【详解】当
时，由
可得
，
解得
（舍去）；
当
时，由
可得
，即
或
，
6
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解得
或
.
综上所述，函数
的零点个数为
.
2．已知函数
，且
，则
的零点个数为（ ）
A．个 B．
个
C．个
D．
个
【答案】C
【分析】解三角方程求得
的零点即可解决
【详解】由
可得
或
，又
，则
，或
，或
则
的零点个数为3
3．函数
在
上的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】由
，数形结合即可得解.
【详解】由
，得
，作出函数
在
上的图象如图所示，
因为
，
所以由图可知直线
与图象有3 个交点，从而
在
上有3 个零点.
4．已知定义在
上的奇函数
恒有
，当
时，
，已知
，则函数
在
上的零点个数为（ ）
A．4 个 B．5 个
C．3 个或4 个 D．4 个或5 个
【答案】D
7
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【分析】利用奇函数性质和关系式转化求出
的关系式并利用单调性画出简图，再利用数形结合思想
根据
的取值范围求出零点个数.
【详解】因为
，所以
的周期为2，
又因为
为奇函数，
，
令
，得
，又
，所以
，
当
时，
，
由
单调递减得函数
在
上单调递增，
所以
，得
，
作出函数图象如图所示，
由图象可知当
过点
时，
，此时在
上只有3 个零点.
当
经过点
时，
，此时有5 个零点.
当
时，有4 个零点.
当
经过点
时，
，此时有5 个零点.
当
时，有4 个零点.
当
经过点
时，
，此时在
上只有3 个零点.
当
时，有4 个零点.
所以当
时，函数
在
上有4 个或5 个零点.
8
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(1)通过解方程,判断函数的零点个数,所对应方程
有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交
点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
题型四、根据零点所在区间求参数取值范围
1．设
，
是函数
的两个极值点，若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求函数的导数，再根据极值点的分布，求参数的取值范围.
【详解】
，则
，
是
的两相异实根，则
解得
．
2．方程
的一根在区间
内，另一根在区间
内，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合二次函数的图象与性质，以及零点存在性定理可得关于
的不等式组，从而可得结果．
【详解】∵方程
的一根在区间
内,另一根在区间
内，
∴函数
的两个零点一个在区间
内,另一个在区间
内，
则
，解得
，
∴
的取值范围是
.
【点睛】对于一元二次方程根的分布题型，常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接
运用判别式解答；二是未知量在区间上
的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、
的符号）的方法解答.
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3．已知函数
，则
在
上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出函数的导数，再根据
在
上不单调可得
在
上有零点，且在
该零点的两侧附近函数值异号，就
和
分类讨论后可得实数
的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】
，
若
在
上不单调，令
，
对称轴方程为
，则函数
与
轴在
上有交点．当
时，显然不成立；
当
时，有
解得
或
．
四个选项中的范围，只有
为
的真子集，
∴
在
上不单调的一个充分不必要条件是
.
4．函数
在
内有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.
【详解】由
得，
，
因函数
在
内有极值，则
时，
有解，
即在
时，函数
与直线
有公共点，
而
，即
在
上单调递减，
，则
，
显然在
零点左右两侧
异号，
所以实数
的取值范围是
.
【点睛】结论点睛：可导函数
在点
处取得极值的充要条件是
，
10
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且在
左侧与右侧
的符号不同．
5．函数
的零点所在的区间为(k，k+1)，则k = ．
【答案】2
【分析】先判断出
在
上单调递增，利用零点存在定理即可求解.
【详解】因为
和
在
上单调递增，所以
在
上单调递增.
因为
，
，
所以
的零点所在的区间为
.
因为函数
的零点所在的区间为
，
所以
.
6．（2023 年内蒙古模拟考试数学（文）试题）已知函数
在区间
上有
零点，则
．
【答案】2
【分析】求出函数定义域，求出导函数，求出
，由零点存在性定理得到答案.
【详解】
定义域为
，
故
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
又
，
，
因为
区间
上有零点，故
.
7．已知函数
，
，若存在
，使得
成立，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合导数可求出
在
上的取值范围，即
，因而要使得
在
上
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有解，
在
也应满足
.通过讨论
，
，
，结合复合函数的单调性，可求出
的范围.
【详解】解：因为
，所以
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，且
，
，则
.
又
，当
时，
的图象与
的图象没有交点，不符合题意；
当
时，
单调递增，则
，则此时，
的图象与
的图象没有交点，也不符合题意；
当
时，
单调递减，因为
，所以
的图象与
的图象在
有交点，则
，即
，解得
.
综上，
的取值范围为
.
【点睛】本题考查了方程的根与函数的零点，考查了函数最值求解，考查了复合函数的单调性，考查了分
类的思想.本题的关键是分析出当
时，
.
题型五、根据零点个数求参数取值范围
1．已知函数
，若
恰有两个零点，则正数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分段函数，分段判断函数的零点，以及零点个数，即可求正数
的取值范围.
【详解】当
时，
，得
成立，
因为函数
恰有两个零点，
所以
时，
有1 个实数根，显然a 小于等于0，不合要求，
当
时，只需满足
，解得：
.
2．已知函数
与函数
的图象有两个不同的交点，则实数m 取值范围为
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将问题转化为方程，在分离参数，再将问题转化为两个函数图象有两个不同交点，利用导数研究
函数
的单调性，并作出草图可解.
【详解】由题意得：
，则
，
问题转化为
和
有2 个交点，而
，
在
和
上
，
递增，在
上
，
递减，
当
趋于正无穷大时，
无限接近于0，且
，
，
，作出函数
的图
象，如图所示：
观察图象得：函数
和
的图象有2 个不同的交点时，
实数
.
3．（2023 年辽宁省联考数学（B 卷）试题）若函数
有个不同的零点,则实数
的取值
范围为 .
【答案】
【分析】由已知
,分为
、
和
进行讨论,利用函数的单调区间和
即可得到答案.
【详解】由已知
,
当
时,函数
无解,不符合题意;
当
时,
得
,
得
或
,
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即函数
的增区间为
,减区间为
,又
,
所以函数
有且仅有个零点,与题意不符;
当
时,
得
或
,
得
,
即函数
的增区间为
,减区间为
,又
,
要使函数
有个不同的零点,则需
,
即
,解得
.故答案为:
.
4．已知函数
与函数
的图象上恰有两对关于
轴对称的点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
对于
恰有两个不等式的实根，等价于方程
对于
恰有两个不等式的实根，令
，可转化为
与
两个函数图象在
有两个不同的交点，对
求导判断单调性，作出其函数图
象，数形结合即可求解.
【详解】若函数
与函数
的图象上恰有两对关于
轴对称的点，则
对于
恰有两个不等式的实根，
即
对于
恰有两个不等式的实根，
可得
对于
恰有两个不等式的实根，
令
，
则
与
两个函数图象在
有两个不同的交点，
，
14
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由
可得
，由
可得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
图象如图所示：
当
时，
，
当
时，
，
若
与
两个函数图象在
有两个不同的交点，
由图知
，
所以实数
的取值范围是
，
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
题型六、根据零点为整数求参数取值范围
1．（全国卷2022 届高三一轮复习联考（五）文科数学试题）已知关于x 的不等式
的解
集中只有1 个整数，则实数a 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题可得不等式
仅有1 个整数解，利用数形结合可得
，即求.
【详解】由题可知
，
15
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所以不等式
，即
只有一个整数解，
令
，不等式
仅有1 个整数解，
令
，
，则函数
图象上仅有1 个横坐标为整数的点落在直线
的下
方，
∵
，由
，得
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，因为直线
恒过点
，
作出函数
与直线
的大致图象，
由图象可知，这个点
，可得
，即
．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化为函数
与直线
的的交点的位置问题，
然后利用数形结合解决.
2．已知函数
，若
恰有3 个正整数解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算进行求解即可.
【详解】解：由题意，
恰有3 个正整数解，转换为
的图象与
的图象交点
问题，
作出
和
的图象，如图：
16
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要使
恰有3 个正整数解，
则需满足：
，
解得：
，
【点睛】方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解.
1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结合.
2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点问题,需准确画出
两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
题型七、多个零点问题
1．（2023 年河南郑州模拟考试数学试题）已知定义在
上的函数
满足:①
, ②
,③在
上表达式为
,则函数
的零点个数为（ ）.
A．4
B．5
C．6 D．7
【答案】A
【解析】由
可得函数
的图象关于直线
对称,由
可知函数
是周期为2 的周期函数.结合函数在
上的解析式和性质可绘制函数的图象,在同一个平面直角坐标系中
绘制函数
的图象,如图所示,观察可得,函数
的零点个数为4.
2．函数
的所有零点之和为 .
【答案】10
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【解析】可转化为求函数
与
的图象在
上交点的横坐标的和,因为两个
函数图象均关于直线
对称,所以两个函数图象在
两侧的交点对称,则每对对称点的横坐标的和为2.
如图,分别画出两个函数的图象,易知两个函数图象在
两侧分别有5 个交点,所以零点之和为
.
3.已知函数
是定义在
上且以3 为周期的奇函数,当
时,
,则函数
在区间
上的零点个数为（ ）.
A.3
B.5
C.7
D.9
【答案】D
【解析】∵当
时,
,
令
,则
,解得
或
(舍去).
又∵函数
是定义域为
的奇函数,以3 为周期,∴在区间
上,
,
,
∴
,又
,
∴
,
∴
.
则函数
在区间
上的零点有
共9 个.
函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题,通过画图分析图象的特征、图象间的关系,从
而解决问题,提升直观想象核心素养.
题型八、比较零点大小
18
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1．已知函数
，
，
的零点分别为
、
、，则
、
、的大小
顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】计算出的值，利用零点存在定理求出
、
所在区间，由此可得出
、
、的大小关系.
【详解】因为函数
、
均为
上的增函数，故函数
为
上的增函数，
因为
，
，所以，
，
因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上为增函数，
因为
，
，所以，
，
由
可得
，因此，
.
2．已知正实数
，
，满足：
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
､
､的值可以理解为图象交点的横坐标，则根据图象可判断
，
，大小关系.
【详解】因为
，
，
，
所以
､
､为
与
，
，
的交点的横坐标，
如图所示：
由图象知：
.
【点睛】本题主要考查对数函数，指数函数的图象性质以及函数零点问题，还考查了数形结合的思想方法，
属中挡题.
3．若
，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
19
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【答案】D
【分析】将条件转化为
，结合对应函数的性质画出函数图象，判断它们与
有交点
时各交点横坐标的大小情况.
【详解】由
，得
．
由
，得
，
，
作函数
，
，
的图象，再作直线
．
变换
的值发现：
，
，
均能够成立， D 不可能成立.
4．已知函数
，
，
的零点分别为
，
，
，则
，
，
的大
小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意可将函数的零点转化为函数
、
、
与
的交点的横坐标，画出函数
图象，结合图象即可判断；
【详解】解：依题意令
，即
，
同理可得
，
，
则函数的零点转化为
、
、
与
的交点的横坐标，
在平面直角坐标系上画出函数图象如下：
20
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由图可得
，
，
，即
.
5．（2023 年江苏省模拟数学试题）函数
的零点为
，函数
的零点为
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性,再由
确定范围,即可确定实数
的取值范围.
【详解】已知
,
,
函数
的零点为
，
函数
的零点为
，
则
又因为
,
这两函数均单调递增，
当
时，
,解得
.
6．已知函数
，
，
的零点分别为a，b，c 则a，b，c 的大小顺
序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先可求出
，再由
得
，由
得
，将其转化为
、
与
的交点，数形结合即可判断.
【详解】由
得
，
，
由
得
，由
得
.
在同一平面直角坐标系中画出
、
、
的图象，
由图象知
，
，
.
21
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7．设函数
，
，
的零点分别为a，b，c，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将零点转化为函数交点，画出四个函数
，
，
，
的图象，判断交点的位置.
【详解】设函数
，
，
，
，
则
是
与
图象交点的横坐标，
是
与
图象交点的横坐标，
是
与
图象交点的横坐标．
在同一坐标系中，作出
，
，
，
的图象，如图所示．
由图可知
．
【点睛】关键点点睛：本题考查比较函数零点大小，本题的关键是将函数零点转化为两个函数的交点，在
同一坐标系下画出函数的图象，比较交点的横坐标.
8．已知函数
（
），其中
，若方程
恰好有3 个不同解
，
，
（
），则
与
的大小关系为（ ）
A．不能确定 B．
C．
D．
【答案】A
22
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【分析】先求出
，得到
（极大值），
（极小值），
（极大值），
（极小值）．再分三种情况讨论结合数形结合分析得解.
【详解】
，
．
当
时，
，
即
，
当
时，
，
若
，则
，
；
若
，则
，
，
又
，∴
，
又
（极大值），
（极小值），
（极大值），
（极小值）．要使
恰好有3 个不同解，结合图象得：
①当
，即
时，得
，不存在这样的示数
．
23
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②当
，即
时，解得
，
此时
，又因为
与
关于
对称，
∴
，∴
．
③当
，即
时，解得
．此时，
，
是方程
的两实根，
所以
，而
，所以
.
【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法
（直接画出函数
的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数
得到
分析函数
的图象即得解）. 数形结合是高中数学的一种重要数学思想，要注意灵活运用，提高解题效率.
题型九、求由零点组成代数式的取值范围
1．已知函数
，若存在
，使得
，现给出下列四
个结论：①
，②
的最大值为
，③的取值范围是
，④
的取值范围是
．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③
【答案】A
【分析】分析画出图像，得的取值范围，再依次判断.
24
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【详解】
由图像可得，
是方程
的两根，所以
，
是方程
的根，而
，所以
，
所以①③④正确；
而
，所以②错；
2．已知函数
，若a，b，c 互不相等，且
，则abc 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用分段函数的定义作出函数
的图象，然后可令
（a）
（b）
（c）
则可得
，
，
即为函数
与
的交点的横坐标根据图象可得出
，
，的范围同时
，
还满足
，
即可得答案．
【详解】根据已知画出函数图象：
不妨设
，
（a）
（b）
（c），
，
，
解得
，
，
．
25
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3．设函数
，
有四个实数根
，
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式研究
的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得
、
、
，进而将目标式转化并令
，构
造
，则只需研究
在
上的范围即可.
【详解】由分段函数知：
时
且递减；
时
且递增；
时，
且递减；
时，
且递增；
∴
的图象如下：
有四个实数根
，
，
，
且
，
由图知：
时
有四个实数根，且
，又
，
由对数函数的性质：
，可得
，
∴令
，且
，
由
在
上单增，可知
，所以
.
4．已知函数
，若方程
有三个实数根
，
，
，且
，则下列
结论不正确的为（ ）
A．
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．不等式
的解集为
26
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【答案】C
【分析】分析给定函数的性质，作出函数
的图象，数形结合逐一分析各选项判断作答.
【详解】
可得方程
的根，即为函数
的图象与直线
的交点的横坐标
作出函数
的图象和直线
，
①如图，由图可知：
，
，
，A 正确；
②又
由
得
∴
，又①可知
∴
，故B 正确；
③
结合图象可知，
，故C 错误；
④由
，
当
时，
，可得
，
当
时，
，可得
综上
，故D 正确.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
27
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函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题,通过画图分析图象的特征、图象间的关系,从
而解决问题,提升直观想象核心素养.
题型十、具体函数求零点的和
1．（2023 年甘肃省模拟考试（文科）数学试题）定义域在
上的奇函数
，当
时，
，则关于
的函数
的所有零点的和是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】画出函数
与直线
的图像，利用数形结合即可求得所有零点之和.
【详解】由题意可知：函数
的零点，等价于函数
与直线
的交点的横坐标，
作函数
与直线
的图象如下：
结合图象，设函数
的零点分别为
，
则由对称性可知：
，
又有：
，
解得：
，
故
.
28
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2．已知函数
，
是方程
的五个不等的实数根，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出函数
的图像，根据函数图像的对称性和
的值域，即得.
【详解】函数
的图像如图所示，可得
和
关于
轴对称，
和
关于
轴对称，则有
，
，若
的五个不等的实数根，则
，解得：
，所以
的取值范围是
.
【点睛】本题考查方程解的范围，由图像得到
和
是解题关键，有一定的综合性.
3．已知函数
，若方程
的所有实根之和为4，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题对
取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.
【详解】令
，当
时，方程为
，即
，
作出函数
及
的图象，
由图象可知方程的根为
或
，即
或
，
作出函数
的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD 错误；
29
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当
时，方程为
，即
，
由图象可知方程的根
，即
，
结合函数
的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A 错误.
4．已知
，若互不相等的实数
，
，
满足
，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】作函数
的图象,设
,结合函数的图象性质,易得
,
,进而可求出答案.
【详解】作函数
的图象,如下图，
当
时,
的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为
,最小值为
；当
时,
30
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为直线
的一部分.
设
,
,
由图象可知,
,
令
,解得
,则
,且
,
则
,即
.
【点睛】关键点点睛：作出分段函数的图象，利用二次函数对称性，转化为求
的取值范围，利用一次函
数的图象及性质求出
，是解题的关键.
5．定义在
上的奇函数
，当
时，
，则关于
的函数
的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分段函数各区间的函数性质画出
的图象，将问题转化为
与直线
的交点问题，
结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.
【详解】由题设，画出
上
的大致图象，又
为奇函数，可得
的图象如下：
的零点，即为方程
的根，即
图像与直线
的交点.
由图象知：
与
有5 个交点：若从左到右交点横坐标分别为
，
1、
关于
对称，
；
2、
且满足方程
即
，解得：
；
3、
关于
轴对称，则
；
.
31
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6．（2023 年黑龙江省模拟考试数学试题）函数
在
上的所有零点之和为
.
【答案】8
【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数
和
的交点问题，再利用函数的
对称性，可求零点的和.
【详解】函数
，即
，
函数
和
都关于
对称，
所以函数
和
的交点也关于
对称，
根据余弦函数的周期性，画出两个函数在区间
的函数部分图象，
两个函数图象有8 个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和
.
题型十一、抽象函数求零点的和
1．（2023 届广东省模拟数学试题）已知
是定义在
上的奇函数，且
在
上单调递减，
为偶函数，若
在
上恰好有4 个不同的实数根
，则
.
【答案】24
【分析】由题设可得
的周期为8，且关于
对称的奇函数，结合区间单调性判断
上单调情况，
根据
与
有4 个交点，及函数的对称性求根的和.
【详解】由
为偶函数，则
，故
，
又
是定义在
上的奇函数，则
，
所以
，故
，即有
，
32
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综上，
的周期为8，且关于
对称的奇函数，
由
在
上单调递减，结合上述分析知：在
上递增，
上递减，
上递增，
所以
在
的大致草图如下：
要使
在
上恰好有4 个不同的实数根，即
与
有4 个交点，
所以，必有两对交点分别关于
对称，则
.
2．已知定义域为R 的偶函数满足
，当
时，
，则方程
在区
间
上所有解的和为（ ）
A．8
B．7
C．6 D．5
【答案】A
【分析】令
，由已知可得函数
与
的图象在区间
上关于直线
对称，利用对
称性即可求解.
【详解】解：因为函数
满足
，所以函数
的图象关于直线
对称，
又函数
为偶函数，所以
，
所以函数
是周期为2 的函数，又
的图象也关于直线
对称，
作出函数
与
在区间
上的图象，如图所示：
由图可知，函数
与
的图象在区间
上有8 个交点，且关于直线
对称，
所以方程
在区间
上所有解的和为
.
33
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3．（2023 届福建省质量监测数学试题）已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
．若
与
的图象交于点
、
、
、
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析可知函数
是以
为周期的周期函数，且直线
是函数
图象的一条对称轴，点
是函数
图象的一个对称中心，直线
关于点
对称，作出图形，结合对称性可求得
结果.
【详解】由题意可得
，所以，
，
故函数
是以
为周期的周期函数，且直线
是函数
图象的一条对称轴，
且
，
故点
是函数
图象的一个对称中心，
作出函数
的图象如下图所示：
且当
时，
；当
时，
.
且直线
关于点
对称，
由图可知，直线
与曲线
有个不同的公共点，
故
，
，
因此，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题的关键在于分析函数的对称性与周期性，利用图象
并结合对称性来处理.
题型十二、嵌套函数零点个数的判断
34
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1．（2024 届河南省模拟考试数学试题）已知函数
（为自然对数的底数），则函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】D
【分析】令
，则方程
变为了
，在同一直角坐标系中分别画出
和
的图象得到相应的
范围，再画出
的图象，结合图像即可得解.
【详解】首先由
定义知道
，又由
的定义域知道
，所以有
.
然后在同一直角坐标系中先分别画出
和
的图象，如下图所示：
设方程
的三个根从大到小依次排列为
，
则由图可知
.
现在在同一直角坐标系中先分别画出
，
，
，
的图象如下图：
由图可知
分别与
，
，
的图象分别交于
一共七个点，
所以方程
有7 个根，
则函数
的零点个数为7.
【点睛】关键点睛：解题关键是首先将原问题转化为求方程
的根之后，利用了换元
的思想方法，进一步只需讨论
和
的图象交点个数以及相应的
的范围(这里用到了数学
结合的思想方法)，进而再次利用数形结合即可得解.
35
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2．已知函数
，则函数
的零点个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】令
，根据
分别求出函数
的零点或零点所在区间，再作出函数
的图象，根据数形结合即可求出函数
的零点个数；
【详解】令
．
①当
时，
，则函数
在
上单调递增，
由于
，由零点存在定理可知，存在
，使得
；
②当
时，
，由
，解得
．
作出函数
，直线
的图象如下图所示：
由图象可知，直线
与函数
的图象有两个交点；
直线
与函数
的图象有两个交点；直线
与函数
的图象有且只有一个交点．综
上所述，函数
的零点个数为5．
3．已知函数
则关于
的函数
的零点的个数为（ ）.
A．8
B．7
C．5
D．2
【答案】B
【解析】根据题意,令
,得
或
.作出
的简图,如图,
36
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由图象可得当
和
时,分别有4 个和3 个交点,
故关于
的函数
的零点的个数为7.
4．已知函数
则下列关于函数
的零点个数判断正确的是
.
①当
时,有1 个零点
②当
时,有4 个零点
③无论
取何值,均有2 个零点
④无论
取何值,均有4 个零点
【答案】①②
【解析】依题意,函数
在
上单调递增,其取值集合为
.当
时,
,
,当
时,
在
上单调递增,其取值集合为
,当
时,
在
上单调递减,其取值集合为
.令
,当
时,由
得
或
,当
时,由
得
,当
时,若
,由
得
或
,若
,由
得
或
,因此,当
时,函数
有4 个零点,②正确; 当
时,
,由
得
,因此当
时,函数
有1 个零点,①正确,③,④均不正确.
5．已知
则函数
的零点个数是( ).
A．3
B．5
C．7
D．8
【答案】B
37
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【解析】函数
的零点,即方程
和
的根,函
数
的图象如图所示,
由图可得方程
和
共有5 个根,
即函数
有5 个零点.
6．（2023 年江苏省联合调研测试数学试题）已知函数
则函数
的零点个数为 ．
【答案】5
【分析】方法一：令
，将问题转化为
，根据图象分析得
有两个零点为
，
，从而考虑
与
根的个数即可求解；方法二：利用导函数以及零点的
存在性定理讨论
的根分别为
．
，从而用数形结合的方法确定
与
根的个数即可求解.
【详解】方法一：
大致图象如下
令
所以
式方程的一个根
，
再由图可知
式方程的另一个根
，
38
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当
时，
与
的图象有2 个交点，所以
有2 个实根，
当
时，
与
的图象有3 个交点，所以
有3 个实根，
共有5 个零点.
方法二：
令
时，
，
当
时，
，
所以
在
单调递减，
所以
在
有且仅有一个零点
，
其中
，则
有且仅有一个零点
，其中
．
时，
时，
在
单调递增，
，
在
有且仅有一个零点
，
，
时，结合函数图象可知
无解，
有两个根
因为
，所以由图象可得
与
的图象有2 个交点，
所以
有2 个实根，
当
时，
与
的图象有3 个交点，
所以
有3 个实根，
共有5 个零点.
1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤
(1)换元解套,转化为
与
的零点;(2)依次解方程,令
,求的值,代入
求出
39
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的值或判断图象交点个数.
2.抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函数的图象与性质.
题型十三、已知嵌套函数的零点个数求参数
1．已知函数
若关于
的不等式
恰有1 个整数解，则实
数
的最大值是（ ）
A．2
B．3
C．5
D．8
【答案】D
【分析】由分段函数的性质画出函数图象草图，根据题设不等式可令解集为
且
，结合图
象判断恰有1 个整数解时
的可能取值范围，由
求参数
的最大值.
【详解】由题设，分段函数的图象如下：
若不等式有
且
，要使
上
恰有1 个整数解，
因为
，
由图及函数性质知：
或
，而
，故
的最大值是8.
2．已知函数
若函数
恰好有5 个不同的零点,则
实数
的取值范围是（ ）.
A．(0,1] B．(0,1) C．[1,+∞)
D．(1,+∞)
【答案】A
【解析】画出函数
的大致图象,如图所示,
40
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∵函数
恰好有5 个不同的零点,∴方程
有5 个根.设
,则方程化为
,即
,解得
,
,结合图象
可得
,即
.
3．已知函数
若关于
的方程
有两个不等实根
x1,x2,且
,则
的最大值是（ ）.
A．0
B．2 C．
D．4+2ln 2
【答案】C
【解析】由于
在
上恒成立,故函数
在
上单调递增,又方程
有两
个相异实根,所以存在,使得
有两个不等实根,作出函数
的图象,如图所示
,由图以及题意可知,
,由
,解得
,即有
.设
,可得
,所以
在
上单调递增,
.
4.已知函数
若方程
有六个不等实根,则实数
的取值范围
是 .
【答案】
【解析】
的图象如图所示,
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令
,则要使方程
有6 个不等实根,
即使
在
上有两个相异实根,
则
解得
.
5．已知函数
，若函数
有4 个零点，则实数
的取值范围为
．
【答案】
【分析】画出
的图像，在
中将
看成一个整体，则
可以看做是关
于
的一元二次函数，
又因为
有四个零点，所以
必有两个根，所以
必有
可求出
部分范围，并求出
的根
；
结合
的图像确定
的范围求出
部分范围，将两部分
部分范围求交集即可得到最终结果.
【详解】对于
，若
为零点，且
为定义域上的单调增函数，
的图像如图所示，
又
有四个零点，且
最多两个解，
可以看做是关于
的一元二次函数
必定
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有2 个不同的实数根，
即
或
，
而
的实数根为
，根据
的图像可知：
要与
图像有两个交点，
则需满足：
又
或
，
故答案为：
6．定义域为
的函数
若关于x 的函数
有5 个不同的零点
、
、
、
、
，则
等于（ ）．
A．15
B．20
C．30 D．35
【答案】C
【分析】结合函数的图象可知
，进而可得
或
，即求.
【详解】作函数
的图象如图所示，
则由函数
有5 个不同的零点知
，
解得
．解
得
或
．
若
，则
或
或
；
若
，则
或
．
故
.
7．（2023 届福建省质量检测数学试题）已知函数
，若函数
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恰有5 个零点
，且
，
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
看成整体解出
或
，作出
的大致图象，将式子化为
，然后转化为
的范围进行分类讨论
即可判断.
【详解】当
时，
，此时，
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
可得
在
上单调递减且恒负，在
上单调递增且恒负，且
，
当
时，
，作出
的大致图象如图所示，
函数
恰有5 个零点
，
等价于方程
有5 个不同的实数根，
解得：
或
，
，该方程有5 个根，
且
，则
，
，
当
时，
，
，故
，
所以
；
当
时，
，
，故
，
所以
，
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综上：
的取值范围是：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对
的理解，将
看成一个，解出其值，
然后通过图象分析，转化为直线
与图象的交点情况.
8．已知函数
是偶函数．
(1)求实数
的值；
(2)若函数
的最小值为
，求实数
的值；
(3)当
为何值时，讨论关于
的方程
的根的个数．
【答案】(1)
;
(2)
;
(3)当
时，方程有一个根；
当
时，方程没有根；
当
或
或
时，方程有两个根；
当
时，方程有三个根；
当
时，方程有四个根．
【分析】（1）利用偶函数满足
，求出
的值；（2）对函数变形后利用二次函数的最值求
的值；（3）定义法得到
的单调性，方程通过换元后得到
的根的情况，通过分类
讨论最终求出结果.
【详解】（1）由题意得：
，即
，所以
，其中
，
∴
，解得：
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（2）
，
∴
，
故函数
的最小值为
，
令
，故
的最小值为
，
等价于
，
解得：
或
，无解
综上：
．
（3）由
，
令
，
，
有
．
由
，有
，
，可得
，可知函数
为增函数，故当
时，
函数
单调递增，由函数
为偶函数，可知函数
的增区间为
，减区间为
，
令
，有
，
方程
（记为方程①）可化为
，整理为：
（记为方程②），
，
当
时，有
，此时方程②无解，可得方程①无解；
当
时，
时，方程②的解为
，可得方程①仅有一个解为
；
时，方程②的解为
，可得方程①有两个解；
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当
时，可得
或
，
1°当方程②有零根时，
，此时方程②还有一根为
，可得此时方程①有三个解；
2°当方程②有两负根时，
可得
，不可能；
3°当方程②有两正根时，
可得：
，
又由
，可得
，此时方程①有四个根；
4°当方程②有一正根一负根时，
，可得：
或
，
又由
，可得
或
，此时方程①有两个根，
由上知：当
时，方程①有一个根；
当
时，方程①没有根；
当
或
或
时，方程①有两个根；
当
时，方程①有三个根；
当
时，方程①有四个根．
【点睛】对于复合函数根的个数问题，要用换元法来求解，通常方法会用到根的判别式，导函数，基本不
等式等.
(1)求解本题抓住分段函数的图象与性质,由
与
的图象,确定
的取值范围,进而由
的图象确定零点的个数.
(2)含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
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