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专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与三角形）
知识点一：直线与椭圆联立，求解步骤：
第一步：代入消元，联立
化简：
第二步：计算判别式；
可直接利用结论：
（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式；
，
第四步：利用
，计算
第五步：利用
，
计算
1
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第六步：
利用
，
，
计算弦中点
第七步：利用
,计算弦长
和
的面积
进而计算原点
到直线
的距离
第八步:利用
,
，
计算
第九步：利用
,
计算
知识点二：弦长问题
（最常用公式，使用频率最高）
2
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知识点三：弦长问题
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0 ；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2 ；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
知识点四：圆锥曲线中的三角形的面积
1、三角形面积问题
直线
方程：
2、焦点三角形的面积
直线
过焦点
的面积为
注意：
为联立消去
后关于
的一元二次方程的二次项系数
F2
F1
O
y
x
B
A
3
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必考题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（1）、（2023·四川南充·统考一模）已知直线
与椭圆
恒有公共点，则实数m
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线
所过定点以及方程
表示椭圆来求得
的取值范围.
【详解】直线
过定点
，
所以
，解得
①.
由于方程
表示椭圆，所以
且
②.
由①②得
的取值范围是
.
故选：C
（2）、（2022·陕西·统考一模）已知直线
与焦点在
轴上的椭圆
总有公共点，则b 的
取值范围是 .
【答案】
【分析】求出直线所过定点，由定点在椭圆内部或椭圆上，得出参数范围，同时注意椭圆的焦点在
轴对
参数范围的限制．
【详解】由题意直线
恒过定点
，要使直线
与焦点在x 轴上的椭圆
总有
公共点，则只需要点
在椭圆上或椭圆内，
，
4
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又焦点在x 轴上，
.
.
故答案为：
．
1．（2023·广东肇庆·肇庆市第一中学校考模拟预测）若直线
与椭圆
恒有公共点，则实
数m 的取值范围是 ．
【答案】
且
【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.
【详解】由直线
，则可知其过定点
，
易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，
则
，解得
且
.
故答案为：
且
.
2．（2023·重庆北碚·校联考模拟预测）已知椭圆
，直线
，若椭圆上存在关于直线对
称的两点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设椭圆上两点
关于直线
对称，则可设直线
方程为
，
将其与椭圆方程联立，令
，可算出的范围，又线段
的中点
也在直线
上，结
合韦达定理可以算出
的关系式，从而得解.
5
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【详解】设
，线段
的中点
，
若此椭圆上存在不同的两点
关于直线
对称，
所以直线
的方程可以设为
，
联立
，化为
，
，解得
，
而
，所以
，即
，
代入直线
可得
，
所以
，即实数m 的取值范围是
.
故选：D.
必考题型二：弦长问题
例2．（1）、（2022·河南郑州·统考三模）斜率为1 的直线l 与椭圆
相交于A，B 两点，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设直线方程
与椭圆方程联立，求得弦长
，即可得到最大值.
【详解】设
两点的坐标分别为
，
，直线l 的方程为
，
由
消去y 得
，
6
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则
，
.
∴
，
∴当
时，
取得最大值
，
故选:D.
（2）、（2023·全国·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，过焦点
的直线交抛物线于两
点
，
．若弦长
，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为
，
，
，联立方程，利用韦达定理求出
，
再根据抛物线的弦长公式即可得解.
【详解】由题意，直线的斜率不等于零，
，
设直线的方程为
，
，
，
联立
，消
得
，
恒成立，
则
，
所以
，
解得
，
所以直线的斜率为
.
7
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故答案为：
.
1．（2023·河南·统考模拟预测）斜率为1 的直线l 过抛物线
的焦点F，且与C 相交于
A，B 两点，O 为坐标原点，若
的面积是
，则
（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】B
【分析】设直线l 的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，即可求出弦长
的表达式，结合
的面积求得参数p，即可求得答案.
【详解】由题意知抛物线
的焦点F 坐标为
，
设直线l 的方程为
，联立
，
得
，
，
设
，则
，
故
，
8
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又点O 到直线
的距离为
，
则
，即
，
故
，
故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平
行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线
的焦点为F，AB 为抛物线的过点F 的一条弦，若从点F
发出的光线分别在点A 和点B 反射后得到的两条平行直线之间的距离为5，则
．
【答案】
【分析】首先设
，
，
，由题意中的光学性质可知，
，再联立方程，利
用韦达定理即可求直线方程，最后代入弦长公式.
【详解】由题意知
，设
，
，
，由两条平行直线之间的距离为5 知
．
易知AB 的斜率不为0，设AB：
，由
得
，
∴
，
，
∴
，
9
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∴
，∴AB 的方程为
，
∴
．
故答案为：
必考题型三：中点弦问题
例3．（1）、（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若椭圆的中心在原点，一个焦点为
，直线
与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 ．
【答案】
【分析】联立直线与椭圆方程，由韦达定理以及中点坐标公式即可求解.
【详解】法一：（直接法）
椭圆的中心在原点，一个焦点为
，
设椭圆方程为
，
由
，消去
，
得
，
设直线
与椭圆相交所得弦的端点分别为
，
，
则
由题意知
，解得
．
所求椭圆方程为
．
法二：（点差法）
椭圆的中心在原点，一个焦点为
，
设椭圆的方程为
．
设直线
与椭圆相交所得弦的端点分别为
，
，
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则
得
，
即
，
又
弦
的中点的纵坐标为1，故横坐标为-2，
，代入上式得
，解得
，故所求的椭圆方程为
．
故答案为：
（2）、（2022·全国·校联考三模）已知抛物线C：
的焦点为F，直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，
线段AB 的中点为
，则点F 到直线l 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果.
【详解】设
，
，则
，
，所以
，
即
，
因为AB 的中点为
，
，
所以直线的斜率
，所以直线的方程为
，
所以焦点
到直线
的距离
，
故选：A.
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1．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线
的一条弦
恰好以点
为中点，弦
的长为
，
则抛物线的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，
，得到
，
，结合“点差法”求得
，得到直线
的方程为
，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得
，进而求得抛物线的准线方
程．
【详解】设
，
，弦
所在直线方程为
，
则
，
，
也点A，B 在抛物线
上，可得
，
两式相减可得
，所以
，即
，
所以弦
所在直线的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
可得
，
，
所以
，
12
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所以
，即
，
可得
，解得
，所以抛物线的准线方程为
．
故选：B．
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆
，O 为坐标原点，直线l 交椭圆于A，B 两点，
M 为AB 的中点.若直线l 与OM 的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，由点差法代入计算，可得
，再由椭圆的离心率公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设
，
，
，
将A，B 两点坐标代入椭圆C 的方程可得
，
，
两式相减可得
.
又因为M 为AB 的中点，所以
，
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所以
，
所以
，
，
又直线l 与OM 的斜率之积为
，
所以
，即
，
所以椭圆C 的离心率
.
故选：D.
例4．（2023·江西吉安·江西省峡江中学校考一模）已知椭圆
的长轴比短轴长2，椭
圆
的离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线与椭圆
交于
两点，且线段
的中点为
，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及短轴长与长轴长的关系得到方程组
，解出即可.
（2）设
，利用点差法得
，再根据中点坐标求出
，
，代入即可得到直线
斜率，最后写出直线方程即可.
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【详解】（1）因为椭圆
的离心率为
，所以
，解得
．．
又椭圆
的长轴比短轴长2，所以
，
联立方程组
，解得
所以椭圆
的方程为
．
（2）显然点
在椭圆
内，
设
，因为
在椭圆
上，所以
，
两个方程相减得
，即
，
因为线段
的中点为
，所以
，
，
所以
．
所以的方程为
，即
．
1．（2023·全国·模拟预测）已知直线
恰好经过双曲线
的左焦点
，
且与
交于
，
两点，
为
的中点，当
时，直线
的斜率为1．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线经过
且与直线垂直，与双曲线
交于
，
两点，
为
的中点，证明：
与
的面积之比为定值．
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【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用点差法
可求得
，结合
，求出
，即可求出双曲线的方
程；
（2）直线与双曲线方程联立
，求出点
坐标，因为直线与垂直，所以用
替换
，得
到
点的坐标，求出直线
的方程，即可得出
恒过定点
，即可得出
与
的面
积之比
【详解】（1）依题意可知
，设
，
，
则
两式作差可得
，
即
，又当
时，直线
的斜率为1，
所以
．又
，解得
，
，
所以双曲线
的方程为
．
（2）联立直线与双曲线方程，得
消去
整理得
，则
，
，
16
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则
所以
，
，所以
．
又因为直线与垂直，所以用
替换
，得到
．
当
，即
时，直线
的方程为
，直线
过点
．
当
且
，
时，直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，
令
，得
，所以直线
过点
．
综上，直线
恒过点
．
所以
与
的面积之比为
．
2．（2022·上海·统考模拟预测）设A、B 是双曲线
上的两点，点
是线段
的中点．
(1)求直线
的方程；
(2)若线段
的垂直平分线与双曲线相交于C、D 两点，则A、B、C、D 四点是否共圆？判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)A、B、C、D 四点共圆，理由见解析.
【分析】（1）点差法求解中点弦的斜率及方程；（2）求出AB 两点坐标，求出AB 的垂直平分线，联立后
求出CD 点的坐标，得到CD 的中点M 的坐标，计算得到
，从而得到四点共圆.
【详解】（1）设
，显然
，
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由题意得：
，
两式相减得：
，
即
，
因为点
是线段
的中点，
所以
，
所以
，
即直线
的斜率为1，
所以直线
的方程为
，整理得：
（2）联立
与
，得到：
，
解得：
，当
时，
，
当
时，
，
不妨设
，
直线AB 的垂直平分线为
，与
联立得：
，
解得：
，当
时，
，
18
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当
时，
，
不妨设
，
则CD 的中点为
，
又
，
，
，
所以
，
故A、B、C、D 四点共圆，圆心为
，半径为
.
必考题型四：三角形问题
例5．（1）、（2023·全国·模拟预测）椭圆
的两焦点分别为
，过点
的直线交椭
圆
于点
，若
的最大值为3，则当
取得最小值时，
的面积为（ ）
A．4
B．
C．3
D．2
【答案】C
【分析】由题意
，求得
，再由公式算得通径长度以及当
取得最小值时，
的面
积
【详解】由
的最大值为3，即右焦点到左顶点的距离，
得
，即
，两边同时平方得
，所以
，
．
易知当直线
垂直于
轴时，
取得最小值，此时
，
19
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所以
.
故选：C
（2）、（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）已知抛物线
的焦点为
为坐标原点，
为抛物线
上一点，且满足
，则
的面积为 .
【答案】
【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用
，求得
点的纵坐标，代入
抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算，从而可求解.
【详解】由抛物线
：
得其标准方程为
，所以
，得
，
所以焦点为
，准线方程为
，
又因为
在抛物线
上且
，由抛物线定义可得
，代入抛物线方程得
，
所以
.
故答案为：
.
1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，若
的离
20
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心率为
，过
作双曲线
的一条渐近线的垂线，垂足为
，延长
与另一条渐近线交于点
，若
，
为坐标原点，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．6
【答案】B
【分析】根据离心率求出双曲线的渐近线方程，利用两角差的正切公式求出
，再根据
求出
的值，由
的面积等于
的面积，即可求解.
【详解】由
的离心率为
，可得
，则
，
则
的渐近线方程为
，则
，
则
，
设渐近线方程为
，
，
则点
到双曲线的渐近线的距离为
， 则
，
因为
，则
，即
，
，
易知
的面积等于
的面积，
即
．
21
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故选：B.
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知抛物线
的焦点
关于直线
的对称点
为
，
为坐标原点, 点
在
上且满足
（
均不与
重合），则
面积的
最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．20
【答案】C
【分析】求出抛物线方程，设出
点坐标，将直线
和抛物线联立，求出直线
的方程，进而写出
面积的表达式，即可求出最小值.
【详解】在
中，焦点为
，
焦点
关于直线
即
的对称点为
，
，解得
，
∴抛物线的方程为
,
显然直线
的斜率不为 0 , 设直线
的方程为
, 且
,
22
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设
,
联立
, 整理可得
,
, 即
, 且
,
,
又因为
, 即
,
∴
,
∴即直线
的方程为
，
∴直线
恒过
点，
∴
，
当且仅当
时, 等号成立.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线与直线的综合问题，韦达定理和三角形面积求法，考查学生的计算
和作图能力，具有很强的综合性.
例6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆
（
）的左、右焦点分别为
，
，离心
率为
，M 为C 上的动点，且
面积的最大值为1．
(1)求椭圆C 的标准方程；
23
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(2)若O 为坐标原点，直线l 交C 于P，Q 两点，直线OP，OQ 的斜率分别为
，
，且
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率为
、
面积的最大值为1 及a，b，c 之间的关系求出a，b，即可求出
椭圆C 的标准方程；
（2）求出直线l 的斜率不存在时
的面积，当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，
得到根与系数的关系，然后利用弦长公式求出
，利用点到直线的距离公式求出点O 到直线l 的距离，
最后结合三角形的面积公式即可得解．
【详解】（1）因为椭圆C 的离心率为
，所以
．
因为
面积的最大值为1，所以
，
又
，所以
，
，
所以椭圆C 的标准方程为
．
（2）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点P 在第一象限，
根据椭圆的对称性知
，又
，可得
，
此时直线OP 的方程为
，与
联立并求解，得
，
24
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所以
的面积为
．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
（
），
联立
，得
，
，即
．
设
，
，则
，
，
所以
，
．
由
，得
，
所以
，即
，满足
．
因为点O 到直线l 的距离
，
所以
，
综上，
．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
25
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（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知抛物线
的焦点为
为
上
一点，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线
交抛物线
于
两点，且
（
为坐标原点），记直线
过定点
，证明：直线过定点
，并求出
的面积.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用抛物线焦半径公式即可得解；
（2）联立直线与抛物线方程，结合题设条件求得
，从而得证；再求得直线
所过的定点，从而得
解.
【详解】（1）因为
在
上，所以
，
又
，所以
，则
，
所以
，则
，解得
或
，
当
时，
，满足要求；当
时，
，不满足
，
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故
，所以抛物线的方程为
.
（2）设
，
联立
，消去
整理得
，
所以
，且
，所以
，
因为
，解得
，
所以直线的方程为
，则直线过定点
，
直线
，即
过定点
，
又
，所以
，
所以
.
2．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy 中，y 轴同侧的两点P 和Q 分别在直线
和
上，且
，记PQ 的中点M 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线
与曲线C 有两个不同的交点A，B，求
面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）根据
，结合中点坐标公式即可求解曲线C 的方程为
（2）将
代入双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积的表
达式，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）由于点P 和Q 分别在直线
和
上，所以可设
，
，
由
，得
，所以
，
根据点P，Q 在y 轴同侧，得
，所以
．
设
，则
于是
得
，即
，
故曲线C 的方程为
．
（2）设
，
，
把
代入
，得
，
故
，
，
，
所以
，
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又点O 到直线
的距离
，
所以
的面积
令
，则
，
令
，则
，
因为
，所以
，
由
，得
，
由
，得
，
由
，得
，当且仅当
，即
，即
，即
时等
号成立，故
面积的最小值为
．
【点睛】方法点睛：解决解析几何中与面积有关的最值或范围问题的一般步骤：一是求出面积的表达式
（常用直接法或分割法）；二是明确自变量及自变量的限制条件（如方程根的判别式大于0 等）；三是利
用配方法、基本不等式、函数单调性等求出面积的最值或取值范围．
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