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专题03 不等关系
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题03 不等关系
命题解读
命题预测
复习建议
不等式是每年高考都要考察
的内容，数学就是研究各种
变量间的关系的，因此可以
说就是研究相等与不等的，
不等式的考察主要有不等式
的性质、解法和证明应用
等，常常与函数、数列、导
数等相结合。在解答题中是
必考的，在集合和函数的定
义域、单调性、极值、最值
等方面都有，因此应用比较
广泛。
预计2024 年的高考不等式的
考察还是必须的，对于题目
的难易度来说，易、中、难
都有，主要是以数学运算和
逻辑推理为主。
集合复习策略：
1.理解不等关系以及不等式
的性质，高考对不等式的考
察还是比较稳定的；
2.掌握不等式的应用，高考
主要是考察不等式的各种应
用；
3.掌握与不等式考察有关的
知识点。
→➊考点精析←
一、比较大小
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 {
a-b>0⇔a>b，
a-b=0⇔a=b，
a-b<0⇔a<b.
(2)作商法{
a
b >1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)，
a
b =1⇔a=b(a，b≠0)，
a
b <1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0).
二、不等式性质
1.对称性:a>b⇔b<a (双向性)
2.传递性:a>b，b>c⇒a>c(单向性)
3.可加性:a>b⇔a+c>b+c(双向性)；
a>b，c>d⇒a+c>b+d (单向性)
4.可乘性:a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac<bc；
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd(单向性)
5.乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)(单向性)
2
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6.开方法则:a>b>0⇒
n√a>
n√b(n∈N，n≥2)(单向性)
三、常见的结论
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0<b⇒<.
(3)a>b>0,0<c<d⇒>.
(4)0<a<x<b 或a<x<b<0⇒<<.
→➋真题精讲←
1. （2020 年新高考全国Ⅰ）已知a>0，b>0，且a+b=1，则
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确；
故选ABD.
3
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2. （2019 天津高考理科）已知
，
，
，则
的大小
关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
，
，
，故
，
所以
.故选A
3. （2020 江苏省期末）若实数
，
满足
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据实数
，
满足
，取
，
，则可排除
．
因为函数
在定义域上单调递增，因为
，所以
，即
故选C．
4.（2020 浙江省杭州第二中学高三其他）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，所以
.
对于
，取
，不成立；对于
取
，不成立；对于
取
，不成
立.
故选B.
→➌模拟精练←
4
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1．（2023 春·广东揭阳·高三校考阶段练习）下列推理正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若a，
，则
【答案】BC
【解析】A 选项，不妨设
，满足
，但
，A 错误；
B 选项，因为
，所以不等式两边同时乘以
得：
，
不等式两边同时乘以
得：
，从而
，B 正确；
C 选项，因为
，所以
，不等式两边同除以
得：
，C 正确；
D 选项，因为a，
，故当
或
时，
无意义，D 错误.
故选：BC
2．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A，因为
，所以
，故A 错误；
对于B，因为
，所以
，
所以
，即
，故B 正确；
5
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对于C，因为
，所以
，所以
，故C 错
误；
对于D，因为
，所以
，故D 正确.
故选：BD.
3．（2023·山东青岛·统考三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判
断；对于选项C：分析可得
，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结
合幂函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为
，即
，解得
或
，
所以
或
，故A 错误；
对于选项B：
，
因为a＞b＞0，则
，即
，且
，
所以
，即
，故B 正确；
对于选项C：因为a＞b＞0，且
，
可得
同号，则有：
若
同正，可得
，
则
，可得
；
若
同负，可得
，
则
，可得
；
6
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综上所述：
，
又因为
在定义域内单调递减，所以
，故C 正确；
对于选项D：因为a＞b＞0，则
，
可得
在
内单调递增，可得
，
且
，所以
，故D 正确；
故选：BCD.
4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知实数
，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A 选项中，因为
，所以
，故A 选项正确；
B 选项中，因为函数
在
上单调递减且
，所以
，故B 选项错误：
C 选项中，因为
，则
，故C 选项错误；
D 选项中，若
，
，满足
，但
，故D 选项错误．
故选：A．
5．（2023 春·广东·高三统考开学考试）若正实数
满足
,且
,则下列不等
式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
,
为单调递增函数,故
,由于
,故
7
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,或
，
当
时,
,则
，此时
；
,故
;
,即
,所以
;
当
时,
,则
,此时
,
,故
;
,即
,所以
;
故ABC 均错误;
对于D 选项,
,两边取自然对数,
,
因为不管
,还是
,均有
,
所以
,
故只需证
即可.
设
(
且
),则
,
令
(
且
),
则
,
当
时,
,当
时,
,所以
,
所以
在
且
上恒成立,
8
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故
(
且
)单调递减,
因为
,所以
,结论得证,所以D 正确.
故选:D.
6．（2023·江苏·统考二模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较
，构造函数
，
，利用导数判断函数的单调性，
再根据函数的单调性即可得解.
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上递增，
所以
，即
，即
，
所以
，即
，
综上，
.
9
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故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造函数
，
，利用中间量
来比较
的大小是解决本题的关键.
7．（2023·广东茂名·统考一模）e 是自然对数的底数，
，已知
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【解析】原式变形为
，
构造函数
，则
，
∵
，
当
时，
，则
，即
；
当
时，
，则
，即
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
对于A：取
，则
∵
在
上单调递增，故
，
即
满足题意，但
，A 错误；
对于B：若
，则有：
当
，即
时，则
，即
；
当
，即
时，由
在
时单调递增，且
，
故
，则
；
10
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综上所述：
， B 正确；
对于C：若
，则有：
当
，即
时，
显然成立；
当
，即
时，令
，
∵
，当且仅当
，即
时等号成立，
∴当
时，所以
，即
，
由
可得
，即
又∵由
在
时单调递增，且
，
∴
，即
；
综上所述：
，C 正确；
对于D：取
，
，则
，
∵
在
上单调递减，故
，
∴故
，
满足题意，但
，D 错误.
故选：BC.
8．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线
与函数
的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大
的两个值分别为
和
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据结论恒成立可只考虑
的情况，假设切点坐标，则只需考虑
11
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，
，其中
的情况，可将
表示为
；构
造函数
，
，利用导数可求得
的单调性，从而对
进行放缩即可求得所求范围.
【详解】
对于任意
，
，
，
的范围恒定，
只需考虑
的情况，
设
对应的切点为
，
，
，
设
对应的切点为
，
，
，
，
，
，
只需考虑
，
，其中
的情况，
则
，
，其中
，
；
又
，
，
，
；
12
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令
，则
，
在
上单调递增，又
，
，又
，
，
；
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
即
，
在
上单调递减，
，
，
；
综上所述：
.
故选：C.
9．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）e 是自然对数的底数，
，已知
，则下列结论一定正确的是（ ）
13
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A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】构建函数
根据题意分析可得
，对A、D：取特值分析
判断；对B、C：根据
的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为
，
构造函数
，则
，
∵
，
当
时，
，则
，即
；
当
时，
，则
，即
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
对于A：取
，则
∵
在
上单调递增，故
，
即
满足题意，但
，A 错误；
对于B：若
，则有：
当
，即
时，则
，即
；
当
，即
时，由
在
时单调递增，且
，
故
，则
；
综上所述：
， B 正确；
对于C：若
，则有：
当
，即
时，
显然成立；
14
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当
，即
时，令
，
∵
，当且仅当
，即
时等号成立，
∴当
时，所以
，即
，
由
可得
，即
又∵由
在
时单调递增，且
，
∴
，即
；
综上所述：
，C 正确；
对于D：取
，
，则
，
∵
在
上单调递减，故
，
∴故
，
满足题意，但
，D 错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型：
，
①构造形式为：
，构建函数
；
②构造形式为：
，构建函数
；
③构造形式为：
，构建函数
.
（2）商型：
，
①构造形式为：
，构建函数
；
②构造形式为：
，构建函数
；
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③构造形式为：
，构建函数
.
10．（2023·广东肇庆·统考二模）已知正数
满足等式
，则下列不等
式中可能成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为
，
，
，
所以
，
所以
，
构造
，
所以
，
当
，即
时，
分析
即可，
所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，
由
，
所以
，
构造
，
，
16
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则
，
所以
在
上单调递增，
所以由
得
，
所以
，
故此时
， D 选项错误；
当
时，
，此时
，
所以
可能成立，故C 选项可能正确，
由
，即
，
构造
，
所以
，设
，
当
时，
，所以
在
单调递减，在
上单调递增，
且
，所以当
时，
即
，
所以
，
构造
，
则
，所以
在
上单调递增，
所以
，故A 可能正确，B 项错误；
故选：AC
→➍专题训练←
17
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一、用不等式表示不等关系
1.铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设
携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示
为（ ）
A．a + b + c ≤M
B．a +b +c >M
C．a + b + c ≥M
D．a + b+ c <M
【答案】A
【分析】根据长、宽、高的和不超过Mcm 可直接得到关系式.
【详解】
长、宽、高之和不超过Mcm，
.
故选：A.
2.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案
为一次性投资
万；方案
为第一年投资
万，以后每年投资
万.下列不等式表示“经过
年之后，方案
的投入
不大于方案
的投入”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由不等关系求解即可.
【详解】经过
年之后，方案
的投入为
，故经过
年之后，方案
的投入不
大于方案
的投入，即
故选：D
3.某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过
元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为
元、
元，一等奖人数与二等奖人数的
比值不得高于
，且获得一等奖的人数不能小于
．设获得一等奖的学生有
人，获得二
等奖的学生有
人，则
满足的不等关系为______．
18
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【答案】
.
【分析】根据已知可直接得到不等式组，化简即可得到结果.
【详解】由题意得：
，化简得：
.
故答案为：
二、有已知条件判断所给不等式是否正确
4.若
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
<
【答案】C
【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断
【详解】对于A，若
，则
，所以A 错误，
对于B，若
，则
，所以B 错误，
对于C，因为
，所以由不等式的性质可得
，所以C 正确，
对于D，因为
，所以
，所以
，即
，所以D 错误，
故选：C
5.如果
，那么下面不等式一定成立的是（ ）
19
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质依次判断即可.
【详解】若
，则
，故A 错误；若
，
，则
，故B 错
误；若
，则
，故C 正确；若
，则
，故D 错误.
故选：C.
6.若a，b，c 为实数，且
，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.
【详解】A：当
时，显然
不成立；
B：当
时，显然
没有意义；
C：当
时，显然
不成立；
D：根据不等式的性质，由
能推出
，
故选：D
三、由不等式的性质比较数（式）的大小
7.（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；
对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；
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对于D：取特殊值
即可否定结论.
【详解】对于A：因为
，所以
.
因为
，利用同向不等式相加，则有
.故A 正确；
对于B：因为
，所以
，所以
，对
两边同乘以
，则有
.
故B 正确；
对于C：因为
，所以
.
因为
，所以
.
对
两边同乘以
，有
，所以
.故C 正确；
对于D：取
，满足
，但是
，所以
不成立.故D 错误.
故选：ABC
8.（多选）下列命题正确的是（ ）
A．
B．
，
，使得ax＞2
C．ab=0 是
的充要条件
D．a≥b＞－1，则
【答案】AD
【分析】举出一例判断存在命题是否正确，判断A，举反例判断BC，由不等式的性质判断
D．
【详解】对A，
时，
，A 正确；
对B，
时，对任意
，
，
不成立，B 错；
对C，
时满足
，但此时
，C 错；
对D，
，则
，
，则
，D
正确．
故选：AD．
四、作差法比较代数式的大小
21
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9.如果
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】举例判断A，B，D 错误，再证明C 正确.
【详解】由已知可取
，则
，A 错，
，B 错，
，
，D 错，
因为
，所以
所以
，故
，C 对，
故选：C.
10.（多选）已知
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】直接推导否定选项AC，直接推导证明选项BD 正确.
【详解】选项A：由
，可得
.判断错误；
选项B：由
，可得
，则
，则
.判断正确；
选项C：由
，可得
，则
，则
.判断错误；
选项D：由
，可得
，则
.判断正确.
故选：BD
五、作商法比较代数式的大小
11.（多选）对于实数
，
，，正确的命题是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
，
D．若
，
，则
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【答案】ABD
【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.
【详解】对选项A，因为
，所以
，
，
所以
，故A 正确；
对选项B，
，
，所以
，
因为
，所以
，即
，故B 正确；
对选项C，令
，
，满足
，不满足
，
.
对选项D，因为
，
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD
12.已知：
、
， 且
，比较
的大小.
【答案】
【分析】两指数式比较大小，由指数式采用作商法，经讨论和1 比较大小.
【详解】∵
、
，∴
，
作商：
（*）
(1)若a>b>0， 则
，a-b>0，
， 此时
成立；
(2)若b>a>0， 则
， a-b<0，
， 此时
成立.
综上，
总成立.
23
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24
