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专题03 利用导函数研究函数的单调性问题
（含参讨论问题）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）.............2
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式
分解型.............................................................................................5
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型.................8
三、专项训练.....................................................................................11
一、必备秘籍
一、含参问题讨论单调性
第一步：求
的定义域
第二步：求
（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于
进行求导得到
，对
初步处理（如通分），提出
的恒正
部分，将该部分省略，留下的部分则为
的有效部分（如：
，则记
为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只
有该部分决定
的正负.
第四步：确定导函数有效部分
的类型：
1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分
的图象辅助解题：
①令
，确定其零点
，并在
轴上标出
1
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②观察
的单调性，
③根据①②画出草图
2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
借助导函数有效部分
的图象辅助解题：
①对
因式分解，令
，确定其零点
，
并在
轴上标出这两个零点
②观察
的开口方向，
③根据①②画出草图
3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对
，求
②分类讨论
③对于
，利用求根公式求
的两根
，
④判断两根
，
是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出
草图
二、含参问题讨论单调性的原则
1、最高项系数含参，从0 开始讨论
2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论
3、考虑根是否在定义域内
二、典型题型
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（23-24 高二下·山东潍坊·期中）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，分
、
两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【详解】（1）当
时
，
则
，所以
，
因为
，即切点为
，
2
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所以切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
又
，
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，则当
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上可得：当
时
在
上单调递增；
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减.
2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数
.
(1)若
的图象在点
处的切线与直线
垂直，求
的值;
(2)讨论
的单调性与极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，根据直线垂直可得
，即可求解，
（2）求导，对
进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.
【详解】（1）由题得，
的定义域为
.
.
的图象在点
处的切线与直线l:
垂直，
，
解得
.
（2）由（1）知
.
①当
时，
恒成立.
在
上为减函数，此时
无极值;
②当
时，由
，得
，由
，得
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
3
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故
的极小值为
，无极大值.
综上可得，当
时，
在
上为减函数，
无极值;
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
的极小值为
，无极大值.
3．（23-24 高二下·山西长治·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递
减，在
上单调递增.
【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性，
【详解】（1）
的定义域为
，
当
时，
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
当
时，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1）
的定义域为
，
．
若
，则
，
在
上单调递减：
若
，则由
得
，当
时，
；当
时，
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
故当
时，
在
上单调递减：
4
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当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分
解型
1．（23-24 高二下·山东·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合
，
的值，即可求得结果；
（2）求得
，对参数
分类讨论，利用导数研究
的根的大小，结合
与
函数单调性的关系，即可求得函数单调性.
【详解】（1）当
时，
，
，
，
，
故
在
处的切线方程为：
，即
.
（2）由题意可知：
的定义域为
，且
，
（ⅰ）若
，则
在
上恒成立，
当
，则
；当
，则
；
可知
在
上单调递增，在
上单调递减；
（ⅱ）若
，令
，则
或
，
①当
，即
，则
在
上恒成立，
当
，则
；当
，则
；
可知
在
上单调递减，在
上单调递增；
②当
，即
时，
当
或
，则
；当
，则
；
可知
在
上单调递增，在
上单调递减；
5
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③当
，即
时，则
在
上恒成立，
可知
在
上单调递增；
④当
，即
时，
当
或
，则
；当
，则
；
可知
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：若
，
在
上单调递增，在
上单调递减；
若
，
在
上单调递减，在
上单调递增；
若
，
在
上单调递增，在
上单调递减；
若
，
在
上单调递增；
若
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
2．（2024·辽宁·二模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）对函数求导，根据
的不同范围，分别求出函数的单调性；
【详解】（1）
，
①当
时，令
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减；
②当
时，令
，解得
或
，
当
和
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
③当
时，令
，解得
或
，
i)当
时，即
时，
当
和
时，
，
单调递增；
6
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当
时，
，
单调递减；
ii)当
时，即
时，
当
和
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
iii)当
时，即
时，
，
在
上单调递增；
综上所述，当
时，
在
和
单调递减，
在
单调递增；
当
时，
在
单调递增，
在
单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
单调递增，
在
单调递减；
当
时，
在
和
时单调递增；
在
单调递减．
3．（23-24 高二下·四川南充·期中）已知函数
．
(1)当
时，求
的在
上的最大值和最小值；
(2)当
时，求
的单调区间．
【答案】(1)最大值为9，最小值为
；
(2)单调递减区间是
，单调递增区间是
.
【分析】（1）求导可得
，令
即可得出单调区间，进
而求出最大、小值.
（2）求导可得
，按
确定
的零点大小求出单调区间.
【详解】（1）当
时，函数
，求导得
，
由
，得
；由
，得
或
，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
7
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所以
在
上的最大值为9，最小值为
.
（2）函数
的定义域为R，求导得
，
令
，解得
或
，
当
时，
，则
；
，
所以
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
4．（23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数
的定义域为
，其中
为自然对数底数
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导可得
，分
和
两种情况，利用导数判断原
函数单调性；
【详解】（1）由题意可得：
，
因为
，则
，
①当
时，则
在
内恒成立，
可知
，则
在
上单调递增；
②当
时，令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（23-24 高二下·四川内江·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，结合二次函数
的性质求出函数
8
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的单调区间；
【详解】（1）函数
的定义域为
，
又
，
又
，二次函数
，开口向上，对称轴为
，当
时
，
所以关于
的方程
异号的两个实数根，解得
或
，
所以当
时
，当
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）讨论
的正负，从而根据导数的正负判断函数的单调性即可；
【详解】（1）因为
，
所以
，
当
时，
，
故
恒成立，所以
；
当
时，令
，
解得
（舍去负根），
令
，得
，此时
单调递增；
令
，得
，此时
单调递减．
综上所述：当
时，
在
上单调递减;
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
9
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(1)试讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导数，分类讨论，根据导数的符号判断单调性；
【详解】（1）
.
当
时，
，则
在
上单调递减．
当
时，令
，得
(负值舍去)，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
4．（23-24 高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）结合二次函数的性质，对
分类讨论计算即可得.
【详解】（1）
时，
，
，
所求切线方程为
，整理得：
；
（2）
，
因为
，故
时，
在
上单调递增，
当
时，对于
，
若
，则
，此时
在
上单调递增，
10
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若
，令
，得
，
时，
单调递增；
时，
单调递增；
时，
单调递减；
综上所述：
时，
在
上单调递增；
时，
在
、
上单调递增，
在
上单调递减.
三、专项训练
1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知
，
.
(1)讨论
的单调性.
【答案】(1)当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单
调递减，在
上单调递增.
【分析】（1）对
求导数，然后分类讨论即可；
【详解】（1）由
，知
.
当
时，有
，所以
在
上单调递减；
当
时，对
有
，
对
有
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
2．（23-24 高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数
．
(1)若
，求函数
在
上的最大值和最小值；
11
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(2)讨论函数
的单调性．
【答案】(1)最大值为
，最小值为；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，利用导数研究函数
在
的单调性，求极值和区间端点函数
值，即可求解；
（2）对函数求导，根据未知数
的不同范围，分别求出函数单调性.
【详解】（1）当
时，
，则
，
令
，得
或
，
由于
，
所以当
，
，
在
单调递减，
所以当
，
，
在
单调递增，
所以
在
时取到极小值，且
，
又因为
，
，
综上，函数
在
上的最大值为
，最小值为.
（2）因为
，所以
，
当
，即
时，
，
在
单调递增，
当
，即
时，
令
，则
，
所以当
，
，
在
单调递增，
当
，
，
在
单调递减，
当
，
，
在
单调递增.
综上所述，当
时，
在
单调递增，
当
时，
在
，
单调递增，在
单调递减.
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，讨论
的单
调性.
【答案】答案见解析
【分析】求导得
，分
、
、
、
讨论可得答案.
12
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【详解】函数
的定义域为
，
求导得
，
①当
，即
时，由
，得
，由
，得
，
因此
在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
，即
时，由
，得
或
，由
，得
，
因此
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
③当
，即
时，
恒成立，因此
在
上单调递增；
④当
，即
时，由
，得
或
，由
，
得
，
因此
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
综上所述，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
4．（23-24 高二下·全国·课前预习）已知函数
，
,讨论
的
单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导后，将导函数中含参数
的二次函数的分子取为
，结合其图象，
对其对应方程的判别式分别讨论，得到不同区间上导函数的符号，即得函数
单调性.
【详解】由题得
，其中
，
令
，
，其图象对称轴为直线
，
．
①若
，则
，此时
，则
，所以
在
上单调递增；
②若
，则
，
此时
在R 上有两个根
，
，且
，
当
时，
，则
，
单调递增；
当
时，
，则
，
单调递减；
13
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当
时，
，则
，
单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，讨论
的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
求函数的导数，讨论参数a，结合导数的符号判断函数单调性即可.
【详解】依题意
，
若
，则
，当
时
，当
时
.
若
，令
，
，令
，解得
或
.
若
，则
；若
，则
；
若
且
，令
，得
，
.
若
，则
，
当
时
，当
时
，当
时
；
若
，则
，
当
时
，当
时
，当
时
.
综上所述：
时
在R 上单调递增；
时
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
时
在
上单调递减，在
上单调递增；
时
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
时
在R 上单调递减；
14
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6．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，讨论
的
单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】
先求得
，对
进行分类讨论，由此求得
的单调区间.
【详解】
的定义域为
，
，
若
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
若
，则
恒成立，
在
上单调递增.
综上，当
时，
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间.
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知
．求
的单调区间；
【答案】答案见解析
【分析】先对
求导，分类讨论
与
两种情况，结合导数与函数单调性的关系
即可得解.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
在
单调递减；
当
时，当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
综上，当
时，
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
8．（2023 高二上·江苏·专题练习）已知函数
，
，讨论函数
的单调性.
【答案】答案见解析
15
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【分析】求导数，分类讨论导数的符号，得函数的单调区间.
【详解】函数
的定义域为
，
①当
，即
时，得
，则
.
∴函数
在
上为增函数.
②当
，即
时，令
，得
，
解得
(
)
ⅰ若
，则
，
∵
，在
或
时，
；
时
，
∴
在
，
上为增函数，在
上为减函数.
(
)
ⅱ若
，则
，当
时，
，当
时，
，
∴函数
在
上为减函数，在
上为增函数.
综上可知，
时，函数
在
上为增函数；
时，函数
在
，
上为增函数，在
上为减函数；
时，函数
在
上为减函数，在
上为增函数.
9．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
，讨论
的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导，讨论
，
研究导数符号确定区间单调性.
【详解】由题设
且
，
当
时
在
上递减；
当
时，令
，
当
时
在区间
上递减；
16
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当
时
在
上递增．
所以当
时，
的减区间为
，无增区间；
当
时，
的增区间为
，减区间为
.
10．（22-23 高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数
，其中
.
(1)若
在
处取得极值
，求a 的值；
(2)当
时，讨论
的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，由
，
得到方程，求出
，并进行检验；
（2）求定义域，求导，分
，
与
三种情况，求出函数的单调性.
【详解】（1）
，
由题意
，
，
解得
，
当
时，
，定义域为
，
，令
，解得
，
令
，解得
，故
为
的极值点，
满足题意，故
（2）
定义域为
，
，
，
①
时，
，
令
，解得
或
，令
，解得
，
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函数
在
，
内单调递增，在
内单调递减；
②当
时，
，故函数
在
上单调递增；
③当
时，
，令
，解得
或
，令
，解得
，
故
在
，
内单调递增，在
内单调递减．
综上：当
时，
在
，
内单调递增，在
内单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
内单调递增，在
内单调递减．
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