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重难点培优05 导数中原函数与导函数的混合构造
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 含一次函数结合f ( x)构造（★★★★）....................................................................................3
题型二 含二次函数结合f ( x)构造（★★★★）....................................................................................6
题型三 含幂函数结合f ( x)构造（★★★★★）....................................................................................8
题型四 含指数（型）函数结合f ( x)构造（★★★★★）..................................................................12
题型五 含对数（型）函数结合f ( x)构造（★★★★）......................................................................15
题型六 含三角函数结合f ( x)构造（★★★★★）..............................................................................18
题型七 其他类型构造（★★★★）..........................................................................................................21
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................25
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................25
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................37
1、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为
；
（2）判断函数
的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“
”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
①
在
上是偶函数，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不
变号加绝对值）；
②
在
上是偶函数，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（变
号加绝对值）；
2、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于
，构造
模型2.对于不等式
，构造函数
.
模型3.对于不等式
，构造函数
拓展：对于不等式
，构造函数
模型4.对于不等式
，构造函数
模型5.对于不等式
，构造函数
拓展：对于不等式
，构造函数
模型6.对于不等式
，构造函数
拓展：对于不等式
，构造函数
模型7.对于
，分类讨论：（1）若
，则构造
（2）若
，则构造
模型8.对于
，构造
.
模型9.对于
，构造
.
模型10.（1）对于
，即
，
构造
．
（2）对于
，构造
．
模型11.（1）
（2）
题型一 含一次函数结合f ( x)构造
1．已知
是函数
的导数，且
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，对函数
求导，利用
的单调性可得答案.
【详解】设
，因为
，所以
，
对函数
求导，得
，因为
，所以
，
所以函数
是实数集上的增函数，
因此由
.
故选：D.
2．已知
是函数
的导数，且
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】不等式
可化为
，故考虑构造函数
，
结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论.
【详解】不等式
可化为
，
设
，则原不等式可化为
，
对函数
求导，得
，
因为
，所以
，
所以函数
是实数集上的增函数，
所以
．
故不等式
的解集为
.
故选：B.
3．（24-25 高三下·广东深圳·月考）已知
是定义在
上的奇函数，
，当
时，有
成立，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，利用已知条件求导分析单调性，再结合函数的奇偶性来求解不等式.
【详解】构造函数
，则
，
因为当
时，有
，
故当
时，
，
单调递增；
又因为
是定义在
上的奇函数，
，
故
是偶函数，
则当
时，
是单调递减函数.
又因为
，则
，
不等式
等价于
，
所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
所以不等式
的解集是
.
故选：A.
4．（24-25 高三下·河北邯郸·月考）已知函数
是定义域为
的奇函数
的导函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，求导可得
在
上单调递增.根据
是定义域为
的奇函数得到
为
上的偶函数，结合
的性质可求
的解集．
【详解】根据题意，构造函数
，求导得
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
因为
为奇函数，所以
是偶函数，故
在
上单调递减.
因为
，所以
，故
.
当
时，不等式
可化为
，
因为
在
上单调递增，所以
.
当
时，因为
在
上为奇函数，所以
，满足
.
当
时，不等式
可化为
，
因为
在
上单调递减，所以
.
综上，
的解集为
.
故选：C.
5．（2024·广东佛山·一模）设
是函数
的导数，
，
，当
时，
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，求导，得到
在
上单调递增，且
，由
得
到
，得到
的对称性，故
在
上单调递减，且
，得到当
时，
，则
，当
时，
，则
，求出
成立的
的取值范
围.
【详解】令
，则
，
因为
时，
，故当
时，
，
故
在
上单调递增，且
．
因为
，故
，
即
，所以
，
故
关于直线
对称，故
在
上单调递减，且
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
所以使得
成立的
的取值范围是
.
故选：C．
题型二 含二次函数结合f ( x)构造
1．设函数
在R 上存在导数
，对任意的
，有
，若
，则k 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造
，利用导数及已知求其单调性，且不等式化为
，再应用单
调性求解不等式即可.
【详解】由题意，构造函数
，则
，
所以
在R 上单调递增，
由
，得
，即
．
根据函数
在R 上单调递增，可得
，解得
．
所以k 的取值范围是
．
故选：B
2．（23-24 高三下·重庆·月考）已知
是函数
的导数，且
，
，
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，利用导数说明函数的单调性，再由
，不等式
即
，结合单调性解得即可.
【详解】令
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，所以
，
不等式
，即
，即
，所以
，
即不等式
的解集为
.
故选：B
3．（2024·山东聊城·三模）设函数
的定义域为
，导数为
，若当
时，
，且
对于任意的实数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，根据题意，可证
为
上的偶函数，且
在
上单调递增，在
上单调递减，又由
转化为
，
即
，即可得解.
【详解】因为
，
设
，
则
，
即
为
上的偶函数，
又当
时，
，
则
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
所以
，
即
，所以
，即
，
解得
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据题意，设
，研究函数
的奇偶性和单调性，从而求解不式.
4．已知函数
及其导数
的定义域均为
，对任意实数
，
，且当
时，
.不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，从而结合导数与所给条件得到函数
的单调性与对称性，在
将所给不等式中
化为
即可得解.
【详解】令
，则
，
由题意可得，当
时，
，即
在
上单调递增，
由
，则
，
即
，故
为偶函数，故
在
上单调递减，
则不等式
可化为：
，
即
，则有
，即
，
即
，即
，
解得
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数
，从而结合导数与所给条件得到函
数
的单调性与对称性.
题型三 含幂函数结合f ( x)构造
1．设函数
是
上可导的偶函数，且
，当
，满足
，则
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先构造函数
，再利用函数单调性解不等式.
【详解】令
，
∵函数
在
上是可导的偶函数，
∴
在
上也是偶函数
又当
时，
，∴
，
∴
，
∴
在
上是增函数
∵
，
由
得
即不等式转化为
，
∴x 不为0 时有
，
而x 为0 时，不等式显然成立，
∴不等式的解集为
.
故选：C.
2．已知函数
的定义域为
，
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题干条件联想到构造
，将待求不等式转化成
，再由单调性解不
等式即可.
【详解】设
，则
，
结合题干可知
，即
在
上单调递减，
由
，根据定义域限制，
，
则
，同除
可得
，
即
，
结合
在
上单调递减和定义域可得：
，
即
，
则不等式
的解集为
.
故选：D
3．定义在
上的奇函数
的导函数为
，当
时，恒有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式.
【详解】根据题意可构造函数
，则
，
由题可知
，所以
在区间
上为增函数，
又由于
为偶函数，
为奇函数，所以
为奇函数，
又
，即
，
所以
，解得
.
故选：D.
4．（23-24 高三上·江西·月考）若
为R 上的奇函数，
为其导函数，当
时，
恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，求导得到单调性，进而得到
为偶函数，从而得到不等式，求出答
案.
【详解】令
，则
，
由题意知当
时，
，故
在
上单调递增．
因为
为奇函数，所以
，
即
为偶函数，所以原不等式变为
，所以
，
所以
，解得
或
，
故原不等式的解集为
.
故选：D．
5．（23-24 高三上·江苏苏州·月考）已知奇函数
的导函数为
，且满足
．当
时，
，则使得
成立的x 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造
，求导得到其单调性，得到定义域，判断出是偶函数，结合
，得到
，分
和
两种情况，求出不等式解集.
【详解】令
，则
，
故当
时，
恒成立，
故
在
上单调递减，
又
为奇函数，
，故
且
定义域为
，
，
故
为偶函数，则
在
单调递增，
且
，
当
时，要想使得
，则要
，故
，
当
时，要想使得
，则要
，故
，
故使得
成立的x 的取值范围为
.
故选：A
6．（23-24 高三上·湖南衡阳·月考）设函数
是函数
的导函数，若
，且当
时，
，则不等式
的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先构造函数令
，由题意判断出
的奇偶性和单调性，将不等式转化成
，即
，由函数单调性和奇偶性可得到
，解得即可．
【详解】令
，
可知
的定义域为
，且
，
因为
，则
，
可得
，故
为偶函数，
当
时，
，即
，
可知
在
上为增函数，
对于不等式
，
可得
，即
，
由函数单调性和奇偶性可知：
，解得
，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于构建
，分析其奇偶性和单调性，根据函数性质解不
等式.
题型四 含指数（型）函数结合f ( x)构造
1．（24-25 高三下·黑龙江鸡西·月考）已知定义在
上的函数
的导数为
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题干条件可构造函数
，对
求导得
在
上单调递减，由已知条件可得
，结合
的单调性可解函数不等式.
【详解】由
，联想到积的导数公式，故构造函数
，
则
，故
在
上单调递减，
又
，所以不等式
即
的解集为
.
故选：B.
2．（24-25 高三下·内蒙古赤峰·月考）已知函数
在
上可导，导函数为
，满足
，
且
为偶函数，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，通过求导，结合条件判断函数单调性，利用
为偶函数及
，
推出
，即得
，将所求不等式等价转化为
，利用单调性即得.
【详解】设
，则
，故函数
在
上为增函数，
因
，且
为偶函数，故
，故
，则
，
于是
等价于
，即
，由函数
的单调性可得
，
即不等式
的解集为
.
故选：B.
3．（23-24 高三上·江西抚州·期中）已知定义在
上的函数
导函数为
，若
且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
构造函数
，则原不等式可转化为
，由奇偶性和导数可得
在
上单调
递增，由此列不等式组求解即可.
【详解】令
则由
得
，
所以
为奇函数，
又
，所以当
时，
单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
，
所以
，解得
，
故选：A
4．已知函数
的定义域为R，
，若对任意
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数
，利用导数确定单调性并求解不等式.
【详解】令函数
，由
，得
，
又
，求导得
，
函数
在R 上单调递增，不等式
，
解得
，所以不等式
的解集为
.
故选：A
5．（24-25 高三下·重庆南岸·月考）函数
的定义域为
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造一个新的函数，然后根据函数的单调性来确定不等式的解集.
【详解】设
.
对
求导，则
.
已知
，即
，而
恒成立，所以
恒成立.
这说明函数
在
上单调递增.
已知
，则
.
不等式
可变形为
，即
，也就是
.
因为
在
上单调递增，所以
.
不等式
的解集为
，.
故选：B
6．已知可导函数
的导函数为
，若对任意的
，都有
，且函数
为奇函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合四则运算的求导法则，构造单调函数
，再利用所给的奇函数得到
，最后由不等式得到
的两个函数值的大小，最后结合单调性解函数不等式即可.
【详解】因为
对任意
都有
，即
，
令
，则
，
即
在
上单调递增，
又因为
为奇函数，
所以
，则
，
而不等式
等价于
，
即
，又因为
在
上单调递增，所以
.
故选：
7．已知函数
的定义域为
，且
恒成立，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据不等式
和
的结构特征构造函数
，研究
其单调性即可求解.
【详解】令
，
因为
即
，
则
，
所以
在
上单调递增，
故若
，即
，即
，
由定义域及单调性可得
，
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A.
题型五 含对数（型）函数结合f ( x)构造
1．（23-24 高三上·江苏扬州·开学考试）若可导函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，
，又导函数得到
在
上单调递减，结
合
是定义在R 上的奇函数得到
与0 的大小，从而解不等式.
【详解】令
，
，
则
，
当
时，
，
故
在
上单调递减，
则当
时，
，
；
当
时，
，
；
又函数
可导，则该函数必连续，所以当
时，
；
因为可导函数
是定义在R 上的奇函数，故
，
当
时，
所以
，解得
，
又
，故不等式
的解集为
.
故选：B
2．定义在
上的函数
满足
，且
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设函数
，分析函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式.
【详解】设
，
，
则
，
.
因为
，所以
，即
在
上恒成立.
所以函数
在
上单调递增.
且
，所以不等式
的解为：
.
又
，
所以
.
故选：B
3．（2025·浙江·二模）已知函数
的定义域为
，
为
的导函数，满足
，且
.已知
均为正数，若
，则
的最小值（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】根据函数的导函数得出原函数，再根据函数的导函数得出函数的单调性，进而得出不等关系结合
单调性计算即可.
【详解】因为
，所以
，即
，所以
.
又因为
，即
.所以
.
所以
在
上恒成立，所以
在
上单调递增.
又因为
，所以
，
即
，
令
，则
，由对勾函数知
单调递增，
所以
，所以
，当且仅当
时等号成立.
故选：B.
4．（23-24 高三下·辽宁·月考）已知函数
的定义域为
为其导函数，若对
，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，利用导数说明函数的单调性，即可得到
的取值情况，从而得到
的
取值情况，即可得解.
【详解】令
，
则
，
所以
在
上单调递减．
因为当
时，
，
所以当
时，
；当
时，
．
由于当
时，
且
，所以
；
当
时，
且
，所以
；
当
时，因为
，令
，得
，所以在
上
恒成立．
故选：C．
题型六 含三角函数结合f ( x)构造
1．（23-24 高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数
的定义域为
，其导函数是
.若对任意
的
有
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数
，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即
得.
【详解】令函数
，
，求导得
，
因此函数
在
上单调递减，不等式
，
即
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：B
2．已知定义在R 上的函数
，满足
，且任意
时，有
成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意，得出
为定义在R 上的偶函数，且在
上单调递增，再把不等式
转化为
，利用单调性求解.
【详解】设
，则
．
由
，得
，所以
为偶函数．
因为当
时，有任意
时，有
成立，
所以
在
上单调递增，
又
为偶函数，所以
在
上单调递减，
因为
，即
，
所以
，解得
．
故选：D．
3．定义域为
的函数
满足
，其导函数为
，当
时，有
成立，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造
，结合导数探讨函数
的性质，将所解不等式转化为
，由单调性
即可得解．
【详解】由
且
，得
是奇函数，
令
，当
时，
，则
在
是减函数，
显然函数
是奇函数，则
在
是递减，从而
在
上是减函数，
不等式
化为
，即
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：B
4．（23-24 高三上·广东·月考）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为偶函数，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构建
，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.
【详解】令
，则
，
因为
，则
，且
，
可知
，且仅当
时
，则
在
上单调递增，
又因为
为偶函数，
，
可得
令
，可得
，
注意到
，
不等式
，等价于
，
可得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D.
【点睛】关键点睛：构建函数
，利用单调性解不等式
，利用诱导公
式可得
，等价于
，即可得结果.
5．已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为偶函数，若
时，
，且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】求出函数
在
的单调性，且是偶函数，将问题转化为
即可依
据函数的单调性和奇偶性求解.
【详解】因为
时，
，
所以
，即
，
因此
，从而
在
上单调递增，
又
是
上的偶函数，且
是偶函数，
所以
，
即
是
上的偶函数，故
在
上单调递减，
由于
，因此
，又
即
，即
，
所以
，故由
的单调性和偶函数特点可知
，
因此
的取值范围为
.
故答案为：
.
题型七 其他类型构造
1．（23-24 高三下·江苏南通·月考）已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，由题意可得当
时，
，即可得
的单调性，结合
，可得
，又
，结合
单调性即可得解.
【详解】令
，则
，
由当
时，
，则当
时，
，
即
在
上单调递减，
由
，则
，
由
，即
，故
.
故选：D.
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为
的偶函数
的导函数为
，若
也为偶函数，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先令
，判断
的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求
解不等式．
【详解】因为
为偶函数，
所以
，所以
，
令
，
因为
为偶函数，
则
，即
，
即
，
所以
，
当
时，
，即
在
上单调递减，则
在
上单调递增，
由
，即
，
所以
，即
，解得
或
，
即实数
的取值范围是
．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令
，从而推导出
，即可得到函数的
单调性.
3．已知函数
的定义域为
，导函数为
，不等式
恒成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用构造
的导数，来判断其单调性，又把已知要求解的不等式转化为
，从而可利用单调性解不等式.
【详解】由已知得：因为
，所以
，
两边同乘以
又可得：
，
因为
，所以有
，
再构造
，则
，
所以
在
上单调递增，
因为
的定义域可知，
，所以
，
又因为
，所以
，
即上面不等式可转化为
，根据
在
上单调递增，
可得
，解得
，
故选：
．
4．（23-24 高三上·陕西安康·月考）定义在R 上的连续函数
满足
为偶函数，当
时，
，其中
是
的导数.若关于x 的不等式
恒
成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，根据已知判断其单调性，利用函数
的单调性，把条件转化为
对任意
恒成立，利用导数通过求
的最大值可得结果.
【详解】记
，则
,
由题意，知当
时，
，即
，
则
在
上单调递增，所以
,
因为
是偶函数，所以
是奇函数，所以
在R 上单调递增,
又
，即
，
所以
，即
对任意
恒成立.令
，
则
，由
，得
；当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，所以
在
处取得极大值，也是最大值，
所以
，所以
，即实数a 的取值范围为
，
故选：D.
5．（23-24 高三上·重庆渝中·月考）已知函数
的定义域为
，导函数为
，不等式
恒成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知有
，构造
则
，构造
则
，即
在
上是单调递增，把目标不等式化为
，即
可求解集.
【详解】由
，得
，
令
，则
，
，
所以
，则
，
令
，则
，
所以
在
上是单调递增．
不等式
等价于
，即
，
而
，所求不等式即
．
由于
在
上是单调递增函数，所以
，故不等式的解集为
.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：根据已知结合复合函数的求导法则，构造
得
，
进而构造
判断单调性为关键.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（23-24 高三上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为
，
，对任意
，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
构造函数
，利用导数研究函数的单调性即可求解.
【详解】设
，则
，
对任意
，
，
对任意
，
，
在
上单调递减，
，
，
由
，得
，
的解集为
.
故选：D.
2．（2025·湖南·三模）已知
是定义在
上连续可导函数，其导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，根据条件得
在区间
上单调递减，从而可得
，
即可求解.
【详解】令
，则
，
因为
，则
，所以
，
则
在区间
上单调递减，
又
，由
，得到
，所以
，
解得
，
故选：D.
3．若定义在R 上的函数
的导函数为
，且满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意构造新函数
，求导得到单调性，再解不等式即可.
【详解】由题可设
，因为
，
则
，
所以函数
在R 上单调递增，
又
，不等式
可转化为
，
所以
，解得
，所以不等式
的解集为
．
故选：A.
4．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R 上的奇函数
的图象是一条连续不断的曲线，
是
的
导函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知
在
时是单调递增函数，再结合已知条件又可知
是偶函数，利用单调性和
奇偶性解不等式即可.
【详解】令
，则
，
因为当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
为奇函数，且图象连续不断，所以
为偶函数，
由
，得
，解得
或
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数
之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
5．（24-25 高三下·河北邢台·月考）已知函数
在
上可导，且
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造新函数
，利用导数判断
的单调性，再将不等式
变形，
借助
的单调性即可求解.
【详解】令
，则
，所以
在
上单调递增．
又不等式
，等价于
，
即
，
所以
，所以
，解得
．
故选：B.
6．（2024·云南楚雄·一模）已知
是
上的奇函数，且对任意的
均有
成立．若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，利用导数得到
的单调性，再将问题转化为
，从而得解
【详解】由
得
．
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
又
，
为奇函数，
所以
，
，
则
．
故选：B.
7．（23-24 高三上·河北·月考）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
恒成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，由导数求得函数单调性，利用单调性解不等式.
【详解】由
，有
，
令
，则
，所以
在区间
上单调递增．
又
，得
，所以
，
所以
，解得
．
故选：A
【点睛】关键点点睛：
本题关键点在于利用导数运算法则构造函数，令
，由导数证明单调递增，不等式
变形为
，利用单调性解即可.
8．已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为偶函数
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数的正负与函数单调性的关系及偶函数的定义，结合函数的单
调性及一元一次不等式的解法即可求解.
【详解】令
，
则
，且
不恒为
，
所以
在
上单调递增.
又因为
偶函数，所以
，
所以
.
又
，
所以不等式
等价于
，
根据函数的单调性可知
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：B.
9．已知定义在
上的函数
的导数为
，
，且对任意的
满足
，则不等
式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造
，求导得到其单调性，并结合
，得到
时，
，
从而求出解集.
【详解】设
，
因为
，
所以
，
故
在
上单调递减，
又
，故
，
故当
时，
，当
时，
，
，
故
的解集为
.
故选：A
10．设奇函数
的定义域为
，且
的图象是连续不间断，任意
，有
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，可知
为奇函数，利用导数可判断出函数
在区间
上为
减函数，进而得出
在定义域内的单调性，将所求不等式变形为
，利用函数
的单调性可解出所求不等式.
【详解】令
，定义域为
，
因为函数
为奇函数，所以
，
则函数
是定义在
上的奇函数，
，
因为任意的
，有
，
所以当
时，
，则
在
上单调递增，
则函数
是
上的奇函数并且单调递增，
由
，
因为
，所以
，即
，
所以
，
又因为
，因此
.
故选：C.
11．（23-24 高三上·四川成都·月考）已知定义在
上的奇函数
，其导函数为
，当
时，满
足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，易得函数
是
上的奇函数，根据已知可得函数
在
上的
单调性，进而的得出函数在
的单调性，从而可得出答案.
【详解】令
，
因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
则
，
所以函数
是
上的奇函数，
当
时，
，即
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
又因为函数
是
上的奇函数，
所以函数
在
上是增函数，
则不等式
，
等价于
，
所以
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：C.
12．（23-24 高三下·上海·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，其导函数为
，且当
时，
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数
，由已知得出
为偶函数，且在
上是增函数，在
上为减
函数，将
转化为
求解即可．
【详解】令
，则
，
当
时，
，
所以当
时，
，
即
在
上是增函数，由题意
是定义在
上的偶函数，
所以
，又
，
所以
是偶函数，所以
在
上递减，
所以
，
即不等式等价为
，
所以
，所以
．
故答案为：
．
13．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知定义在R 上的函数
满足
，且
的
导函数
满足
，则不等式
的解集为
【答案】
【分析】令
，结合导数可得函数
在R 上单调递增，进而由
将原不等式
等价于
，进而结合单调性求解即可.
【详解】令
，则
，
所以函数
在R 上单调递增，
因为
，
故原不等式等价于
，所以
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
14．（2025·山西·模拟预测）已知函数
在R 上可导，其导函数为
，且
，则不等
式
的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数
利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】设
则
，
故
在R 上单调递减，
且
，即
，
即
，
故
.
故不等式
的解集为
.
故答案为：
15．（2024·云南·模拟预测）已知
是定义域为
的函数
的导函数，且
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】由已知，设
，可得函数
单调递减，则由
，可得
，即
为不等式
的解集.
【详解】设
，
，
所以函数
在
上单调递减，
，
即
，得
，
所以
，所以不等式的解集为
．
故答案为：
．
16．（24-25 高三下·广东梅州·月考）设函数
在R 上存在导数
，对任意的
，有
，且在
上
．若
，则实数t 的取值范围为
．
【答案】
【分析】构造函数
，由已知等式确定奇偶性，利用导数求出单调区间，再求出给定不等
式.
【详解】令
，由
，
得
，函数
是偶函数，
当
时，
，则
，函数
在
上单调递增，
由
，得
，
整理得
，即
，因此
，即
，解得
，
所以实数t 的取值范围为
.
故答案为：
17．（24-25 高三上·广东潮州·月考）定义在
上的函数
的导函数为
，当
时，
且
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】构造
，求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可．
【详解】解：令
则
，
，
当
时，
，
所以当
时，
，
，故
在
上为减函数，
令
，
则
，
所以
，
故不等式
的解集为
故答案为：
18．（24-25 高三上·上海·期中）定义在
上的奇函数
，满足
，则不
等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】首先利用奇函数性质将不等式进行转化，再构造函数，通过求导判断函数单调性，最后根据单调
性求解不等式.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，则
.
两边求导，得到
.已知
，可得
.
令
，
.
由于
，又
，所以
，这表明
在
上单调递增.
不等式
可化为
.
不等式
即
，即
.
因为
单调递增，所以
，解得
.
故不等式
的解集为
.
故答案为：
.
19．（24-25 高三上·山东日照·月考）已知函数
及其导函数
在定义域均为
且
是偶函数，其函数图象为不间断曲线且
则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】分析函数
的奇偶性和单调性，利用函数的性质把函数不等式转化为代数不等式求解.
【详解】因为
，
所以
.
又因为
，用
代替
得：
.
所以，当
时，
，所以
.
所以
在
上单调递增.
又
为偶函数，其图象关于
轴对称，在
上单调递减.
设
，则
，则
，又
，
所以
，根据函数为偶函数，且图象不间断，在
上单调递减，在
上单调递增，所以
.
即
.
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：关于函数不等式的解法，一般要构造函数，利用函数的单调性等性质，把函数不等式
转化为代数不等式求解.
20．（23-24 高三下·北京·月考）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，有
，若
，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】依据题意判断函数
关于直线
对称，结合
，构造函
数
，易得其关于
对称，最后分类讨论即可.
【详解】因为定义在
上的函数
满足
所以函数
关于直线
对称，即
因为当
时,有
即
故令
则
，在
上单调递增,
因为
，
所以
关于点
对称，
所以
在
上单调递增，因为
，
所以
所以当
时,
,
所以
，当
时,
，
所以
且
,即无解.所以不等式
的解集是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题考查求导数，解题关键是合理构造合适的原函数，得到
，然后构造
，再进行分类讨论，得到所要求的解集即
可．
21．（2024·河南·三模）已知函数
的定义域为
，
为其导函数，若
，
，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】构造函数
，求导确定函数的单调性，由于在
上时，
与
同
解，即可根据
求解.
【详解】令
，则
，
所以
在
上单调递增．
由于当
，当
，
而
，
故在
上，不等式
与
同解，
即
，又
，得
，即
，
所以原不等式的解集为
．
故答案为：
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数
的定义域为
，且
，
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题设不等式整理后构造函数
满足
，得出
在
上单调
递增，整理待求不等式，利用函数
的单调性即可求得.
【详解】由
可得
，即
，
设
，
，则由
可得，
在
上单调递增.
又
，
由
可得，
，即
，解得
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题.
解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函
数值等条件，利用单调性求解抽象不等式.
2．（22-23 高二下·四川成都·月考）函数
是定义在区间
上的可导函数，其导函数为
，且
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意构造函数
，求导后可判断
在区间
上为增函数，然后化简
不等式可得
，即
，再利用函数的单调性可求得结果.
【详解】根据题意，
，则导函数
，
函数
在区间
上，满足
，则有
，
所以
，即函数
在区间
上为增函数，
，
所以
，
则有
，
解得
，
即此不等式的解集为
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键是根据已知条
件构造函数
，求导后根据已知条件可判断其单调性，从而可求解不等式，考查数学转
化思想，属于较难题.
3．（2024·四川德阳·三模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可构造函数
，求得
的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得结
果.
【详解】构造函数
，则
；
因为
，
所以当
时，
，即
，此时
在
上单调递增；
当
时，
，即
，此时
在
上单调递减；
又
，所以
，即
；
所以函数
图象上的点
关于
的对称点
也在函数图象上，
即函数
图象关于直线
对称，
不等式
变形为
，即
；
可得
，
又
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，解得
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据
的结构特征构造函数
，判断
出其单调性，再由
得出其对称性解不等式即可.
4．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，有
，
则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题目特征构造函数
，先根据
的对称性得到
的图象关于
对称
且
，根据
的单调性解不等式得到解集，再根据
【详解】根据题意，设
，则
，则有
，
，
即有
，故函数
的图象关于
对称，则有
，
当
时，
，
，又由当
时，
，即当
时，
，即函数
在区间
为增函数，由
可得
，即
，
，
函数
的图象关于
对称，
函数
在区间
为增函数，且
在
上恒成立，由
可得
，即
，此时
不存在.
综上：不等式解集为
.
故选：A
【点睛】构造函数，利用函数单调性和奇偶性进行解不等式，是经常考察的一类题目，需要对已知条件进
行分析，还要熟悉掌握一般的构造技巧，比如当出现导函数与函数相减的情况，一般是构造函数除法形式，
而出现了导函数与函数相加的情况，此时要构造的通常是函数乘法形式
5．（23-24 高三下·河南南阳·月考）已知函数
在R 上连续，且存在导函数
，对任意实数x，满足
，当
时，
．若
，则x 的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】令
，分析可知
为奇函数，且在R 上单调递增，根据题意利用单调性
解不等式即可.
【详解】令
，可知
的定义域为
，且在R 上连续，
因为
，则
，
即
，可知
为奇函数，
又因为当
时，
，则
在
内单调递增，
结合
为奇函数可知
在
内单调递增，
且
在R 上连续，则
在R 上单调递增，
若
，则
，
整理得
，
即
，可得
，解得
，
所以x 的取值范围是
.
故答案为：
.
6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
，且对于
、
，当
时都有
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数
，利用导数分析函数
的单调性，将所求不等式变形为
，
即为
，结合函数
的单调性可求得
的取值范围，然后验证
恒成立，即可得解.
【详解】构造函数
，其中
，
则
，
故函数
在
上为减函数，
由
可得
，即
，
因为
，则
，所以，
，解得
.
对于
、
，当
时都有
，
不妨设
，则
，所以，函数
在
上为增函数，
则对任意的
，
，则
，可得
恒成立，
因此，所求不等式的解集为
.
故答案为：
.
7．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知定义在
上的偶函数
，当
时，
.且
时，
恒成立，且
，则
时，不等式
的解集为
.
【答案】
【分析】首先通过对给定不等式进行变形构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，再结合函数的奇偶
性，将所求不等式进行转化，最后求解不等式得到解集.
【详解】已知当
时，
，
将其变形为
，
进一步整理得
.
令
，对
求导，
.
当
时，
，
，
可得
，所以
在
上单调递减.
因为
是定义在
上的偶函数，即
.
那么
，所以
是奇函数.
所以
在
上也是单调递减.
已知
，则
.
当
时，
，则
，
∴不等式
可化为
，即
.
因为
在
上单调递减，则
.
当
时，
；
，得
，则
，
∴不等式
可化为
，即
，则
.
综上，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：本题关键是对已知式子变形，构造新函数，再转化为用函数单调性和奇偶性解题.
