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两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式 课前必备知识 课标要求 1.经历推导两角差的余弦公式，知道两角差的余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推 导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的 内在联系.3.能运用三角函数公式进行简单的恒等变换． 知识梳理 1．两角和与差的余弦C(α±β) cos (α＋β)＝__cos_α cos _β － sin _α sin _β__． cos (α－β)＝__cos_α cos _β ＋ sin _α sin _β__． 2．两角和与差的正弦S(α±β) sin (α＋β)＝__sin_α cos _β ＋ cos _α sin _β__． sin (α－β)＝__sin_α cos _β － cos _α sin _β__． 3．两角和与差的正切T(α±β) tan (α＋β)＝____ ． tan (α－β)＝____ ． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝__2sin_α cos _α__； cos 2α＝__cos 2 α － sin 2 α __ ＝1－__2sin 2 α __ ＝__2cos 2 α __－1； tan2α＝____ ． 常用结论 1．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝. 2．T(α±β)的常用变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β). tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β). 课前训练 1．(教材母题必修5.5.1 练习T3 改编)已知sin (α－)＝2sin α，则tan 2α＝( ) A．－ B．－ C． D． 2．(2025·广东肇庆阶段练习)cos50°cos 70°＋sin 50°cos 160°＝( ) A．－ B． C．－ D． 3．(教材母题必修5.5.1 练习T2 改编)若sin (＋θ)＝－，则sin 2θ＝( ) A． B． C．－ D．－ 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( ) A．－3m B．－ C． D．3m 5．(教材母题必修复习参考题5T12)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________. 课堂核心考点 考点1 两角和与差公式及应用 【例1】 (1)＝( ) A． B． C．－ D．－ (2)已知α，β 均为锐角，cos (α＋β)＝－，sin (β＋)＝，则cos (α－)＝( ) A． B．－ C． D．或 (3)(2024·河南三模)若sin (α－β)＝，且tan α＝2tan β，则sin (α＋β)＝( ) A． B． C． D． 在三角函数的求值、化简时，注意观察函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择 适当的三角公式恒等变换．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是在角 的范围内根据函数值，确定角的值，避免增解．在进行简单的三角恒等变换时，既要注意 公式“正用”，又要注意公式“逆用”． 变式探究 1．(教材母题必修复习参考题5T15)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α－ β)＝________. 2．(2024·江西九江三模)若2sin (α＋)＝cos (α－)，则tan (α－)＝( ) A．－4－ B．－4＋ C．4－ D．4＋ 3．若0<α<，0<β<，sin (－)＝，cos (－)＝，则cos ＝( ) A． B． C． D． 考点2 二倍角公式及应用 【例2】 (1)已知α ( ∈－，)，cos (α＋)＝，则sin (2α＋)＝( ) A． B． C． D．－ (2)(2024·辽宁一模)若tan 2α＝，则＝( ) A．－或2 B．－2 或 C．2 D．－ (3)已知α，β 均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________． 三角函数式的恒等变换要注意以下三点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的 拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化 弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要 升幂”． 变式探究 4．已知α ( ∈，)，且sin (α＋)＝，则cos (2α－)＝( ) A．－ B．－ C． D． 5．已知tan α＝－3，则sin 2α－2cos 2α＝( ) A．－ B．－1 C．1 D．2 6．已知α，β 为锐角，tan(α＋)＝，tan (－β)＝，则tan (α＋2β)＝( ) A．－ B．－ C． D． 考点3 三角公式的综合运用 【例3】 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝( ) A． B． C．－ D．－ (2)(2024·辽宁丹东二模)已知sin α＋sin (α＋)＝，则cos (2α＋)＝( ) A． B．－ C． D．－ (3)已知3cos 2α－4sin2β＝1，3sin2α－2sin 2β＝0，且α 为锐角，则sin α＝( ) A． B． C． D． (1)三角函数式的变形要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)， 寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 变式探究 7．(2025·四川绵阳阶段练习)已知x [0 ∈ ，]，sin x＋cos x＝，则tan (x－)＝________． 8．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α 为第一象限角，β 为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
