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专题04 函数的解析式
考点一 待定系数法
一、单选题
1．已知幂函数f(x)＝xα(α 为常数)的图象经过点
，则f(9)＝（ ）
A．
B．
C．3
D．
【解析】由题意f(2)＝2α＝
，所以α＝
，所以f(x)＝
，
所以f(9)＝
＝3.故选：C
2．若二次函数
满足
，且
，则
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】设
，
，∵
，则
，
又∵
，
令
，则
，∴
，即
，
，
令
，则
，
，即
，
，
∴
，
，
.故选：D.
3．二次函数
满足
，且
的最大值是8，此二次函数的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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【解析】根据题意,由
得:
的对称轴为
，
设二次函数为
，因
的最大值是8,所以
,当
时,
，
即二次函数
，由
得:
,解得：
，
则二次函数
，故选：A.
二、多选题
4．设
都是定义域为
的单调函数，且对于任意
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为
是
上的单调函数，且对于任意
，
所以
，其中为常数，即
，
；
又因为
，所以
，
可得
，即
，解得
，所以
；
由
可得
，即
；
所以
，
，即
，所以A 错误，B 正确；
由
可知，
恒成立；即C 正确；
由函数
的值域为
可知，
不一定成立，故D 错误.
2
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故选：BC
三、填空题
5．已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x） 的解析式为_________
【解析】设
，则
于是有
解得
或
所以
或
.
6．
恒过定点P，P 在幂函数
图象上，
______．
【解析】设点
，由1 的对数恒为0，所以
，
设函数
，则
，所以
四、双空题
7．已知函数
对任意
满足：
，二次函数
满足：
且
．则
___________，
___________.
【解析】（1）
①，用
代替上式中的
，得
②，
联立①②，可得
；设
，
所以
，即
，
所以
，解得
，
，又
，得
，所以
.
故答案为：
，
考点二 换元法
一、单选题
1．已知
，则
的解析式为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【解析】令
，则
，
又
，所以
，则
，故选：C.
2 ．若函数
是
上的单调函数，且对任意实数
，都有
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【解析】∵对任意实数
，都有
，令
，则
.
又
，∴
，∵函数
是
上的单调函数，解得
.
∴
，∴
.故选：C.
3．已知
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．1 或
D．1 或
【解析】由题意：
，令
，则
，
那么
转化为
，
故得函数
的表达式为
，令
，
解方程得
或
故选：D.
4．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【解析】令
，则
，且
，则
，可得
，
所以
.故选：B.
5．设
是定义域为R 的单调函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】令
，则
，因为
是定义域为R 的单调函数，
所以t 为常数，即
，所以
，解得
，
所以
，故
.故选：B
6．已知定义在
上的函数
单调递增，且对任意
恒有
，则函数
的
零点为（ ）
A．
B．
C．2 D．4
【解析】设
，则
，方程等价为
，
令
，则
，
满足方程，∵函数
单调递增，
∴值唯一，∴
，由
得
，解得
，
故函数
的零点为
.故选:B.
二、填空题
7．已知
，则
的解析式为______．
【解析】设
，则
，
，∵
，
∴
，
，即
，
．
5
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8．已知
，则
______．
【解析】由题意得，
，令
，由
，得
，
∴
．
考点三 配凑法
一、单选题
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由于
，所以
.故选：B
2．已知函数
满足
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
，所以
，故选：A．
3．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
，
，故选：D
4．已知
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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【解析】因为
，令
，所以
，
所以
，故选：C.
5．若函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为
，所以
.
从而
，当
时，
取得最小值，且最小值为
.故选：D
二、多选题
6．已知
且
，则实数a 的值为（ ）
A．
B．0 C．1
D．2
【解析】因为
，∴
，
∵
，∴
或
.故选：AC
三、填空题
7．若
，则
______.
【解析】
，
，则
.
考点四 构造方程组法
一、单选题
1．已知函数
的定义域为R，对任意
均满足：
则函数
解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
，可得
①，
7
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又
②，①＋②得：
，解得
，故选：A．
2．已知函数
满足
，则
（ ）
A．
B．1 C．
D．
【解析】分别令
，
，则
，解得
.故选：A
3．已知函数
的定义域为
，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为
①，所以
②，
得
，即
，所以
．故选：C.
4．若函数
的定义域为
，且
，则
的最大值为（ ）
A．0
B．1 C．2 D．3
【解析】由
①，得
②，
①得
③，
②-③得
，因为
，所以
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
（当且仅当
时，等号成立）．
综上所述，
的最大值为.故选：B
8
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5．若定义在
上的函数
满足：当
时，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】当
时，
，则
，
令
，则
，
，用
换，得
，
联立解得
，
，所以，
，
，
，
是以
为周期的函数.
.故选：C
二、填空题
6．若对于任意实数x 都有
，则f（x）＝_________
【解析】∵ 对于任意实数x 都有
，
∴
可得
.
7．已知对任意的实数a 均有
成立，则函数
的解析式为________．
【解析】由
，①
得
，
即
，②
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得：
，
所以
，
令
，则
，所以
.
考点五 利用奇偶性
一、单选题
1．已知
为偶函数，当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】当
时，
，则
，
又因为
是偶函数，所以
.故选：B.
2．已知
是定义在R 上的奇函数，当
时
则
在R 上的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】当
时，
，所以
，则
，
结合已知解析式知：
.故选：D
3．已知函数
是奇函数，
是偶函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为
是奇函数，
是偶函数，所以
，
．
所以，
，即
，
因此，
.故选：D.
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二、填空题
4．已知函数
的图象关于原点对称，且当
时，
，则
在
处的切线方程为
______．
【解析】由题可知函数
为奇函数，令
，则
，所以
，
所以，当
时，
，此时
，
因为
，所以
，又
，
所以
在
处的切线方程为
，化简得
．
5．已知奇函数
则
__________．
【解析】当
时，
，
，
则
．
6．若定义在R 上的偶函数
和奇函数
满足
．则
_______．
【解析】由题意
，
，则由
可得
，即
由
，可得
7．已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为______．
【解析】①当
时，
，
，即
，即
，解得
；
②当
时，
，不成立；
③当
时，
，
，即
，
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即
，解得
；
综上所述：
.
三、解答题
8．已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
(1)求
的解析式：
(2)若方程
有3 个不同的解，求k 的取值范围.
【解析】（1）函数
是
上的奇函数，且
时，
，
则当
时，
，
，
所以
的解析式为
.
（2）由（1）知，当
时，
，函数
在
上递增，函数值集合为
，
在
上单调递减，函数值集合为
，
当
时，
，函数
在
上递减，函数值集合为
，
在
上单调递增，函数值集合为
，
在同一坐标系内作出直线
和函数
的图象，如图，
观察图象知，方程
有3 个不同的解，实数k 的取值范围是
.
9．定义在
的奇函数
和偶函数
满足
．
(1)求
和
的解析式；
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(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
【解析】（1）因为
，①，所以
．
因为
是奇函数，
是偶函数，所以
，②
①-②得
，①+②得
.
（2）不等式
化为
，
即
，令
，因为
，所以
，
故不等式
在
上恒成立，所以
，
因为
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
.
13
