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2025 学年第一学期八年级数学第二次掌情评估卷
一、单选题（每题2 分，共12 分）
1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的两个条件进行判断，即可得出结论．
【详解】A、
，不是最简二次根式，错误；
B、
，不是最简二次根式，错误；
C、
=3
，不是最简二次根式，错误；
D、
是最简二次根式，正确；
故选D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 已知
ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，下列条件不能判断
ABC 是直角三角形的是（
）
A. ∠A-∠B＝∠C
B. ∠A∶∠B∶∠C＝3 4 5
∶∶
C. （b＋c）（b-c）＝a2
D. a＝7，b＝24，c＝25
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可得A、B 是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D 是否
是直角三角形．
【详解】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故
ABC 为直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝
×180°＝75°，故
ABC 是锐角三角形，不是直角
三角形；
C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故
ABC 为直角三角形；
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D、∵72+242＝252，∴
ABC 为直角三角形；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利
用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
3. 若
和
，都是二次根式，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的定义进而得出答案．
【详解】解：∵
和
都是二次根式，
∴
，
，
∴
，
，
故选C.
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确得出关于x，y 的不等关系是解题关键．
4. 如图，在长方形
中，
在数轴上．若以点
为圆心，对角线
的长为半径
作弧交数轴的正半轴于点
，则点
表示的数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用．
先利用勾股定理求出
，根据
，求出
，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形
是长方形，
，
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，
∵以点
为圆心，对角线
的长为半径作弧交数轴的正半轴于
表示的数为
，
，
，
∴点
表示的数为
，
故选：D．
5. 如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E、F 分别在AD、DC 上，AE＝DF＝2，BE 与AF 相交于点
G，点H 为BF 的中点，连接GH，则GH 的长为（ ）
A. 2
B.
C. 4
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质并利用SAS 可证明△BAE≌△ADF，于是可得∠ABE＝∠DAF，进而可得
△BGF 是直角三角形，再根据点H 为BF 的中点，可知GH 是BF 的一半，然后根据勾股定理可以求得BF
的长，从而可以得到GH 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，
∵AE＝DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴∠BGF＝90°，
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∵点H 为BF 的中点，
∴GH＝
BF，
又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°，
∴CF＝3，
∴BF＝
＝
＝
，
∴GH＝
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，
明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
6. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 米，顶端距
离地面2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 米，那么小巷的宽度
为（ ）
A. 0.7 米
B. 1.5 米
C. 2.2 米
D. 2.4 米
【答案】C
【解析】
【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.
【详解】在Rt
A′BD
△
中，∵∠A′DB=90°，A′D=2 米，BD2+A′D2=A′B′2，
BD
∴
2+22=6.25，
BD
∴
2=2.25，
BD
∵
＞0，
BD=1.5
∴
米，
CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2
∴
米．
故选：C．
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【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.
二、填空题（每题2 分，共24 分)
7. 关于x 的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0 是一元二次方程，则m 满足的条件是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m 的不等式求解即可.
【详解】解：∵关于x 的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0 是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠2.
故答案为：m≠2.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0 是解答此题的关键.
8. 如果一个正数的两个平方根分别为2m-1 和2-m，则这个数是______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据平方根的定义及性质, 可知2m-1 与2-m 互为相反数, 而一对相反数的和是0, 据此列出关于
m 的方程, 解方程求出m 的值, 进而得出结果.
【详解】解:
一正数的两个平方根分别是2m-1 和2-m,
(2m-1)+(2-m)=0,
解得m=-1.
2-m=2+1=3,
这个正数为3 =9
故答案为:9.
【点睛】本题考查了平方根的定义及性质. 如果一个数的平方等于a, 这个数就叫做a 的平方根,也叫做a 的
二次方根. 一个正数有两个平方根, 这两个平方根互为相反数.
9. 比较大小：
______1（填写“>”或“<”）．
【答案】
【解析】
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【分析】此题考查了实数大小比较，弄清无理数大小估算方法是解本题的关键．估算出
的大小，即可
判断出所求．
【详解】解：
，
故答案为：
．
10. 若关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．
【答案】k＞
且k≠1.
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0 且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求
出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得k﹣1≠0 且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞
且k≠1．
故答案为k＞
且k≠1．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义.
11. 若y=
+3，则x+y=_____．
【答案】8
【解析】
【详解】试题分析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
由题意得，x
5≥0
﹣
，5
x≥0
﹣
， 解得，x=5， 则y=3， x+5=8
考点：二次根式有意义的条件．
12. 在实数范围内因式分解：x2﹣6x+1＝_____．
【答案】
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【解析】
【分析】将该多项式拆项为
，然后用平方差公式进行因式分解．
【详解】
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了因式分解，当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现
无理数为止．
13. 关于x 的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝1﹣x1x2，则k 的值为
_________________．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据韦达定理，得到
，
，代入x1+x2=1﹣x1x2，解出k 的值后代入方程验
证即可．
【详解】∵x1、x2为方程x2﹣2(k﹣1)x+k2=0 的两个实数根，
∴
，
．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴
，
∴
，
解得：k=－3 或k=1．
①当k=1 时，原方程为x2+1=0，
∴△=02﹣4×1×1=﹣4＜0，
∴k=1 不符合题意，舍去；
②当k=﹣3 时，原方程为x2+8x+9=0，
∴△=82﹣4×1×9=28＞0，
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∴k=﹣3 符合题意．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程韦达定理的应用，需要注意应用定理的前提条件是△≥0．
14. 如图，在
中，D 是
边上的一点，
，E，F 分别是
的中点．若
，
则
的长为__ ．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出
辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
连接
，根据三线合一得出
是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进
行求解．
【详解】解：如图，连接
，
∵
，
是
的中点，
∴
，
即
是直角三角形，
∵
是
的中点，
∴
，
故答案为：5．
15. 一个直角三角形的两边长是3 和4，那么第三边的长是_________
【答案】5 或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，分两种情况讨论：已知两边可能均为直角边或其中一边为
斜边，据此进行列式计算，即可作答．
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【详解】解：依题意，当3 和4 均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：斜边
，
当4 为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得：直角边
，
综上：第三边的长是5 或
．
故答案为：5 或
．
16. 已知关于x 的一元二次方程
的一个根比另一个根大2，则m 的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【详解】解
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0 或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
17. 如图，矩形
中，
，将矩形沿
折叠，点D 落在点
处，则重叠部分
的面积为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定，
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先根据矩形的性质和折叠的性质证明
，再设
，则
，根据勾股定理
可求出
，进而得出答案.
【详解】解：∵四边形
是矩形，
∴
.
根据折叠可知
.
∵
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
在
中，
，
解得：
，
∴
，
∴
．
故答案为：10．
18. 在
中，若
，
，
，则
的面积是______．
【答案】75 或25
【解析】
【分析】过点
作
于点
，通过解直角三角形及勾股定理可求出
，
，
的长，进而
可得出
的长，再利用三角形的面积公式即可求出
的面积．
【详解】解：过点
作
，垂足为
，如图所示．
在
中，
，
；
在
中，
，
，
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∴
，
∴
或
，
∴
或25．
故答案为75 或25．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出
，
的长度是解题的关键．
三、解答题（19 题-23 题每题6 分，共30 分；24 题-26 题每题8 分，共24 分;27 题10 分)
19. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】分别将每项计算出来，再化简．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查学生的计算能力，此题属于低档试题，计算要小心．
20. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用公式法解答即可．
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【详解】解：
，
整理得：
，
∵
，
∴
，
解得：
．
21. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再利用因
式分解法解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：
，
去分母得：
，
整理得：
，
解得：
，
当
时，
，
当
时，
，
∴原方程的解为
．
22. 已知
，求
的值
【答案】3
【解析】
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【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先
根
据
，
整
理
得
，
，
，
再
把
化简得
，然后代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
则
，
∵
，
∴
，
．
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23. 已知关于x 的一元二次方程
，其中a，b，c 分别为
三边长，若方程
有两个相等的实数根，试判断
的形状，并说明理由．
【答案】
是直角三角形，理由如下：
∵关于
的一元二次方程
有两个相等的实数根，
∴
，即：
，
，
∴
，
∴
是直角三角形；
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出
，即可得出
，根据勾股定理的逆定理判断即
可．
【详解】略
【点睛】此题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判
别式
的关系：（1）
方程有两个不相等的实数根；（2）
方程有两个相等
的实数根；（3）
方程没有实数根．
24. 如图， 经过
村和
村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在
处进行爆破．已知
处与
村的距离为900 米，
处与
村的距离为1200 米，且
．
（1）求
两村的距离；
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（2）为了安全起见，爆破点
周围半径750 米范围内不得进入，在进行爆破时，公路
段是否有危险
而需要封锁? 请说明理由．
【答案】（1）
米
（2）
解：没有危险不需要封锁，
理由如下：
过点
作
，如图所示：
利用面积相等得到
，即
，解得
，
爆破点
周围半径750 米范围内不得进入，
，
在进行爆破时，公路
段没有危险不需要封锁．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用、等面积法求线段长，根据题意，数形结合，利用勾股定理及等面
积法求出线段长即可得到答案，熟练掌握勾股定理及等面积法是解决问题的关键．
（1）根据题意，数形结合，利用勾股定理求解即可得到答案；
（2）过点
作
，如图所示，利用等面积法求出
，根据题意比较即可得到答案．
【小问1 详解】
解：
处与
村的距离为900 米，
处与
村的距离为1200 米，且
，
，
答：
两村的距离为
米；
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【小问2 详解】
略
25. 如图，∠BAC 的角平分线与 BC 的垂直平分线交于点 D，DE⊥AB
，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．
若 AB=10，AC=8，求 BE 长．
【答案】BE=1
【解析】
【分析】先根据角平分线性质定理得到DF=DE，再利用中垂线性质得到CD=BD．进而证明
Rt△CDF≌Rt△BDE，通过线段之间的数量关系即可求解．
【详解】解：如图，连接 CD，BD，
∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG 是 BC 的垂直平分线，
∴CD=BD，
在 Rt△CDF 和 Rt△BDE 中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=10，AC=8，
∴BE=1．
【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用HL 证明两三角形全等．综合性
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较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题关键．
26. 某市某水果批发市场某批发商原计划以每千克10 元的单价对外批发销售某种水果．为了加快销售，该
批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4 元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某大型超市准备到该批发商处购买2 吨该水果，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供
选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000 元．试问超市采购员选择哪种方案更优
惠？请说明理由．
【答案】（1）平均每次下调的百分率是
；（2）超市采购员选择方案一购买更优惠．
【解析】
【分析】
设出平均每次下调的百分率，根据从10 元下调到
列出一元二次方程求解即可；
根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
【详解】解：
设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得
．
解这个方程，得
，
不符合题意，
符合题目要求的是
．
答：平均每次下调的百分率是
．
超市采购员方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：
元，
方案二所需费用为：
元．
，
超市采购员选择方案一购买更优惠．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出第2 次下调后价格是解题关键．
27. 用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分
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割线，在直角三角形
中，
，
，
．
（1）如图1，若O 为
的中点，求证：直线
是
的等腰分割线．
（2）如图2，已知
的一条等腰分割线
交边
于点P，且
，请求出
的长度．
（3）如图3，在
，点Q 是边
上的一点，如果直线
是
的等腰分割线，求线段
的
长度．
【答案】（1）
证明：∵
，O 为
中点，
在
中，
，
∴
、
均为等腰三角形，
则直线
是
的等腰分割线．
（2）
（3）
的长度为1、
、3、
【解析】
【分析】(1)利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得
，证出两个等腰三角形，从而
说明
是等腰分割线；
(2)设
，表示出
，在
中用勾股定理列方程，求解得
；
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(3)分“
为等腰三角形”“
为等腰三角形”两类，每种情况再分“哪两边相等”的子情况，结合勾
股定理、面积法计算
，舍去不符合线段位置的情况．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
设
，则
，
在
中，由勾股定理：
，
即
，
展开得：
，
化简得：
，解得
，
故
．
【小问3 详解】
分“
为等腰三角形”“
为等腰三角形”两类讨论：
① 若
为等腰三角形
当
时，
，则
；
当
时，Q 为
中点，
；
当
时，Q 不在线段
上，舍去．
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② 若
为等腰三角形
先求
边上的高
：由
，得
．
当
时，过C 作
于M，M 为
中点．
在
中，
，
故
；
当
时，
；
当
时，Q 为
中点，
．
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综上，
的长度为1、
、3、
．
【点睛】知识点：直角三角形斜边中线性质、勾股定理、等腰三角形的判定、三角形面积公式．方法：利
用直角三角形性质证等腰；通过设未知数+勾股定理列方程求线段；分类讨论等腰三角形的不同情况（边
相等的组合），结合面积法、勾股定理计算．关键：分类讨论等腰三角形的所有可能（哪两边相等），结
合图形位置判断是否符合题意．易错点：遗漏等腰三角形的边相等情况；忽略点在线段上的位置限制（如
舍去不在线段上的情况）．
