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专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：隔项等差数列..................................................................2
题型二：隔项等比数列..................................................................5
三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练.........8
一、必备秘籍
1、隔项等差数列
已知数列
，满足
，
则
；
（其中
为常数）；或
则称数列
为隔项等差数列，其中：
①
构成以
为首项的等差数列，公差为
；
②
构成以
为首项的等差数列，公差为
；
2、隔项等比数列
已知数列
，满足
，
则
；
（其中
为常数）；或
则称数列
为隔项等比数
列，其中：
①
构成以
为首项的等比数列，公比为
；
1
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②
构成以
为首项的等比数列，公比为
；
二、典型题型
题型一：隔项等差数列
1．（23-24 高三上·湖南益阳·期末）已知
是等差数列，满足：对
，
，则数列
的通项公式
＝（ ）
A．n
B．n
1
﹣
C．n﹣
D．n+
【答案】C
【分析】由
得
，两式相减得
，可得d 的值，可得
答案.
【详解】解：由
得
，
两式相减得
，
故
.
故选
.
【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，由已知得出
是解题
的关键.
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知数列
的前
项和为
，
，
，则
的值为 ，
的值为 .
【答案】 20 231
【分析】由数列的递推关系式可得{an}的奇数项、偶数项都是以2 为公差的等差数列，由
等差数列的通项公式和前n 项和公式求解即可得到答案.
【详解】将n＝1 代入an＋an＋1＝2n＋1 中得a2＝3－1＝2.
由an＋an＋1＝2n＋1①，得an＋1＋an＋2＝2n＋3②.
②－①，得an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2 为公差的等差数列，
则a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，
2
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S21＝(a1＋a3＋a5＋…＋a21)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝
＋
＝231.
故答案为：20；231
【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应
用，属于基础题.
3．（2024·广西·二模）在等差数列
中，
，且等差数列
的公差为4.
(1)求
；
【答案】(1)
；
【分析】（1）利用等差数列的求出公差
，再求得首项
后可得通项公式；
【详解】（1）设
的公差为
，则
，
，
又
，所以
，
所以
，
．
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n，a1＝1(n∈N*)，求数列
{an}的通项公式．
【答案】an＝
【详解】
解：由an＋an＋1＝2n ①，得n≥2 时，an－1＋an＝2(n－1) ②.由①－②得an＋1－an－1＝2，
所以该数列奇数项和偶数项分别成公差为2 的等差数列，由a1＋a2＝2，得a2＝1，
∴an＝
5．（四川省眉山市2024 届高中第三次诊断性考试数学（文史类）试题）将①
，
，②
，③
，
之一填入空
格中（只填番号），并完成该题.
已知
是数列
前n 项和，___________.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）若选①，类比作差证明数列是隔项等差数列即可；
若选②，利用类比作差和阶差法可以求解；
若选③，利用公式作差后因式分解，找出
与
的关系，再根据等差数列的定义和通项
公式即可求出
.
3
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（2）利用数学归纳法证明结论即可.
【详解】（1）若选①：
因为
所以
，
两式相减得
，
所以
是隔项等差数列，
且
，
所以
为奇数，
为偶数，
所以
.
若选②：
，
所以
，
两式相减得，
，
所以
，
所以
.
若选③：
因为
①，
所以
②，
所以
，
即
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
4
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又
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
是首项为1，公差为2 的等差数列，
所以
，
所以
的通项公式
.
6．（2023 届山东省潍坊市三县高三最后一次模拟考试理数）已知数列
满足
．
（1）若
，求数列
的前
项和
；
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）由
得
．两式相减，得
,分奇数、偶数两种情况，分别利用等差数列通项公式求解即可；
【详解】（I）由
，得
，
两式相减，得
．
所以数列
是首项为
，公差为4 的等差数列；数列
是首项为
，公差为4 的等
差数列．
由
，
，得
．
所以
①当
为奇数时，
，
．
②当
为偶数时，
．
5
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所以
题型二：隔项等比数列
1．(多选）（广东省广州市白云区2023-2024 学年高二上学期期中数学试题）已知数列
中，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是等比数列
C．
D．
【答案】ABD
【分析】先由
分析出数列
的奇数项和偶数项均为等比数列，再逐项判断即
可.
【详解】解：数列
中，
，
，
所以
，即
因为
，所以
所以
所以数列
的奇数项和偶数项，均为以为公比的等比数列
所以
对A，
，故A 正确；
对B，由分析知，
是等比数列，故B 正确；
对C，
，故C 错误；
对D，
，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对已知数列的递推公式进行变形整理，得到新的递
推公式，从而得到数列
的奇数项和偶数项均为等比数列.
2．（北京市大兴区2023 届高三上学期期末检测数学试题）已知数列
中，
，
，
，则下列结论错误的是（）
A．
B．
6
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C．
是等比数列
D．
【答案】D
【分析】AB 项，分别令
，
，
求出
的值验证；CD 项，由
可得
，得
，继而得到
及
均为等比数列，根据等比数列的
通项求解.
【详解】当
时，
，故A 正确.
当
时，
，
当
时，
，
，故B 正确.
C 项，
，
，
所以
得
，所以
，
是以
为首项，
为公比的等比数列，
故C 正确.
D 项，由C 项得
，
又
，
，
是以
为首项，
为公比的等比数列，
，故D 错误.
故选：D
3．（四川省德阳市2023-2024 学年高二下学期期中数学理科试题）已知正项等比数列
对任意的
均满足
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据
，得当
时，
，两式相除可求得公比，再
求出首项，再根据等比数列得通项即可得解；
【详解】（1）设公比为
，
由
，得当
时，
，
两式相除得
，所以
，
又
，则
，所以
（
舍去），
7
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所以
；
4．（江苏省苏州市第十中学2023-2024 学年高二数学10 月阶段检测数学试题）在①
，②
，③
，这三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答
给分）
已知正项数列
满足，
，__________.
(1)求数列
的通项公式：
【答案】(1)
；
【分析】（1）选①根据递推关系可得
，然后利用等比数列的通项即得，选②根据
条件可得
，然后利用等比数列的定义及通项即得，选③根据项与前
项和的关
系即得
，进而即得；
【详解】（1）若选①，
，
，则
，
，
∴
，又
，
，
∴
，
，
所以
；
若选②，
，则
，又
，
所以
，即
，又
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
；
若选③，
，则
，
所以
，即
，又
，
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
；
三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练
1．（广东省深圳市2023 届高三二模数学试题）已知数列
满足，
，
，
.
8
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(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
(1) 由
得
,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式；
【详解】（1）由
，得
以上两式相比，得
,
由
，
得
,
所以，数列
是首项为3，公比4 为的等比数列，
,
数列
是首项为6，公比为4 的等比数列，
,
综上，数列
的通项公式为
.
2．（湖南省九校联盟2024 届高三下学期第二次联考数学试题）已知数列
的前
项和
为
，满足
；数列
满足
，其中
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据
的关系式可得
是首项为1，公比为
的等比数列，再根据
可分别对
的奇数项和偶数项分别求通项公式可得
；
【详解】（1）由
①，当
时，
②，
得
，
当
时，
，
是首项为1，公比为
的等比数列，故
，
由
③.由
得
，又
④.
④-③得
，
9
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的所有奇数项构成首项为1，公差为2 的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2 的等差数列.
得
.
综上可得
；
3．（河北省唐山市玉田县2018-2019 学年高一下学期期中数学试题）已知数列
的前
项和为
，
，且
，
，（
）
（1）求
，并证明：当
时，
．
【答案】（1）
；见证明；
【分析】（1）取
代入
即可求出
，要证明
，只需要把
换
成
之间的关系即可．
【详解】（1）当
，由
及
，得
．
当
时，由
，得
．
因为
，所以
．
4．（新疆维吾尔自治区普通高考2022 届高三第一次适应性检测数学（理）试题）已知数
列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
；
【分析】（1）分奇偶讨论并结合累加法求通项、等比数列前n 项和公式计算作答.
【详解】（1）依题意，
，由
得：
，
则当n 为奇数，
时，
，
满足上式，
当n 为偶数，
时，
，
满足上式，
即当n 为奇数时，
，当n 为偶数时，
，
所以
．
10
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