【题型突破07：圆锥曲线的综合问题】
1．（24-25 高三下·重庆·月考）抛物线x
2=2 py ( p>0)与椭圆x
2
m + y
2
4 =1(m>0)有相同的焦点，F1，F2分
别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是△P F1 F2的内心，PI交y轴于M，且⃗PI =2⃗IM，点
(xn, yn)(n∈N
*)是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)，若x2=8，则
x2025= .
2．（2025·海南三亚·一模）已知F是抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点，双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)
的两条渐近线分别与抛物线C交于异于原点的A ,B两点，若∠AFB=120
∘，则双曲线的渐近线方程是
.
3．（2025·广西河池·二模）已知椭圆与双曲线有公共焦点，F1, F2分别为其左､右焦点，点M为它们在第
一象限的交点，满足sin∠F1 M F2=2sin∠M F1 F2，椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则e1+e2的
取值范围是 .
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知抛物线E：y
2=2 px ( p>0)，双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，直线
y =−2 x + p交E 于A，B 两点，点D (−1,−1)，且AD⊥BD，F1，F2分别是C的左、右焦点，过F2的直
线与C的右支交于M，N 两点，M F1⊥MN，△F1 MN的内切圆半径为r，且rp =|N F2)，则C的离心率
为 .
5．（2025·山东·二模）若抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点与双曲线W : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点F
重合，C的准线交W 于A ,B两点，△ABF为等边三角形，则W 的离心率为 ．
6．（24-25 高三下·上海·月考）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光
线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装
置由有公共焦点F1、F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经Ω与Γ反射，又回到
了点F1，历时0.003 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点
F1，历时t秒；已知Γ与Ω的离心率之比为2:3，则t = 秒.
命题角度1：椭圆抛物线双曲线的综合问
7．（2026·安徽芜湖·一模）已知椭圆C1: x
2
4 + y
2=1，双曲线C2: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线与椭圆
C1在第一象限的交点记为P，O为坐标原点，且|OP)= ❑√3，则双曲线C2的离心率为（ ）
A．3 ❑√2
2
B．3 ❑√3
2
C．3 ❑√2
4
D．3 ❑√3
4
8．（2026·江苏·一模）已知O为坐标原点，若椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上存在三点A，B，C，使四边
形OABC为正方形，则椭圆E的离心率为（ ）
A．1
3
B．
❑√3
3
C．
❑√5
3
D．
❑√6
3
9．（25-26 高二上·四川南充·期末）已知F1, F2是椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点，点P在直线
y =
❑√3
4
(x +a)上，△P F1 F2为等腰三角形，∠F1 F2 P =120°，则椭圆C的离心率为（ ）
A．1
4
B．1
2
C．2
3
D．
❑√3
2
10．（2026·黑龙江大庆·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别是
､
F1, F2，过点F2
的直线l与双曲线C的右支交于A ,B两点，若|A F1)+|B F1)=3|F1 F2)，则双曲线C离心率的取值范围是
（ ）
A．[2+ ❑√3,+ ∞) B．(1,2+ ❑√3)
C．[
3+ ❑√5
2
,+∞)
D．(1, 3+ ❑√5
2 )
11．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过
F1作与C 的一条渐近线平行的直线，交C 的左支于点P，且P F1⊥P F2，则C 的离心率为（ ）
A．
❑√5
2
B．❑√5
C．❑√3
D．❑√7
12．（25-26 高三上·河南·期末）已知F1，F2是椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点，点M为椭圆C
上的一点，点N在x轴上，满足∠F1 MN =∠F2 MN =60°.若⃗M F1+2⃗M F2=t⃗MN (t ∈R)，则椭圆C的
离心率为（ ）
A．7
9
B．
❑√6
3
C．
❑√7
3
D．1
3
命题角度2：离心率的问题
13．（2026·新疆·模拟预测）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右
顶点分别为A，B，M是C上的一个动点，|F1 F2)=2❑√17，且C的一条渐近线方程为y = 2❑√2
3
x，设
△MAB的面积为S，则S⋅tan∠AMB = .
14．（2026·四川泸州·二模）已知椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，上顶点为A，
直线A F1与C的另一个交点为B，若|AB)=|B F2)，则|B F2)
|B F1)
的值为 ．
15．（2025·甘肃·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√2
2 ，
左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，四边形A F1B F2的面积为4，点P 是C 上一点，若
cos∠F1 P F2= 1
3，则|OP)= ．
16．（2025·四川南充·模拟预测）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1 ，F2，过
点F2的直线与C的右支交于两点A ,B，且|A F2):|B F2):|A F1)=1:2:3，若△AB F1的周长为20，则C的
实轴长为 .
17．（2025 高三·全国·专题练习）设双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，过F1的直
线与双曲线的左、右两支分别交于点A ,B．若2|B F2)=|A F2)，且△F1 F2B的面积为S1,△F1 F2 A的面积
为S2，且S1=3 S2，则双曲线的离心率为 ．
18．（2025·福建福州·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0, b>0)的右焦点为F，其左、右顶点分
别为A , B，过F且与x轴垂直的直线交C于M , N两点，直线BN与AM交于点Q，若△MQB与△MFB的
面积相等，则C的离心率为 ．
19．（25-26 高三上·安徽·月考）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，点P(t
2,2t)(t >1)是C 上的动点，以
PF 为直径作圆M，再作圆M 的与直线PF 平行的两条切线，两条切线与y 轴的交点分别为A，B，则|AB)
的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．4 ❑√2
D．8
20．（2026·河北沧州·一模）如图，已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，P为C
命题角度3：与三角形四边形的综合问题
命题角度4：圆锥曲线中的范围与最值问
上位于第一象限内的一点，△P F1 F2中∠F1 P F2的外角平分线l与x轴交于点Q，F2关于l的对称点为R，
若C的离心率为e，则△F1 P F2的面积与△F1 RQ的面积之比的取值范围是（ ）
A．(0, e
2)
B．(0, ❑√e)
C．(0, e)
D．(e , 1)
21．（25-26 高二上·全国·课后作业）已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率e=2，A ,B是双曲线上
关于原点对称的两点，点P是双曲线上异于A ,B的动点，直线PA , PB的斜率分别为k1,k2，若1≤k1≤❑√2，
则k2的取值范围是（ ）
A．[−3,−3 ❑√2
2 )B．[
3 ❑√2
2
,3)
C．[−4 ,−2)
D．[2,4)
22．（2025·浙江·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(x
2+ y
2)
2=2 x
2−2 y
2，若点P 为曲线C
上的动点，则|OP)的最大值为（ ）
A．
❑√2
2
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
23．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，点P( x , y)是平面内的一个动点，
若以PF为直径的圆与圆D：x
2+ y
2=1相切，记点P 的轨迹为曲线C，过曲线C 上一点Q 作直线l分别与直
线y = ❑√3 x，y =−❑√3 x相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若⃗MQ = λ⃗QN，
λ∈[ 1
3 ,4 ]，则△MON面积的取值范围为（ ）
A．[ ❑√3,2❑√3]
B．[ 25 ❑√3
16
,2❑√3]
C．[2,2❑√3]
D．[ ❑√3, 25 ❑√3
16
]
24．（24-25 高三下·湖北·开学考试）过抛物线C : y
2= 4 x上的一点P作切线l，设l与x轴相交于点M , F为C
的焦点，直线PF交C于另一点Q，则△PQM面积的最小值为（ ）
A．8 ❑√3
3
B．4
C．16 ❑√3
9
D．3
25．（2024·河南·模拟预测）设双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原
点的直线与C交于A，B两点，|F1B)=2|F1 A)，⃗F2 A ⋅⃗F2B = 4 a
2，则C的离心率为（ ）
命题角度5：圆锥曲线与平面向量综
A．❑√2
B．2
C．❑√5
D．❑√7
26．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，点
P , A ,B都在椭圆E上，若⃗P F1= λ⃗F1 A ,⃗P F2= μ⃗F2B，且λ+ μ≥4，则椭圆E的离心率的取值范围为
（ ）
A．[
1
3 ,1)
B．[
❑√3
3 ,1)
C．(0,
❑√3
3 )
D．(0, 1
3)
27．（2024·四川德阳·一模）设F1, F2为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点，O 为坐标原点，P
为C的一条渐近线上一点，且|⃗P F1+⃗PO)=|⃗P F1−⃗PO)，若|⃗P F1)=2|⃗PO)，则C的离心率为（ ）
A．❑√6
B．❑√5
C．2
D．❑√3
28．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C : x
2
4 + y
2
b
2 =1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线
与C交于点P，Q，若|P F1)+|Q F2)=2|P F2)，且(⃗F1 P+⃗F1 F2)⋅⃗P F2=0，则|Q F1)
|P F1)
=（ ）
A．19−❑√41
10
B．9−❑√21
6
C．6−❑√21
5
D．
❑√77−7
4
29．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左、右顶点分别为 A1，A2，点
M是椭圆 C上异于 A1，A2的点，N为平面内一点，且满足⃗A2 N =⃗NM，过点 N作直线 A2 M的垂线与
直线 A1 M交于点 P，则⃗A1 A2⋅⃗NP =（ ）
A．12
B．16
C．24
D．32
30．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知F1，F2分别为双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，O 为坐
标原点，点B 是双曲线上位于第二象限的点．直线B F2与双曲线交于另一点A，2|OB)=|F1 F2)，
2⃗AB =−⃗B F2，则双曲线的离心率为（ ）
A．❑√13
B．2❑√3
C．❑√11
D．❑√6
31．（25-26 高二上·河北张家口·期中）已知点P为椭圆x
2
25 + y
2
16 =1上一点，直线l过圆M :(x−3)
2+ y
2=1
的圆心且与圆M交于A，B两点，则⃗PA ⋅⃗PB的取值范围为 ．
32．（24-25 高二下·上海·月考）已知F1、F2是双曲线Γ : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点，l 是Γ的一
条渐近线，以F2为圆心的圆与l 相切于P．若双曲线Γ的离心率为❑√3，则sin∠P F1 F2= ．
命题角度6：圆锥曲线与圆的综合
33．（2025·天津武清·模拟预测）已知抛物线C : y
2= 4 x，直线l 过C 的焦点F 且与C 交于A，B 两点，以
线段AB 为直径的圆与y 轴交于M，N 两点且圆心为G，则cos∠MGN的最小值是 .
34．（2025·天津静海·三模）已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F(0,1)，倾斜角为45
°的直线l过点F.
若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆的方程为 .
35．（2025·江苏南京·三模）已知F1为双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点，过点F1作直线l与双曲
线左支交于A，B两点，点D是双曲线上点B关于原点的对称点.若以AD为直径的圆过点F1，且
|D F1)=|A F1)，则双曲线E的离心率为 .
36．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)上一点P(x0, y0)到其准线和焦点F
的距离之和为2 x0+2，则p= ；过点F的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与直线x =−1有
交点M，则△ABM面积的最小值为 .
37．（2025·上海·三模）已知长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =2,BC =2❑√2, A A1=3, P为矩形
A1B1C1 D1内一动点，设二面角P−AD−C为α，直线PB与平面ABCD所成的角为β，若α = β，则三棱
锥P−A1BC1体积的最小值是 .
38．（2025·贵州黔南·三模）如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，过SB的中点M与SO平行作平
面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若SO = ❑√3OB，则该双曲线的离心率为（ ）
A．❑√3
B．
❑√6
3
C．2❑√3
3
D．2❑√6
3
39．（2025·辽宁沈阳·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图
1，设圆锥轴截面的顶角为2α，用一个平面Γ去截该圆锥面，随着圆锥的轴和Γ所成角β的变化，截得的曲
线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为e = cos β
cosα ，比如，当α = β时，e =1，此时截得的曲线是抛物线．
如图2，在底面半径为1，高为2❑√2的圆锥SO 中，AB、CD 是底面圆O 上互相垂直的直径，E 是母线SC
上一点，SE =2 EC，平面ABE 截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
命题角度7：圆锥曲线与立体几何的综合
A．1
2
B．
❑√3
3
C．
❑√3
2
D．2❑√3
3
40．（2025 高三·全国·专题练习）用平面α截圆柱面，圆柱的轴与平面α所成的角记为θ，当θ为锐角时，
圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin 创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同
的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切，切点分别为F1, F2．下列关
于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（ ）
A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距|O1O2)相等
C．所得椭圆的离心率e =cosθ
D．其中G1G2为椭圆长轴，R为球O1的半径，有R =|A G1)⋅tan θ
2
41．（2025·福建泉州·一模）如图，已知Rt△SAB是圆锥SO的轴截面，C , D分别为SA ,SB的中点，过点
C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线Γ是抛物线的一部分．若P在Γ上，则DP
DC 的最大值为
（ ）
A．
❑√2
2
B．1
C．
❑√6
2
D．
❑√26
4
42．（2025 高三下·全国·专题练习）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC 为圆柱的轴
截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB 展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一
个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数y = ❑√3sin ωx(ω>0)图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离
心率为
❑√3
2 ，则ω的值为（ ）
A．
❑√3
2
B．1
C．3
D．2
43．（2026·广东·模拟预测）已知椭圆E: x
2
4 + y
2
b
2 =1(0<b<2)的上，下顶点分别为B1,B2，左焦点为F，
右顶点为A.已知四边形A B1 F B2有外接圆，则E的焦距为 ；记该外接圆上有一点P ,O(0,0)，
则|OP)的取值范围是 .
44．（2025·江苏·模拟预测）已知椭圆C : x
2
4 + y
2
2 =1的上顶点和右焦点分别为A , F，动点P 在直线
x =2❑√2上，△PAF外接圆的半径为r，当r 取得最小值时，△PAF的面积为 ．
45．（2025·江西南昌·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
6 =1(a>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P 在
双曲线右支上运动(不与顶点重合)，设P F1与双曲线的左支交于点Q，△PQ F2的内切圆与Q F2相切于点
M .若|QM |= 4，则双曲线C 的离心率为 .
46．（2025·河北·模拟预测）双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，左、右焦点为F1，F2，右支上有一点M，
∠F1 M F2=60°，△F1 M F2的内切圆与外接圆的半径之比为3:7，则双曲线离心率e为 ．
47．（2025·广东·模拟预测）已知F1, F2分别是双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点，点
､
P在双
曲线C上，且位于第一象限，I为△P F1 F2的内心，若S△IP F1= S△IP F2+ 1
2 S△I F1 F2，则双曲线C的离心率为
．
48．（2025·辽宁·二模）已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为
❑√3的直线l交双曲线右支于点A（在第一象限），△A F1 F2的内心为I，直线AI交x轴于点P，且
命题角度8：圆锥曲线中内外接圆问
|AI )=2|IP)，则双曲线的离心率为 ．
49．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双
曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这
种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点F2发出的互为反向的光线，经双曲线上的点
P，Q 反射，反射光线的反向延长线交于点M，且sin ∠MPQ = 3
5 sin ∠MQP，
sin∠PM F2= 9
5 sin∠QM F2．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截
面双曲线的离心率为 ．
50．（2025·安徽马鞍山·一模）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线C : x
2−y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1，F2．
从点F2发出的光线经双曲线C 右支上的点A0反射，若反射光线垂直于直线F2 A0，则点A0的横坐标为
；过双曲线C右支上任一点A（异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O 作l 的垂线，与直线F2 A交于点B，
则点B的轨迹方程为 ．
51．（2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦
点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线垂直于
法线（即∠F1 P F2的角平分线）．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，坐标原点O到点P处切线的距离为
a
2，且|P F1)⋅|P F2)=ab，则C的离心率为（ ）
A．
❑√7
4
B．3
4
C．
❑√15
4
D．7
8
52．（25-26 高二上·吉林长春·期末）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反
射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆C : x
2
a
2 + y
2=1(a>0)，其左、右焦点分别是F1，F2，P
为椭圆C 上任意一点，△P F1 F2面积的最大值为❑√3，椭圆C 在点P 处的切线为l，过点P 且与l 垂直的直
线与椭圆的长轴交于点M（M 与O 不重合），且∠F1 PM =∠F2 PM，若|PM )=|M F2)，则|P F1)
|P F2)
=
命题角度9：圆锥曲线光学性质
．
53．（25-26 高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反
射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆C的两个焦点分别为F1(−c ,0), F2(c ,0)(c>0)．若光
线由F1发出经椭圆C两次反射后回到F1经过的路程为12c，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P
处的切线为l , F2在l上的射影H在圆x
2+ y
2=9上，则△P F1 F2的周长为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
54．（23-24 高二下·甘肃·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭
球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点F1发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经
过另一个焦点F2．如图甲，椭圆C为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线l
′表示与椭圆C的切线垂
直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(−c ,0), F2(c ,0)(c>0)．由F1发
出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为4 ❑√2c．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
（1）椭圆C的离心率为 ．
（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l. F2在l上的射影H在圆x
2+ y
2= 4上，
则椭圆C的方程为 ．
55．（湖北孝感市2025-2026 学年上学期期末高二数学B 卷）曲线C : x
2+ y
2=2|x)+2|y)(x
2+ y
2≠0)是一
条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数为（ ）
①曲线C关于坐标轴和直线y =± x均对称；
②曲线C恰好经过8 个整点（即横纵坐标均为整数的点）；
､
③曲线C围成的图形的面积是4 + 4π；
④曲线C上任意两点间的距离的最大值为4；
⑤若P(m,n)是曲线C上任意一点，则|m+n−6)的最小值是2.
A．1
B．2
C．3
D．4
命题角度10：圆锥曲线中新定义问题
56．（2023·北京·三模）已知点P , Q是曲线W : x
2+ y
2+ xy =1上不同的两点，给出下列四个结论：
①P , Q不可能同时在直线x + y =1上；
②P , Q可能位于直线x + y =−2❑√3
3
两侧；
③设圆C : x
2+ y
2=2，则所有P , Q均位于圆C上或圆C内；
④设圆D: x
2+ y
2=1，存在P , Q分别位于圆D内和圆D外．
其中所有正确结论的序号是 ．
57．（2025·北京·三模）造型
可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.
且C上的点满足横坐标大于−2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a(a<0)的距离之积为4.有以下四个结论：
①a=−2；
②曲线C上存在点P，满足|PF)=0.9；
③若点P是曲线C第一象限上的点，则△POF的面积的最大值为1；
④当点(x0, y0)在C上时，不等式x0 y0+2 y0+5>0恒成立；
其中，所有正确结论的序号是 .
58．（2025·广西南宁·二模）已知曲线C : xy −x
2+ x−y +1=0.
（1）请写出曲线C的一个整点（即横、纵坐标均为整数的点）： ；
（2）请写出曲线C的一个对称中心： ；
59．（2025·湖北黄冈·模拟预测）“∞”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.
如图所示的曲线C过坐标原点O ,C上的点到两定点F1(−3,0), F2(3,0)的距离之积为9.若C上第一象限内的
点P满足△P F1 F2的面积为9
2，则|⃗P F1+⃗P F2)= .
60．（2025·北京·二模）数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线C :(x
2+ y
2)
2=2a
2(x
2−y
2)就
是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点A (−a,0)和B (a,0)(a>0)的距离之积为常数a
2
的点的轨迹．设P(x0, y0)( y0≠0)为C上一点，给出下列四个结论：
①|x0)≤❑√2a；
②|y0)≤a
2；
③若点P在第一象限，则|OP)<❑√2 x0；
④△PAB的周长可以等于5a．
其中，所有正确结论的序号是 ．
