专题08导数压轴大题一：含参分类讨论函数单调性、去参恒成立问题、隐零点问题（学生版）_2027版高中《压轴培优讲义》高二上学期（人教A版选择性必修第二册）

专题08 导数压轴大题一：含参分类讨论函
数单调性、去参恒成立问题、隐零点问题（学
生版）
一、含参分类讨论函数单调性
分类讨论问题，最主要是找到将区间分段的临界值，一般有两个临界：
1．
以定义域或运算有无意义的端点为临界；
如ln x 的定义域为
(0,
)
x
，求出来的解x
a

的临界值为参数
0
a 
，
可分为
0,
0,
0
a
a
a



三种情况；
如求解
1
ax ，a 能不能作为除数，有无意义，有意义了除了后用不用变号，
也是以
0
a 
为临界；
2．
若求出两根，令两根相等可求出临界值；
如
1
2
1
1,
,
x
x
a


令
1
1
,
a

得临界
1
a .
找准临界后再将可取范围分段即可，做到不偏不漏不重.
二、去参恒成立问题
参数范围已知，证明不等式恒成立问题，可以尝试从函数单调性比较大小，考虑
参数取其范围的端点代入，将参数换成数字，再进行求导证明，计算量会少很多.
三、
隐零点问题
求解导数压轴题时，很多时候都需要求函数在给定区间上的零点，但经常会碰到函数具
有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形．此时，可以将这个零点虚设出来而不必求
出来，然后谋求一种整体的转换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决．我们
称这种解题方法为“虚设零点”法．此解题方法类似于解析几何中的“设而不求”.
当导函数存在零点且无法求出时，可考虑虚设零点
0x ，对
0
(
)
0
f
x


进行合理的变形与代换，
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将超越式转化为普通式，从而达到化简
0
(
)
f x
的目的.根据零点存在性判定定理，结合
(
)
f x
的
单调性，
0
(
)
f x
为函数的一个最值，即可完成证明.
题型一含参分类讨论函数单调性
1．已知函数
3
2
( )
1
f x
x
x
ax



．
（1）讨论

f x 的单调性；
（2）求曲线

y
f x

过坐标原点的切线与曲线

y
f x

的公共点的坐标．
2．已知函数
2
( )
e
(
2)e
x
x
f x
a
a
x




.(
R)
a 
(1)讨论函数
( )
f x 的单调性；
(2)若
0
a 
，求证：
2
1
1
( )
f x
a
a


.
3．已知函数


2
2
1
2
ln
2
2
f x
x
ax
x
x
ax




，
R
a 
.
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当
0
a 
时，若



2
1
1 ln
2
f x
a
a


恒成立，求a 的取值范围.
4．已知函数

2
1
cos
2
f
x
x
m
x


，

f
x

是

f x 的导函数，

1
g x
f
x



.
(1)当
2
m 
时，判断函数
g x 在

0,π 上是否存在零点，并说明理由；
(2)若

f x 在

0,π 上存在最小值，求正实数m 的取值范围.
练习题：
1．已知函数

3
3
f
x
x
ax
a



.
(1)若
R
a 
，讨论函数

f x 的单调性；
(2)若0
9
a

，


1
2
,
0,3
x x


，求




1
2
max
f
x
f
x

的取值范围.
2．已知函数

2
1
e
2e
2,
R.
2
x
x
f x
x
ax
ax
a






(1)讨论

f x 的单调性；
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(2)当
3
2
a 
，
0
x 
时，证明：

0.
f x 
3．已知函数
2
1
( )
ln (
)
2
f x
x
ax
x a



R ．
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若函数
( )
f x 有两个极值点
1
x ，
2
1
2
(
)
x
x
x

，求当a 为何值时，
1
2
4 (
)
2 (
)
f x
f x

取得最大值．
4．已知函数






2
2
1
1
ln
1
,
sin
2
2
f x
x
x
ax a
g x
x
x







R
，
(1)讨论

f x 的单调性；
(2)若函数

f x 与
g x 的图象恰有一个交点，求a 的取值范围.
题型二去参恒成立问题
1．已知函数

e
ln
1
x
f
x
a
x


.
(1)设
2
x 
是

f x 的极值点，求

f x 的单调区间；
(2)证明：当
1
e
a 
时，

0
f x .
2．已知函数f(x)=
xe -ln(x+m).
(1)设x=0 是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2 时，证明f(x)>0.
3．已知函数

2
1
ex
ax
x
f x



.
(1)求曲线

y
f x

在点

0, 1

处的切线方程；
(2)若函数

f x 的极大值点为2，求a 的取值范围；
(3)证明：当
1
a 时，

e
0
f
x 

.
4．已知函数

e
2
x
f
x
x



，




ln
cos
1
R
g x
x x
a x
x
a





.
(1)若

t x
xf x

，求
t x 的极值；
(2)证明：当
1
a 时，

f x
g x

.
练习题：
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1．已知函数

ln
f x
x x

(1)求函数

f x 的单调区间；
(2)若
2
a ，证明: 
3
e
f x
ax



在

0 
，
上恒成立；
(3)若方程

f x
b

有两个实数根
1
2
x
x
，
，且
1
2
x
x

，
求证:
2
1
3
e
2
e 1
2
3
b
x
x
b






.
2．已知函数

ex
f x
a

，


ln
1
1
g x
x


．
（1）设



G x
f
x
g x


，
3
x 
是

G x 的极值点，求函数

G x 的单调区间；
（2）证明：当
2
1
e
a 
时，


f x
g x

．
3．已知函数
2
( )
ln
2
x
f x
axe
x
x





.
（1）设x=2 是函数f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
（2）证明：当
1
a
e

时，
( )
0
f x 
.
4．已知函数


elog
e,
ln
x
x
a
f x
a
x
g x
a
x a





，其中
1,e
a 
是自然对数的底数．
(1)求函数
g x 的单调区间和最值；
(2)证明：函数

f x 有且只有一个极值点；
(3)当
2
e,e
a



时，证明：

0
f x ．
题型三隐零点问题
1．设函数

2
ln
x
f x
e
a
x


.
（1）讨论

f x 的导函数

f
x

零点的个数；
（2）证明：当a<0 时，

ln
2
2
a
f
x
a
a









.
2．已知函数
( )
ln
f x
ax
x
x


图象在点( ,
( ))
e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a 的值；
（2）若
Z
k 
，且
( )
(
1)
0
f x
k x



对任意
1
x 恒成立，求k 的最大值．
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3．已知函数



2
2
x
f
x
e
sinx
ax
a
e




,其中
2.71828...
a
R
e


，
为自然对数的底数.
(1)当
0
a 
时，讨论函数

f x 的单调性;
(2)当1
1
2
a
≤
≤时，求证:对任意的



0,
,
0
x
f x



.
4．已知函数

e sin
x
f x
x
ax


，其中e 为自然对数的底数．
(1)当
0
a 
时，求函数

f x 在区间
π π
,
2 2







上的极值；
(2)当
1
a 时，函数

f x 的正零点从小到大依次为


*
1
2
n
x
x
x
n

N
，，，
．证明：
①
1
sin
sin
n
n
x
x 

；
②
2
1
2
π
2 π
n
n
x
n
x



．
练习题：
1．已知函数
3
( )
ln
(1
)
f x
x
a x
bx




，( )
e x
g x
x
b

（,a bR ，e 为自然对数的底数），且
( )
f x 在点(e,
(e))
f
处的切线方程为
1
1
e
y
x








.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)求证：
( )
( )
f x
g x

.
2．已知函数
( )
(2
1)
cos2
x
f x
x
x
e
x
a





（a∈R，e 为自然对数的底数），


ln 2
1
g x
x


，其中
( )
f x 在x=0
处的切线方程为y=bx.
（1）求a，b 的值；
（2）求证：
( )
g(x)
f x ≥
；
（3）求证：
( )
f x 有且仅有两个零点.
3．设函数



2e
ln
1
x
f x
a
x



.
(1)讨论

f
x 的导函数

f
x

的零点的个数；
(2)证明：当
0
a 
时，

2
ln
f
x
a
a

.
4．已知函数
2
( )
ln
x
f x
e
a
x


，函数
ln
( )
m
x
g x
n
x



的图象在点(1, (1))
g
处的切线方程为
3
0
y 

.
（1）讨论
( )
f x 的导函数
( )
f
x

的零点的个数；
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（2）若
0
a 
，且
( )
f x 在[
)
,e 上的最小值为
2e
e
，证明：当
0
x 
时，
( )
( )
f x
g x

.
1.
已知函数

3
2
2
f x
x
ax
a



，
0
a 
．
(1)讨论

f x 的单调性；
(2)若当
0
x 
时，

3
2
3ex
f x
x
x



，求a 的取值范围．
2.
设



1
1 ln
f x
ax
a
x
x




.
(1)讨论

f x 的单调性；
(2)设

2
2e x
g x
x
f x


，若关于x 的不等式


1
3 ln
1
g x
ax
a
x
x




≥
恒成立，求实数a 的取值范围.
3.
已知函数



ex
f x
a
a
x



．
(1)讨论

f x 的单调性；
(2)证明：当
0
a 
时，

3
2ln
2
f x
a


．
4.
已知函数
( )
(
)sin
cos
f x
x
m
x
x



，
5
0, 4
x







.
(1)当
2
m

≤
时，讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
0
m 
，
( )
1
(
)
f x
a x



，求a .
5.
已知函数



e
ln
1



x
f x
k
x
，
R
k 
．
(1)若
1
2
x 
是

f
x 的极值点，求曲线

y
f x

在



1,
1
f
处的切线方程；
(2)证明：当


0,e
k 
时，

0
f x 
．
10．已知函数

ln x
f x
ax
x


，aR .
（1）设
1
a 时，求曲线

y
f x

在点



,e f e
处的切线方程；
（2）证明：当
1
2
a
e

时，

0
f x 
.
6.
已知函数



1
ln
1
x
f x
e
x
a




.
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（1）设
1
x 是

f x 的极值点，求a ，并求

f x 的单调区间；
（2）当
3
a 时，证明

1
f x .
7.
已知函数



2
e
1



x
f
x
ax
x
（a R ，e 为自然对数的底数）．
(1)若

f x 在x=0 处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值；
(2)讨论函数

f x 的单调性；
(3)当
2
1
e
a 
时，求证：

2
ln
2
x
x
f
x
x




．
8.
已知函数


2
( )
2
e



x
f x
x
a
．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若
(0,
),
( )
x
f x
a


恒成立，求整数a 的最大值．
9.
已知函数
( )
ln
(
1)
f x
x
a x



．
（1）讨论函数的单调性；
（2）对任意
0
x 
，求证：
2
2
(
1)
( )
xe
a x
f x
xe 


．
10.
已知函数
2
( )
1(
x
f x
e
ax
a



为常数）．
（1）若曲线
( )
y
f x

在
1
x 处的切线方程为
2
y
bx


，求a ，b 的值；
（2）讨论函数
( )
f
x

函数的单调性；
（3）当
1
a ，
0
x 
时，求证：
( )
(
2)
2
f x
e
x



．
11.
已知函数





2
2
ln
e
1
x
f
x
x
a x
x




(1)讨论函数

f x 的单调性；
(2)若1
0
a


，求证
2
( )
e
(
2)
x a
f x
ax
a
x





恒成立.
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