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专题05 基本不等式
考点一
直接法求最值
考点二
拼凑法求最值
考点三
二次与二次（或一次）的商式求最值
考点四
“1”的代换
考点五
条件等式求最值
考点六
基本不等式的实际应用
一、基本不等式：
（一正二定三相等）
（1）基本不等式成立的条件：____________.
（2）等号成立的条件，当且仅当______________时取等号．
二、几个重要不等式
1.
2.
3.
4.
三。、利用基本不等式求最值问题
（1）如果积xy 是定值P，那么当且仅当
时，x＋y 有最小值是
.(简记：_____定和最小)
（2）如果和x＋y 是定值P，那么当且仅当
时，xy 有最大值是
.(简记：和定积最_____)
1
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考点一
直接法求最值
例1．（2023 春·广西南宁·高三统考开学考试）若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2021 秋·河南·高三校考阶段练习）不等式
中，等号成立的条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．（2023 春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数
，
满足
，则
的最大值为
__________．
例5．（2023 秋·辽宁沈阳·高三沈阳铁路实验中学校考期末）当
时，函数
（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值4
D．有最小值4
考点二
拼凑法求最值
例6．（2023·陕西榆林·统考三模）若
，则
的最小值为________．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知
，求
的最大值.
2
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例8．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若
，则
的最小值为__________．
例9．（2022 秋·江西·高三统考阶段练习）已知实数x 满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．0
C．4
D．8
例10．（2022 秋·广东佛山·高一佛山市南海区南海执信中学校考阶段练习）若
，则
取最
大值时x 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三
二次与二次（或一次）的商式求最值
例11．（2023·全国·高三专题练习）函数
在
上的最大值为_______________．
例12．（2023·全国·高三专题练习）函数
的最小值为_________．
例13．（2022 秋·上海·高三专题练习）
，则
的最小值是__，此时a＝__．
例14．（2022 秋·云南楚雄·高三云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数
的最小
值是（ ）
A．
B．3
C．6
D．12
例15．（2022 秋·上海浦东新·高三校考期中）函数
的值域是__________．
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考点四
“1”的代换
例16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数
，
，点
在直线
上，则
的最小值
为（ ）
A．4
B．6
C．9
D．12
例17．（河南省创新发展联盟2022-2023 学年高三下学期第二次联考数学试题）已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．1
C．9
D．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知
都是正数，且
，则
的最小值为
__________．
例19．（2023 春·湖南邵阳·高三统考开学考试）若
，
，且
，则
的最小值为
________．
例20．（2023 春·湖南·高一校联考期中）已知正实数a，b 满足
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
考点五
条件等式求最值
例21．（2023 春·重庆九龙坡·高三重庆市铁路中学校校考阶段练习）已知
，且
，则
的最小值为___________.
例22．（2023·江苏·统考一模）（多选）已知正数a，b 满足
，则（ ）
4
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A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
例23．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）若实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例24．（2023 春·湖南·高一校联考阶段练习）若
，且
，则
的最大值为
________.
例25．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数
满足，
，则
的最小值为
__________.
考点六
基本不等式的实际应用
例26．（2023·上海长宁·统考二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2 平方米的矩形植
物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏．
例27．（2023 春·山西太原·高三校联考阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为200 平方米的矩形泳池，
其平面图形如图所示，池深1 米，四周的池壁造价为400 元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100
元/米，泳池底面造价为60 元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x 米，写出泳池的总造价
，
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问泳池的长为多少米时，可使总造价
最低，并求出泳池的最低造价．
例28．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3 万元购进了一套先进设备，该设备每
年管理费用为0.1 万元，已知使用
年的维修总费用为
万元，则该设备年平均费用最少时的年限为
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
例29．（2023 秋·陕西渭南·高三统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为
，
体育馆高
，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100 元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每
平方米150 元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250 元，设体育馆前墙长为
米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为
元
，
若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求
的取值范围．
例30．（2023 秋·四川凉山·高三统考期末）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进
行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15 年，已知每千套座椅
建造成本是8 万元，设每年的管理费用为
万元与总座椅数
千套，两者满足关系式：
．15 年的总维修费用为80 万元，记
为15 年的总费用．（总费用=建造成本费用+使
用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15 年的总费用
最小，并求出最小值．
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一、单选题
1．（2021 秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
2．（2023 秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设
在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S 可由公式
求得，
其中
为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足
，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
4．（2023 春·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考期中）若
，
，且
，
的最小值为（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
5．（2023 春·河南焦作·高三统考期中）若
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
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6．（2023·全国·高三专题练习）函数
的最小值是（ ）
A．10
B．12
C．13
D．14
7．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示
图形，在等腰直角三角形
中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设
，
，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数
，
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
9．（2021 春·陕西西安·高一校考期中）已知a，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·全国·模拟预测）若
，
，则“
”的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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二、多选题
11．（2023 秋·甘肃天水·高三统考期末）已知
，且
，若不等式
恒成立，则
的值可以为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
12．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b 都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023 春·四川泸州·高三泸县五中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．已知
，则
的最小值为
C．若正数
满足
，则
的最小值为
D．
为正实数，若
，则
的最大值为
14．（2023 秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）下列选项正确的是（ ）
A．若
，则
的最小值为4
B．若
，则
的最小值是2
C．若
，则
的最大值为
D．若正实数x，y 满足
，则
的最小值为6
三、填空题
15．（2023·天津南开·统考一模）已知实数
，则
的最小值为___________.
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16．（2022 秋·贵州铜仁·高三沿河民族中学校考期中）一批救灾物资随17 列火车以km/h 的速度匀速直达
900km 外的灾区，为了安全起见，两列火车之间和距离不得小于
，问这批物资运到灾区至少要
_____h.
17．（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知
，
，
，则
的最大值为
____________．
18．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b 满足
，若不等式
恒成
立，则实数m 的取值范围________．
四、解答题
19．（2023 秋·山西大同·高三山西省阳高县第一中学校校考期末）已知
.
(1)当
时，求
的最小值；
(2)当
时，求
的最小值.
20．（2022 秋·高三单元测试）为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度（单位：千米/小
时）和车流密度
（单位：辆/千米）所满足的关系式：
．研究表明：
当隧道内的车流密度达到120 辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0 千米/小时．
(1)若车流速度
千米/小时，求车流密度
的取值范围；
(2)隧道内的车流量
（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足
，求隧道内车流量
的最大值，并指出车流量最大时的车流密度
辆/千米．
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21．（2022 秋·四川·高三校考阶段练习）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E 在
边CD 上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm.
(1)设AB＝xcm，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围；
(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽.
22．（2023 春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）已知
均为正数，且
.证明：
(1)若
，则
；
(2)
.
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