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4.5 两角和与差的正余弦公式（讲义）
目录
1
知识点01 两角和与差的正弦公式............................................................2
2
知识点02 两角和与差的余弦公式............................................................2
3
题型一、逆用两角和与差的正弦公式.....................................................2
4
题型二、逆用两角和与差的余弦公式.....................................................5
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1 知识点01 两角和与差的正弦公式
①公式：sin(α ± β)=sin α cos β ±cosα sin β；
②记忆口诀：正余余正符号同
2 知识点02 两角和与差的余弦公式
①cos(α ± β)=cosα cos β ∓sin α sin β；
②记忆口诀：余余正正符号反
3 题型一、逆用两角和与差的正弦公式
1．sin140
∘cos10
∘+cos 40
∘sin350
∘=
A．√3
2
B．−√3
2
C．1
2
D．−1
2
【答案】C
【分析】先根据诱导公式化角，再根据两角差正弦公式化简求值.
【详解】
sin140
∘cos10
∘+cos 40
∘sin350
∘=sin 40
∘cos10
∘−cos 40
∘sin10
∘=sin(40
∘−10
∘)
=sin30
∘= 1
2,选C.
【点睛】本题考查诱导公式以及两角差正弦公式，考查基本分析求解能力，
属基本题.
2．sin110
∘cos40
∘−cos70
∘sin 40
∘=（ ）
A．1
2
B．√3
2
C．−1
2
D．−√3
2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及差角的正弦公式计算得解.
【详解】
sin110
∘cos40
∘−cos70
∘sin 40
∘=sin70
∘cos40
∘−cos70
∘sin 40
∘=sin30
∘= 1
2.
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故选：A
3．计算：sin20° sin 80°+cos20° sin170° =（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．√3
2
D．−√3
2
【答案】A
【分析】根据诱导公式结合两角和的正弦求解即可.
【详解】由诱导公式与两角和的正弦可得：
sin 20° sin 80°+cos20° sin170° =sin 20° cos10°+cos20° sin10°
=sin (20°+10°)=sin30° = 1
2.
故选：A
4．sin37.5
∘cos7.5
∘+cos37.5
∘cos97.5
∘=（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．−√2
2
D．√2
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】
sin37.5
∘cos7.5
∘+cos37.5
∘cos97.5
∘=sin37.5
∘cos7.5
∘+cos37.5
∘cos(90
∘+7.5
∘)
=sin37.5
∘cos7.5
∘−cos37.5
∘sin7.5
∘=sin(37.5
∘−7.5
∘)=sin30
∘= 1
2.
故选：B.
5．计算：sin 20° sin 80°+cos20° sin170° =（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．√3
2
D．−√3
2
【答案】A
【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求解即可.
【详解】
sin20°sin 80°+cos20°sin170° =sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30° = 1
2.
故选：A
6．sin37.5° cos7.5°−cos37.5° cos97.5° =（ ）
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A．−1
2
B．1
2
C．−√2
2
D．√2
2
【答案】D
【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】sin37.5° cos7.5°−cos37.5° cos97.5° =
sin37.5° cos7.5°+cos37.5° sin7.5°
=sin (37.5°+7.5°)=sin 45° = √2
2 ,
故选：D
7．sin347° cos148°+sin77° cos58° =（ ）
A．1
2
B．√2
2
C．√3
2
D．1
【答案】B
【分析】利用诱导公式把大角化小角，再利用正弦的两角和公式，即可求
值.
【详解】sin347° cos148°+sin77° cos58°
=sin (270°+77°)cos(90°+58°)+sin77° cos58°
=(−cos77°)⋅(−sin58°)+sin77° cos58°
=sin58° cos77°+cos58° sin77° =sin (58°+77°)= sin135° = √2
2 ．
故选：B.
8．sin20°cos10°−cos160°⋅sin10° =（ ）
A．−√3
2
B．√3
2
C．−1
2
D．1
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案.
【详解】
sin20°cos10°−cos160°sin10° =sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30° = 1
2.
故选：D
9．sin140
∘cos10
∘−cos 40
∘sin10
∘=（ ）
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A．√3
2
B．−√3
2
C．1
2
D．−1
2
【答案】C
【分析】先利用诱导公式化简sin140
∘=sin 40
∘，再利用两角和差的正弦公式.
【详解】因sin140
∘=sin(180
∘−40
∘)=sin 40
∘，则
sin140
∘cos10
∘−cos 40
∘sin10
∘=sin 40
∘cos10
∘−cos 40
∘sin10
∘
=sin(40
∘−10
∘)=sin30
∘= 1
2
故选：C
10．sin37
∘cos7
∘−cos37
∘sin7
∘=（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．−√2
2
D．√2
2
【答案】B
【分析】根据两角差的正弦公式可得.
【详解】sin37
∘cos7
∘−cos37
∘sin7
∘=sin(37
∘−7
∘)=sin30
∘= 1
2，
故选：B
11．cos105° cos 45°+cos15° sin 45° =（ ）
A．−√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．√3
2
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得cos105° =−sin15°，再结合两角和差公式运算
求解.
【详解】因为cos105° =cos(90°+15°)=−sin15°，
所以原式=−sin15° cos 45°+cos15° sin 45° =sin 45° cos15°−cos 45° sin15°
=sin (45°−15°)=sin30° = 1
2.
故选：C.
12．计算sin 40° cos160°+sin20° cos140°的值为（ ）
A．√3
2
B．1
2
C．−√3
2
D．−1
2
【答案】C
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【分析】应用诱导公式及和角正弦公式化简求值.
【详解】sin 40° cos160°+sin20° cos140°
=−sin 40° cos20°−sin 20° cos 40° =−sin(40°+20°)=−√3
2 .
故选：C
4 题型二、逆用两角和与差的余弦公式
1．sin66° cos36°−sin24° cos54° =（ ）
A．−1
2
B．0
C．1
2
D．√3
2
【答案】C
【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案.
【详解】
sin 66° cos36°−sin 24° cos54° =cos24° cos36°−sin 24° sin36° =cos60° = 1
2.
故选：C
2．cos77
∘cos32
∘+cos13
∘sin32
∘=（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．√2
2
D．−√2
2
【答案】C
【分析】根据两角差的余弦公式，即可化简求值.
【详解】cos77
∘cos32
∘+cos13
∘sin32
∘=cos77
∘cos32
∘+sin77
∘sin32
∘
=cos(77
∘−32
∘)=cos 45
∘= √2
2 ．
故选：C
3．cos63° cos53°+sin 63° sin53° =（ ）
A．cos10° B．cos20°
C．cos53°
D．cos63°
【答案】A
【分析】根据两角差的余弦公式求解即可.
【详解】cos63° cos53°+sin 63° sin53° =cos(63°−53°)=cos10°.
故选：A.
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4．1
2 cos75
∘−√3
2 sin75
∘=（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．−√2
2
D．√2
2
【答案】C
【分析】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解.
【详解】1
2 cos75
∘−√3
2 sin75
∘=cos60
∘cos75
∘−sin 60
∘⋅sin75
∘
=cos(60
∘+75
∘)=cos135
∘=−cos 45
∘=−√2
2 ．
故选：C
5．cos 40
°sin70
°−sin 40
° sin160
°=（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．−√3
2
D．√3
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求解即得.
【详解】cos 40
°sin70
°−sin 40
°sin160
°=cos 40
°cos20
°− sin 40
°sin20
°
=cos(40
°+20
°) =cos60
°= 1
2.
故选：B
6．cos162
∘cos132
∘+cos72
∘cos42
∘=（ ）
A．√3
2
B．1
2
C．−√3
2
D．−1
2
【答案】A
【分析】根据诱导公式结合两角和的余弦公式求解即可.
【详解】
cos162
∘cos132
∘+cos72
∘cos 42
∘=cos(90
∘+72
∘)cos(90
∘+ 42
∘)+cos72
∘cos 42
∘
=−sin72
∘(−sin 42
∘)+cos72
∘cos 42
∘=cos72
∘cos 42
∘+sin72
∘sin 42
∘
=cos(72
∘−42
∘)=cos30
∘= √3
2 .
故选：A.
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7．已知角θ的终边过点P(−3,1)，则sin(
π
4 −θ)=（ ）
A．−2√5
5
B．2√5
5
C．−√5
5
D．√5
5
【答案】A
【分析】先根据三角函数的定义求出sinθ ,cosθ，再根据两角差的正弦公式
即可得解.
【详解】因为角θ的终边过点P(−3,1)，
所以sinθ =
1
√9+1 = √10
10 ,cosθ = −3
√9+1 =−3√10
10 ，
所以
sin(
π
4 −θ)=sinπ
4 cosθ−cosπ
4 sinθ = √2
2 ×(−3√10
10 )−√2
2 × √10
10 =−2√5
5
.
故选：A.
8．sin95°cos25°−cos85°cos65° =（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．√3
2
D．−√3
2
【答案】C
【分析】根据三角函数的诱导公式以及余弦的和角公式，可得答案.
【详解】
sin 95° cos25°−cos85° cos65° =sin (90°+5°)cos25°−cos(90°−5°)cos(90°−25°)
=cos5° cos25°−sin5° sin 25° =cos(5°+25°)=cos30° = √3
2 .
故选：C.
9．已知sin α = 4
5 ，α ∈(0, π
2 )，则sin(α −π
4 )=（ ）
A．√2
10
B．−√2
10
C．7√2
10
D．−7√2
10
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求出cosα,再根据两角差的正弦公式求解即
可.
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【详解】因为sin α = 4
5 ,α ∈(0, π
2 ),
所以cosα =√1−(
4
5)
2
= 3
5
,
则sin(α −π
4 )=sin α cosπ
4 −cosα sinπ
4 = √2
2 × 4
5 −√2
2 × 3
5 = √2
10 .
故选：A.
10．cos70
∘cos50
∘+cos200
∘cos 40
∘的值为（ ）
A．−√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．√3
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式转化为两个角的三角函数，再逆用两角和差的正余
弦公式，即可求解.
【详解】方法一：原式
=sin 20
∘sin 40
∘−cos20
∘cos 40
∘=−(cos20
∘cos 40
∘−sin 20
∘sin 40
∘)
=−cos60
∘=−1
2．
方法二： 原式=cos70
∘sin 40
∘−cos20
∘cos 40
∘=sin 40
∘cos70
∘−sin70
∘cos 40
∘
=sin(40
∘−70
∘)=sin(−30
∘)=−sin30
∘=−1
2．
故选：B
二、填空题
11．cos 40°cos20°−sin20° cos50°的值为 .
【答案】1
2/0.5
【分析】根据诱导公式和两角和的余弦公式求解即可.
【详解】cos 40°cos20°−sin20° cos50°
=cos 40° cos20°−sin 20° cos(90°−40°)
=cos 40° cos20°−sin 20° sin 40°
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=cos(40°+20°)
=cos60° = 1
2
故答案为：1
2.
12．cos75°⋅cos15°−sin 435°⋅sin15° = .
【答案】0
【分析】运用诱导公式，结合和角公式逆用即可.
【详解】
cos75°⋅cos15°−sin 435°⋅sin15° =cos75°⋅cos15°−sin(435°−360°)⋅sin15°
=cos75°⋅cos15°−sin75°⋅sin15° =cos(75°+15°)=cos90° =0.
故答案为：0.
13．cos17
∘cos43
∘+sin17
∘sin223
∘= .
【答案】1
2/0.5
【分析】利用诱导公式结合两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值.
【详解】
cos17
∘cos43
∘+sin17
∘sin223
∘=cos17
∘cos43
∘+sin17
∘sin(180
∘+ 43
∘)
=cos17
∘cos43
∘−sin17
∘sin 43
∘=cos(17
∘+ 43
∘)=cos60
∘= 1
2.
故答案为：1
2.
14．sin7
∘cos23
∘+sin 83
∘cos67
∘= .
【答案】1
2/0.5
【分析】利用诱导公式及余弦的差角公式统一角度计算即可.
【详解】sin7
∘cos23
∘+sin 83
∘cos67
∘=cos83
∘cos23
∘+sin 83
∘sin 23
∘
=cos(83
∘−23
∘)=cos60
∘= 1
2.
故答案为：1
2.
15．化简：cos263° cos203°+sin 83° sin 23° = .
0
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【答案】1
2/0.5
【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】∵cos263° =cos(180°+83°)=−cos83°，
cos203° =cos(180°+23°)=−cos23°，
∴cos263° cos203°+sin 83° sin 23°
=cos83° cos23°+sin 83° sin23° =cos¿.
故答案为：1
2
1
