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5.2 三角函数的公式及应用（精讲）
一．同角三角函数的基本关系
1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
2.商数关系：＝tan α
3.公式变形：
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
sin α＝tan αcos α．
1
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二．三角函数的诱导公式
1.公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cos α
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tan α
tanα
－tanα
－tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限
2.诱导公式的记忆口诀
奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋αk∈Z”中的k 是奇数还是偶数．
“变”与“不变”是指函数的名称的变化．
“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α 看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
三．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
5．tan(α－β)＝
6．tan(α＋β)＝
四．二倍角公式
1．基本公式
(1)sin 2α＝2sinαcosα；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝．
2．公式变形
(1)降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；sin αcos α＝sin 2α；
(2)升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sin α＝2；1－sin α＝2．
（3）tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan
∓
αtan β)
五．积化和差与和差化积公式
1．积化和差公式
2．和差化积公式
2
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sin α＋sin β＝2sin cos sin α－sin β＝2cos sin
cos α＋cos β＝2cos cos cos α－cos β＝－2sin sin
一．常见的弦化切的结构形式
1.sinα、cos α 的一次齐次分式，解决此类问题时，用分子分母同时除以cos α，将其转化为关于tan α 的
式子，进而求解．
2.sin α，cos α 的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos2α)，解决此类问题时，将原式看成分
母是1 的表达式，把1 换成“sin2α＋cos 2α”，然后用分子分母同时除以cos 2α 将其转化为关于tan α 的式
子，进而求解．
二．弦的和差积形式
对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一
求二.
三．诱导公式
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
四．角的变换（角的拼凑）
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把
“所求角”变成“已知角”．
3.常见的互余关系有－α 与＋α，＋α 与－α，＋α 与－α 等，
常见的互补关系有－θ 与＋θ，＋θ 与－θ，＋θ 与－θ 等.
常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；
β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝－等．
五．三角函数式化简
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”
是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
六．证明三角函数恒等式
1.如果需证的三角函数恒等式中只含同角三角函数，则可以从变化函数入手，即尽量把等式中所含三角函
数都化为正弦和余弦或全部化为某一函数，虽然能达到最终目标，但这种方法不一定最简单；
2.如果需证的三角函数恒等式中含有不同角的三角函数，则宜从角的简化入手，尽量化复角为单角，或者
减少不同角，以便能使用某一公式进行变形；
3.在证明三角函数恒等式中，“1”出现的频率较高，则可把“1”代换为sin2α＋cos2α 或tan 45°等．
考法一 同角三角函数公式的知一求二
3
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【例1-1】（2023 春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知
是第二象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是第二象限角，
，所以
，故选：D.
【例1-2】（2023 云南）已知α 是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α 的值为________．
【答案】－
【解析】由tan α＝－，得sin α＝－cos α，且sin α>0，cos α<0，
将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1，所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－．
【一隅三反】
1．（2023 广东揭阳）α 是第四象限角，tan α＝－，则sin α 等于( )
A． B．－ C． D．－
【答案】A
【解析】∵tan α＝＝－，∴cos α＝－sin α．
sin
∵
2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋sin2α＝sin2α＝1．又sinα<0，∴sin α＝－．答案：D
2．（2023 安徽）(多选)若sin α＝，且α 为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tanα＝
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝
D．sin α－cos α＝－
【答案】AB
【解析】∵sin α＝，且α 为锐角，∴cos α＝＝＝，故B 正确，
tan
∴
α＝＝＝，故A 正确，∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C 错误，
sin
∴
α－cos α＝－＝≠－，故D 错误．
考法二 弦切互换
【例2-1】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知
，则
4
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__________.
【答案】2
【解析】已知
，所以
，
，
.
故答案为：2
【例2-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知
，则
______.
【答案】
【解析】由
，
又
，
代入
得
.故答案为：
【例2-3】（2023·江西赣州·统考二模）已知
为锐角，满足
，则
________．
【答案】2
【解析】因为
，
整理得
，解得
或
，
又因为
为锐角，则
，所以
.故答案为：2.
【一隅三反】
1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知得：
，所以
.故选：A
5
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2．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知直线
的倾斜角为
，则
（ ）
A．-3
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为直线
的倾斜角为
，所以
.
所以
.故选：B.
3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知
，则
的值是__________．
【答案】5
【解析】因为
，
，故答案为：5.
考法三 弦的和积转化
【例3-1】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知
，
，则下列结论
不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，由
，解得
，
，
且
，有
，A 选项正确；
6
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，B 选项正确；
，C 选项正确；
，D 选项错误.
故选：D
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知
，且
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，∵
，∴
，
两边平方可得
，∴
，∴
，∴
．
，∴
，∴
．
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得：
，整理得
，
且
，可得
，即
，可得
，
7
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因为
，可得
，所以
.故选：D.
2．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）（多选）已知
，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A：因为
所以
即
，所以A 正确;
对于B、C：
因为
，且
，
所以
，即
，所以
所以B 错误，C 正确;
对于D：联立
，解得
所以
，所以D 正确.
故选：ACD.
3．（2023·北京）已知
，且
，则用
表示
的值为
___________.
【答案】
【解析】
，
，
，
，
，
8
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时，
，则
，
则
，故答案为：
.
考法四 诱导公式
【例4-1】（2023·海南）
__________.
【答案】
【解析】
,故答案为：
【例4-2】（2022·北京·人大附中）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，解得
,
则
.故选：C.
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【例4-3】（2022·陕西·西安中学）已知
，则
_______．
【答案】
【解析】
，则
，所以
，因为
，所以
，
，则
.故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·山东·烟台二中）已知角
的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
,
又
,故
.故
故选：B
2．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan(π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝1
【答案】AB
【解析】A 选项：tan(π＋1)＝tan 1，故正确；
B 选项：＝＝＝cos α，故正确；
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C 选项：＝＝－tan α，故不正确；
D 选项：＝＝＝－1，故不正确．故选A、B．
3．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．9
【答案】C
【解析】因为角
的终边经过点
，所以
，
即
，即
，解得
，
所以
．
故选：C．
考法五 和差倍角公式的运用
【例5-1】（2023·吉林延边·统考二模）下列化简不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A 选项，
，所以A 选项正确.
B 选项，
，B 选项正确.
C 选项，
，C 选项正确.
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D 选项，
，D 选项错误.
故选：D
【例5-2】化简：(1)sin －cos ；(2)cos 15°＋sin 15°；(3)－；(4)3sin x＋3cos x.
【答案】见解析
【解析】(1)法一 原式＝2＝2
＝－2cos＝－2cos ＝－.
法二 原式＝2＝2＝－2sin＝－2sin ＝－.
(2)cos 15°＋sin 15°＝(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)＝cos(45°－15°)＝×＝.
(3)原式＝＝＝
＝＝4.
(4)3sin x＋3cos x＝6＝6＝6sin.
【一隅三反】
1．（2020·湖北武汉·武汉市第一中学校考二模）计算
的结果为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
故选：B
2．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】注意到
，
.
则原式
.故选：A.
3．（2022·江苏南通）（多选）下列等式成立的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A 选项，
，A 对；
对于B 选项，
，B 错；
对于C 选项，
，C 对；
对于D 选项，
，D 错.
故选：AC.
4．（2021·江苏·常州市第一中学）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．
的值等于
B．若
，则
C．
D．
【答案】AC
【解析】A
，
，
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所以
，A 正确
B .若
，则
，即
，解得
，B 错误；
C
，C 正确；
D
，
，D 错误故选：AC．
考法六 角的拼凑
【例6-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
的值为
，故选：
【例6-2】（2023·四川·校联考模拟预测）若
为锐角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
为锐角，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
故选：D.
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【例6-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
故选：B.
【例6-4】（2022·湖南）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
因为
所以
，
，
因为
，
，所以
，
，
则
．故选：C
【一隅三反】
1．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知
，则
（ ）
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A．
B．
C．-
D．
【答案】A
【解析】
.故选：A.
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
,
故选：B
3．（2023·海南·校联考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
所以
，
得
.
故选：C.
4．（2023·江西·校联考二模）已知
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，则
，
所以
.故选：D
5．（2022·全国·高三课时练习）已知
，
，且
，
，求
=
【答案】
【解析】
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
即
.
考法七 简单三角恒等变换
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【例7-1】（2023·山西吕梁·统考三模）已知
，则
的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
所以
.
故选：B
【例7-2】（2023 春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）若两个锐角
，
满足
，
则
______.
【答案】
【解析】因为
，
所以
所以
，
因为
，
为锐角，所以有
，
所以
，即
，
18
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所以
，即
，
因为
，
为锐角，所以有
，即
，
所以
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．6
【答案】A
【解析】
.
故选：A
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若
，则
（ ）
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A．0
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】由
，
可得
，
又由正弦的倍角公式，可得
，
即
，
令
，则
，解得
，
所以
.
故选：C.
3．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．－1
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
所以
，则
，
所以
，则
，故
，
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由
.
故选：C
4．（2023·广东肇庆·统考二模）若
，则
__________.
【答案】
【解析】
，或
，
当
时，
可得
，此时
，显然
没有意义；
当
时，
，
此时
，所以有
，
当
时，
；
当
时，
，
故答案为：
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