第 12 讲 平面解析几何 章节总结
目录
第一部分：典型例题讲解....................................................................1
题型一：直线与方程（直线的倾斜角与斜率）............................1
题型二：直线与方程（两条直线的平行与垂直）.........................3
题型三：直线与方程（直线方程）...............................................6
题型四：直线与方程（直线的交点坐标与距离）.........................8
题型五：圆与方程（圆的方程）.................................................11
题型六：圆与方程（直线与圆的位置关系）..............................12
题型七：圆与方程（圆与圆的位置关系）..................................15
题型九：圆锥曲线（求圆锥曲线的标准方程）...........................18
题型十：圆锥曲线（离心率）.....................................................21
题型十一：圆锥曲线（中点弦问题）..........................................25
题型十二：圆锥曲线（焦点三角形中的问题）...........................29
题型十三：圆锥曲线（圆锥曲线中的定点问题）.......................34
题型十四：圆锥曲线（圆锥曲线中的定值问题）.......................38
题型十五：圆锥曲线（圆锥曲线中的定直线问题）...................42
题型十六：圆锥曲线（圆锥曲线中的向量问题）.......................46
题型十七：圆锥曲线（圆锥曲线中的最值、范围问题）.................50
第二部分：新定义题..........................................................................56
第一部分：典型例题讲解
题型一：直线与方程（直线的倾斜角与斜率）
1．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知实数x，y满足 ，且 ，则
的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】根据题意， 可看成是两点连线的斜率，数形结合求解.
【详解】 可以看成是线段 上的点 与点 连线的
斜率，
如图，易求得 ， ，
所以 得取值范围为 .
故选：C.
2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点 与两个定点 的距离之比
为2，那么直线 的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、由直线与
圆的位置关系求参数
【分析】根据题意，求出点 的轨迹方程，数形结合求得直线 的斜率范围.
【详解】设动点 ，则 ，
化简得 ，
所以点 的轨迹为圆 ，
如图，过点 作圆 的切线，连接 ，则 ， ，
所以 ，同理 ，
则直线 的斜率范围为 .
故选：C.3．（23-24高一上·湖南·阶段练习）若直线 ： 与直线 相交，且交点
在第一象限，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、求直线交点坐标
【分析】根据题意求交点坐标，结合交点位置关系解得 ，再根据倾斜角与斜率的关
系运算求解.
【详解】由题可知 ，
联立方程 ，解得 ，即两直线的交点坐标为 .
因为两直线的交点在第一象限，则 解得 ，
且直线l的倾斜角为 ，则 ，且 ，解得 ，
所以直线l的倾斜角θ的取值范围为 .
故选：C.
题型二：直线与方程（两条直线的平行与垂直）
1．（多选）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 ，则C．若 ，则 与 的距离为
D．若 ，则
【答案】BCD
【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、求平行线间的距离
【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值，两平行直线的距离公式可判断．
【详解】对A，若 ，则 ，化简可得 或 ，
当 时， 化简可知与 重合，所以 ，故A错误
对B，由选项A可知 ，故B正确；
对C，根据两平行直线距离公式 ，故C正确；
对D，若 ，根据直线垂直性质可知 ，解之可得 ，故D 正
确.
故选：
2．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线 与 是否垂直：
(1) 的倾斜角为 ， 经过 ， 两点；
(2) 的斜率为 ， 经过 ， 两点；
(3) 的斜率为 ， 的倾斜角为 ， 为锐角，且 ；
(4) 经过点 和 ， 经过点 和 ．
【答案】(1)垂直
(2)不垂直
(3)垂直
(4)当 或 时，直线 ，当 且 时， 与 不垂直．
【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直、已知直线垂直求参数
【分析】（1） 的斜率为 ，根据过两点的斜率公式可求 的斜率，判断斜率
的乘积是否为 即可；
（2）根据过两点的斜率公式可求 的斜率，判断斜率的乘积是否为 即可；
（3）根据二倍角的正切公式求出 的值，判断斜率的乘积是否为 即可；（4）分 的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存
在，另一条直线斜率为0，
也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为 ，从而确定直线 与 垂直时 的值.
【详解】（1）由题意知，直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，
因为 ，所以 ．
（2）由题意知，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
而 ，所以 与 不垂直．
（3）记 的斜率为 ，因为 ，所以 ，
解得 或 ，
又因为 为锐角，所以 ．
因为 的斜率为 ，且 ，所以 ．
（4）由题意，直线 的斜率 一定存在，直线 的斜率可能存在或不存在．
①当直线 的斜率 不存在时， ，即 ，此时 ，满足 ．
②当直线 的斜率 存在时， ，由斜率公式，得 ，
．
若 ，则 ，即 ，解得 ．
综上所述，当 或 时，直线 ，当 且 时， 与 不垂直．
3．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线 ，直线
．
(1)若 ，求 ， 之间的距离；
(2)若 ，求 ， 及 轴围成的三角形的面积．【答案】(1)
(2) ．
【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线围成图形的面积问题、求平
行线间的距离
【分析】（1）由 求出 的值，再由平行线间的距离求解即可.
（2）由 求出 的值，再求出直线 ， 的交点，及 ， 与x轴的交点，由三角形的
面积公式求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 ．
当 时， ， ， ， 重合；
当 时， ， ，符合题意．故 ，
则 ， 之间的距离为 ．
（2）因为 ，所以 ，解得 ．
， 的方程分别为 ， ．
联立方程组 ，得 ．
因为 ， 与 轴的交点分别为 ， ，
所以 ， 及 轴围成的三角形的面积为 ．
题型三：直线与方程（直线方程）
1．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为
零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】直线截距式方程及辨析【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为 ，满足题意，
又因为直线过点 ，所以直线的斜率为 ，
所以直线方程为 ，即 ，
当直线不过原点时，设直线方程为 ，
因为点 在直线上，
所以 ，解得 ，
所以直线方程为 ，
故所求直线方程为 或 .故D项正确.
故选：D
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 的三个顶点分别为 ，
则边 的垂直平分线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线两点式方程及辨析
【分析】确定边 的中点 坐标，及 的形状，再由边 的垂直平分线过 两
点，然后根据两点式计算方程即可.
【详解】因为边 的中点为 且 ，
所以 为等腰直角三角形．
所以边 的垂直平分线过 ，
故由两点式方程得 ，
即 ．
故选：B.
3．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（1）已知直线 过定点 ，且其倾斜角是直线
的倾斜角的二倍，求直线 的方程；
（2）已知入射光线经过点 ，且被直线 反射，反射光线经过点
，求反射光线所在直线的方程.
【答案】（1） ；（2）【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线
关于直线对称
【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式即可求解直线方程，
（2）利用点关于直线对称可得 ，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解
直线方程.
【详解】（1）因为直线 的斜率为 ，则直线的倾斜角为 ，
故所求直线的倾斜角为 ，直线斜率为 ，
所求直线的方程为 ，即 .
（2）设 关于直线 对称的点为 ，
则 解得
因为反射光线经过点 ，
所以 所在直线的斜率为 ，
故反射光线所在直线方程为 ，即 .
题型四：直线与方程（直线的交点坐标与距离）
1．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点 到直线
的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由两条直线垂直求方程、直线过定点问题、求平面两点间的距离
【分析】由直线 的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线 的方程.
【详解】直线 的方程 可化为 ，
联立 ，解得 ，所以直线 经过定点 ，
当 时，点 到直线 的距离最大，最大距离为 ，
因为直线 的斜率 ， ，
所以直线 的斜率 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故 ，
所以直线 的方程为 .
故选：C.
2．（多选）（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点 ，经倾斜角为 的且
过 的直线 反射后过点 ，则反射后的光线还经过下列哪些点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、求
点关于直线的对称点
【分析】点 关于直线 的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在
的直线方程即可求解.
【详解】倾斜角为 的且过 的直线 的方程为 ，即 .
设点 关于直线 的对称点 ，
则有 ，即 ，解得 ，即 .
于是反射后的光线所在的直线方程 为 ，即 .对于A： 在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点 ，故A错误；
对于B： 时 ，故B正确；
对于C： 时 ，故C正确；
对于D： 时 ，故D错误；
故选：BC.
3．（2024高二上·江苏·专题练习）已知点 和直线 ，
则点 到直线 的距离的取值范围是 .
【答案】
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离
【分析】先求得直线 的定点，进而求得点P到直线 的最大距离，然后检验点 是
否可能在直线 上即可
【详解】 可化为：
设直线 的定点为 ，点P到直线 的距离为 ，则有：
可得： 为直线 的定点
则有： ，此时 为点P到直线 的最大距离
若 在直线 上，则有： ，即
可得： 不可能在直线 上，则有：
综上可得：
故答案为：
4．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线 与直线
相交于点 ，则 到直线 的距离 的取值范围是 .
【答案】【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离
【分析】联立两条直线的方程求得交点 的坐标，写出 的表达式，求出 的取值范围.
【详解】联立两条直线的方程 ，
解得交点 的坐标为 ，
∴ ，
由 ，故得 的取值范围是 .
故答案为： .
题型五：圆与方程（圆的方程）
1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆 经过 两点，且圆心 在
直线 ，则圆 的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】先设圆心 的坐标为 ，根据点在线上及两点间距离得出 ，再求
出半径，得出圆的标准方程.
【详解】设圆心 的坐标为 .
因为圆心 在直线 上，所以 ①，
因为 是圆上两点，所以 ，根据两点间距离公式，有
，即 ②，
由①②可得 .所以圆心 的坐标是 ），圆的半径
.
所以，所求圆的标准方程是 .
故选:C.
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 与横，纵坐标轴均相切，且圆 的圆心在直线
上，则圆 的方程为 ．【答案】 或
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】设出圆心坐标，对参数进行分类讨论，建立方程求解即可.
【详解】设圆心的坐标为 ，根据题意可得
当 或 时，解得
此时圆 的方程为 ；
当 或 时，解得
此时圆 的方程为 ；
故所求圆 的方程为 或 ．
故答案为： 或
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线 经过 两点，则圆心 在直
线 上，且过 和 两点的圆 的标准方程为 ．
【答案】
【知识点】直线两点式方程及辨析、求直线交点坐标、求平面两点间的距离、由圆心（或
半径）求圆的方程
【分析】先求直线 的方程，再写出 的方程得出中垂线进而得出点 再求半径最后写出
圆的标准方程.
【详解】直线 的方程为 ，整理得 ．
直线 的方程为 ，整理得 ，
故线段 的中垂线方程为 ，
联立 解得则 ，半径为 ，
故圆 的标准方程为 ．
故答案为：
题型六：圆与方程（直线与圆的位置关系）
1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线 ，则 的最大
值，最小值分别为（ ）
A． ＋2， －2 B． ＋2，
C． ， －2 D． ，
【答案】C
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位
置关系求距离的最值
【分析】由题意可得曲线 表示的图形为以 为圆心，2为半径的半圆，
表示半圆上的动点与点 的距离，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由 ，可知 ， ，
且有 ，表示的图形为以 为圆心，2为半径的半圆，如图所示：
又因为 表示半圆上的动点与点 的距离，
又因为 ，
所以 的最小值为 ，
当动点与图中 点重合时， 取最大值 ，
故选：C．2．（多选）（24-25高三上·海南·开学考试）已知线段 是圆 的一
条动弦， 为弦 的中点， ，直线 与直线
相交于点 ，下列说法正确的是（ ）
A．弦 的中点轨迹是圆
B．直线 的交点 在定圆 上
C．线段 的最小值为
D． 的最大值为
【答案】ABD
【知识点】数量积的运算律、直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦
【分析】设 ，由已知结合垂径定理求得 的轨迹判断A；联立两直线方程消去
判断B；由选项A、B及两圆的位置关系判断C；由数量积运算结合选项C求得数量积的最
小值判断C．
【详解】对于选项A：设 ，因为 ， 为弦 的中点，
所以 .而 ，半径为2，
则圆心到弦 的距离为 .
又圆心 ，所以 ，
即弦 中点的轨迹是圆，故选项A正确；
对于选项B：由 ，消去 可得，
得 ，即 ，故选项B正确；
对于选项C：由选项A知，点 的轨迹方程为： ，
又由选项B知，点 的轨迹方程为： ，
所以 ， ， ，线段 ，故选项C不正确；
对于选项D：
，
故 ，故 ，
由选项C知， ，
所以 ，故选项D正确.
故选：ABD
3．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）曲线 与直线
仅有一个交点时，实数k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】化简曲线 ，即 ，画出图象分析直线
与曲线只有一个交点的情况分类讨论求解即可.
【详解】曲线 ，即
直线 过定点 ，
如图： ， ，
当直线 与曲线 有一个交点时，
则直线夹在了直线 与直线 之间，而 ，
所以此时k的取值范围是 ，
当直线与曲线 相切时也只有一个交点，则圆心 到直线 的距离为：
，解得 ，
所以实数k的取值范围是： .
题型七：圆与方程（圆与圆的位置关系）
1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆 和圆 的位置关
系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内含
【答案】C
【知识点】判断圆与圆的位置关系
【分析】计算两圆的圆心之间的距离和半径比较，即得答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为3，
圆 的圆心为 ，半径为2，
两圆的圆心距为 ，所以两圆外切.
故选：C
2．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）若圆 与圆
相内切，则 .
【答案】-23
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断点与
圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】求出两圆的圆心，确定 在圆 外部，所以圆 内切于圆 ，由圆心距得到方
程，计算即可.
【详解】由 ，
显然 ，
圆 相内切，
将 点坐标代入圆 方程知 ，即 在圆 外部，
所以圆 内切于圆 ，
则有 ，解之得 .
故答案为：
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 和圆
存在公共点，写出 的一个取值为 ．
【答案】5（答案不唯一，满足 均可）
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据两圆的位置关系列式运算得解.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以 ．
依题意 ，
故 ，解得 ，
所以可取 为5．
故答案为：5（答案不唯一， 均可）.
题型八：圆锥曲线（根据定义求轨迹方程）
1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点 到点 的距离比它到直线 的距
离小1，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、根据定义求抛物线的标准方程
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由于点 到点 的距离比它到直线 的距离小1，故点 到点 的距
离比它到直线 的距离相等，
故点 是在以 为焦点，以 为准线的抛物线上，
故轨迹为 ，
故选：A
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知点 为圆 上任意一点，点
，线段 的中垂线交 于点 ，求动点 的轨迹方程．【答案】
【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆
【分析】由中垂线性质可得，动点 到两定点 的距离之和为定值，结合椭圆的定义即
可求解.
【详解】由题意，线段 的中垂线交 于点 ，
所以 ,
即 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，
设点 的轨迹方程 ，
所以 ，则 ，
所以动点 的轨迹方程为 ．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动圆 与直线 恒过同一定点 ，且
与圆 外切，求动圆圆心 的轨迹方程.
【答案】
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程
【分析】由题意易得定点 ，再根据直线与圆外切，可得
，由双曲线定义即可得到双曲线的方程.【详解】易得定点 ，圆 的标准方程为 ，
所以圆 的圆心为 ，半径为 .
因为圆 与圆 外切，所以 ，
所以由双曲线定义知：动圆圆心 的轨迹是以 为焦点的双曲线的左半支.
因为 ，所以 .
故动圆圆心 的轨迹方程为 .
题型九：圆锥曲线（求圆锥曲线的标准方程）
1．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在 轴上，且经过两个点 和 ；
(2)经过点 .
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据椭圆过的点求标准方程
【分析】（1）设出焦点在 轴上椭圆的标准方程，利用待定系数法求解即可；
（2）由于椭圆的焦点所在位置不确定可设为： ，然后利用
待定系数法求解即可.
【详解】（1）焦点在 轴上的椭圆方程设为： .
由于椭圆经过两个点 和 ，
所以 ，解得 ，
所以所求的椭圆的标准方程为 .
（2）设椭圆的方程为： ，
由于椭圆经过点 ，，解得 ，
所以所求椭圆的标准方程为 .
2．（23-24高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1) ，焦点是 ， 的双曲线；
(2)离心率为 ，短轴长为6的椭圆.
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程
【分析】（1）由题意设双曲线方程为 根据焦点坐标和基本量关系求
解即可；
（2）分椭圆的焦点在 轴时和 轴时讨论求解即可.
【详解】（1）由题意设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ，
又 ，故 ，
所以双曲线的方程为 .
（2）当焦点在 轴时，设椭圆方程为 ，
由题可得 ，解得 ， ，
所以椭圆方程为 ；
当焦点在 轴时，设椭圆方程为 ，由题可得 ，解得 ， ，
所以椭圆方程为 ；
所以，所求椭圆方程为 或 .
3．（23-24高二上·全国·课后作业）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为 ；
(2)焦点在直线 上．
【答案】(1)
(2) 或 ．
【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】（1）设抛物线的方程为 ，由 ，求得 ，即可求出物线的标
准方程；
（2）分别令 或 ，求出抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线的标准方程．
【详解】（1）准线方程为 ，即 ，故抛物线的焦点在 轴的正半轴上，
设其方程为 ．
，故所求抛物线的标准方程为 ．
（2）令 得 ；令 得 ．
抛物线的焦点为 或 ，
所求抛物线的标准方程为 或 ．
题型十：圆锥曲线（离心率）
1．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆 的左、右焦点分别为
，点 在 上（ 位于第一象限），且点 关于原点 对称，若
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的
其他问题
【分析】根据对称以及垂直可证四边形 是矩形，即可根据椭圆定义，以及勾股定理
求解 ，根据 得 ，即可求解离心率.
【详解】点 关于原点对称，所以线段 互相平分，故四边形 为平行四
边形，
又 ，故 ，所以四边形 是矩形，故 ，其中
，
设 ，则 ，由 ，得 ，整理得
，
由于点 在第一象限，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 ．
故选：C
2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知双曲线 的右顶点为 ，右焦点
为 ， 为渐近线上一动点，且 在第一象限内， 为坐标原点，当 最大时，
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设出 点的坐标，然后表示出 的斜率，利用到角公式表示出 ，
最后结合基本不等式求出 取得最大值时的条件，结合此时 ，即可求出离心率.
【详解】
由已知得 ，渐近线方程为 ，设 ，
则
所以
，当且仅当 即 时等号成立，
此时 ，即 ，
即 解得 或 （舍去）.
故选：D
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆 与双曲线
共焦点， 分别为左、右焦点，点 为 与 的一个交点，
且 ，设 与 的离心率分别为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨
析、双曲线定义的理解
【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理构造齐次式，再利用对勾函数的性质求
范围即可.【详解】设点 在第一象限，由题知 ，
解得 ， ，
在 中，由余弦定理得， ，
化简得 ，即 ，
所以 ，
令 ，因为 ，所以 ，
则 ，
由“对勾”函数的性质可知，函数 在区间 上单调递增，
所以 ．
故选：C
4．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）已知椭圆 的右焦点和上顶
点分别为F和A，连接 并延长交椭圆C于B，若 ，则椭圆C的离心率为
．
【答案】
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、直线的点斜式方程及辨析、椭圆中三角
形（四边形）的面积
【分析】先根据面积比例关系得出点B的横坐标，点在直线AF上得出B的坐标，最后应
用点B在椭圆上得出 得出离心率.【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
设 ，设直线 ，
点 在直线 上，所以 ，
点B在椭圆上，可得 ，
所以 ，即得 .
故答案为: .
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，点 是 上的一点，直线 的方程为 ，且 于 ．若四边形
为平行四边形，求 的离心率的取值范围．
【答案】
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用条件设P表示Q，由平行四边形的性质及椭圆的性质得出不等关系计算即可.
【详解】注意到直线 ，设 ，则 ，
又四边形 为平行四边形，所以 ，
即 ，所以 ，解得 ，
故 的离心率的取值范围为 ．题型十一：圆锥曲线（中点弦问题）
1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知 是直线l被椭圆 所截得的线段
AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求弦中点所在的直线方程或斜率、由韦达定理或斜
率求弦中点
【分析】设出直线 方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用 表示中点坐标，结合已知中点
坐标解关于 的方程可得
【详解】当直线 斜率不存在时，
由对称性可知，此时直线 被椭圆 所截得的线段AB的中点在 轴上，
而已知 是线段AB的中点，不在 轴上，不满足题意.
故直线斜率存在，可设斜率为 ，则直线的方程为 ，
即 ，
代入椭圆的方程化简得 ，
所以 ，解得 ，
故直线 方程为 ，即 .
故选：B.
2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线 交于A、B两点，
且弦 的中点为 ，则直线l的方程为 ．
【答案】
【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可
求解直线方程．
【详解】设 ， ，
则 ， ，
又 ， ，两式相减，得 ，
即 ，整理得 ，
直线l的斜率为 ，
直线l的方程为 ，
化简得 ，经检验满足题意.
故答案为： .
3．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C： ．
(1)若直线 与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点 对称，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
【分析】（1）由直线与双曲线相交的性质求解；
（2）由点差法求解直线方程．
【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为 ，要使直线 与双曲线C有公共点，
则有 ，即实数k的取值范围为 ．
（2）设点 ， ．∵点 恰好为线段AB的中点，
∴ ， ．
由 ，两式相减可得，
，
即 ，∴ ，
∴直线l的斜率 ，∴直线l的方程为 ，
即 ．
4．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线 的焦点为 ，点 在
上， ，已知 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线的中点弦、根据焦点或准线写出抛物线的
标准方程
【分析】（1）因为 ，所以 ，即 轴，因为抛物线
的通径长为 ，代入即可得解；
（2）易知直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，然后利用点差法结
合条件可得斜率进而即得,
【详解】（1）
因为 ，
所以 ，即 轴.
令 ，可得 ，
， ，
所以 ，得 ，
故抛物线 的方程为 .
（2）如图，易知直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，
则两式相减得 ，整理得 .
因为 的中点为 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
由直线 过点 ，必和抛物线有两个交点，
所以直线 的方程为 .
5．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知动点 到点 （ 为常数且 ）的距离与到
直线 的距离相等，且点 在动点 的轨迹上．
（1）求动点 的轨迹 的方程，并求t的值；
（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹 交于 两点，点 是线段 的中点，
求直线 的方程．
【答案】（1） ， ；（2） .
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线的中点弦
【解析】（1）根据抛物线定义得 代点 得 ，代值化简即得轨迹
的方程；
（2）设 ，用点差法及点 是线段 的中点可得 ，代入直
线点斜式化简即可.
【详解】解（1）由抛物线定义可得点 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
则轨迹 ，
代点 得 ，所以轨迹 的方程为
（2）设 则
相减得
所以 ，因为点 是线段 的中点，
所以 ，即
所以直线 的方程为 ，即 .
【点睛】
用“点差法”求解弦中点问题的步骤：
（1）设点：设出弦的两端点坐标；
（2）代入：代入圆锥曲线的方程；
（3）作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；
（4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解.
题型十二：圆锥曲线（焦点三角形中的问题）
1．（多选）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆 的长轴端点分别
为 ，两个焦点分别为 是 上任意一点，则（ ）
A．椭圆 的离心率为
B． 的周长为
C． 面积的最大值为
D．
【答案】ABD
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心
率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.
【详解】椭圆 的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距
，
对于A，椭圆 的离心率为 ，故A正确；
对于B， 的周长为 ，故B正确；
对于C， ，设 ，则 面积的最大值为，故C错误；
对于D，设 ，
，
因此 ，故D正确.
故选：ABD.
2．（多选）（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为
， 为椭圆 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的周长为8 B．存在点 ，使得
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】BCD
【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题
【分析】对A项, 根据椭圆的定义,即可判断; 对B项, 设出点 的坐标，根据两点
间距离公式和椭圆的定义, 即可求出点 ;对C项,表示出 ,据椭圆的范围即可得到范
围，进而判断; 由椭圆的定义可得, , ,求出
的范围,即可判断.
【详解】
由 可得 ,焦点坐标分别为 .对A项, 的周长为 ，故A错误;
对B项,设存在点 ,根据两点间距离公式和椭圆的定义 得 ,
即 ,解得 或 ,故B正确;
对C项, 设点 , ,则 ,
所以 , ,
则 ,又因为 ,所以 ,
所以 的取值范围为 ,故C正确;
对D项, 由C知, ,则 ,因为 ,
所以 ,则 ,同理可得 ,所以
,
当 时,取得最大值 ,
当 或 时, 的值 ,但 且 ,所以 的取值范围
为 ,故D正确.
故选:BCD.
3．（多选）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线 与双曲线 交于
两点，点 位于第一象限，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 为双曲线的左焦点，则
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的面积为4
C．
D． 的最小值为4【答案】AD
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求点到
直线的距离、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
【分析】根据已知，结合四边形 的形状判断AB；将 转化成直线斜率，借助渐
近线斜率判断C；由双曲线定义 ，结合 与 之间的
关系求最值判断D.
【详解】设双曲线右焦点为 ，由题意可知，四边形 为平行四边形，
由双曲线 可知： ，
对于A，因为 ，所以 ，所以四边形 为矩形，所以 ，
故A正确；
对于B，据双曲线定义可知： ，
若 ，则四边形 为矩形，
则 ，所以 ，
即
所以 ，所以 ，
所以 ，故B不正确；
对于C，由双曲线的方程可知，
在 中， ，
又因为双曲线渐近线方程为： ，所以 ，
所以 ，即 ，故C错误；
对于D，
当且仅当 时， 取到最小值为4，故D正确．
故选：AD．4．（多选）（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ， ，实轴的左、右端点分别为 ， ，虚轴的上、下端点分别为 ， ，斜率为
的直线 经过 且与 的左支交于两个不同的点， 为 上一点，且 ，则
（ ）
A． B．四边形 的周长小于24
C． D． 的面积为
【答案】ABD
【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中三角形（四边形）的
面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的实轴、虚轴
【分析】对于A，求出实轴长度即可判断；对于B，由勾股定理即可判断；对于C，画出图
形即可判断；对于D，结合双曲线定义、余弦定理得 ，进一步结合三角形面
积公式即可求解.
【详解】对于A， 的实半轴长 ，虚半轴长 ，半焦距 ，渐近线方
程为 ，所以 ，所以A正确；
对于B，四边形 的周长为 ，所以B正确；
对于C，作出 与其渐近线，直接由图形得， ，所以C错误；
对于D，不妨设 位于 的左支，则 ，
所以 ①，因为 ，所以 ，
所以 ②，
所以 得， ，
所以三角形 的面积为 ，所以D正确.
故选：ABD.
题型十三：圆锥曲线（圆锥曲线中的定点问题）
1．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆C： 的左、右焦点分别
为 ，点 是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点 关于x轴的对称点为点
.当直线 过左焦点 时， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆交于另外一点 （点 和点 不重合），证明直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】椭圆的对称性、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根
据韦达定理求参数
【分析】（1）根据题意易知 ，利用通径长 可得 ，即可知椭
圆方程；
（2）设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立并利用对称性和韦达定理，由
三点共线可得 ，即可得直线 恒过定点 .
【详解】（1）由已知得直线 过左焦点 时， 即为通径，可得 ；
又 ，且 ，解得 ；
所以椭圆C的方程为
（2）由题意得直线AP的斜率一定存在，
如下图所示：设直线 的方程为 ，
联立直线 和椭圆方程 ，消去 可得 ，
所以可得
因为 三点共线，可得 ，
所以 ，即 ，
即
所以 ，
也即 ,可得 ，
所以直线 的方程为
即直线 恒过定点 .
2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ，
过 作直线 与 交于 两点， （ ）．
(1)当 时，求 的值；
(2)是否存在异于点 的定点 使得 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1) 或
(2)存在，
【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问
题、数量积的坐标表示、根据韦达定理求参数
【分析】（1）设 ,由 并与抛物线方程联立得 ，结合数量积的坐标表示计算即得.
（2）确定 点在 轴上，设出直线 的方程， ，与抛物线方程联立，利用韦达定理
及直线 斜率和为0即可.
【详解】（1）当 时，直线 垂直 轴，故 ，所以 不合题意，
故 ，设 ，由 得 ，即
， ，
， 得， ，即 ，则
，
又 ，得 ，
故
,
化简得: ,则 或 ．
（2）由题意，当 时，直线 垂直 轴， ， 在 轴上，
故若存在定点 ，则 必在 轴上，
记直线 的斜率分别为 ，则 ，
设 ， ，
联立 与 得 ，
所以 ，
因为 ，
即 ，则 ，
故存在定点 使得 ．3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线 ，焦点为 ，点 在
上，直线 ∶ 与 相交于 两点，过 分别向 的准线 作垂线，垂足
分别为 .
(1)设 的面积分别为 ，求证： ；
(2)若直线 ， 分别与 相交于 ，试证明以 为直径的圆过定点 ，并求出点
的坐标.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析， 和
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中存在定点满足某条件问题
【分析】（1）将点 代入得抛物线方程为 ，设
，联立直线与抛物线方程，韦达定理，然后用坐标表
示三个三角形的面积，化简即可证明.
（2）先求出直线 的方程，令 得点 的坐标，同理得点 的坐标，从而求出以
为直径的圆，令 得圆恒过的定点.
【详解】（1）将 代入 ，得 ，所以抛物线方程为 ，
由题意知 ，设 ，
由 得， ， ，
所以 ，
所以
，即 .
（2）直线 的斜率 ，故直线 的方程为 ，令 得 ，
所以点 的坐标为 ，同理，点 的坐标为 ，
设线段 的中点为 ，则
= ，
又 =
，
所以以 为直径的圆为 ，
即 ，令 得 或 ，
故以 为直径的圆过定点 和 .
题型十四：圆锥曲线（圆锥曲线中的定值问题）
1．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C： ＋y2＝1，P是椭圆C上异于M，N(M，N
在椭圆上关于y轴对称)的任意一点，且直线MP，NP分别与y轴交于点S，R，O为坐标原
点，求证：OR·OS为定值．【答案】证明见解析
【知识点】椭圆中的定值问题
【详解】
证明：设P(x，y)，M(x，y)，N(－x，y)，
0 0 1 1 1 1
由题知直线MP，NP的斜率存在，
则直线MP的方程为 ＝ .
令x＝0，得yS＝ ＋y
0
＝ ＝ ，
同理，得yR＝ ，故yR·yS＝ .(*)
又点M与点P在椭圆上，所以y＝1－ ，y ＝1－ .
代入(*)式，得yR·yS＝ ＝ ＝1，所以OR·OS＝|yR|
·|yS|＝|yR·yS|＝1，为定值．
2．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知双曲线 ： 实轴 长为4（ 在 的
左侧），双曲线 上第一象限内的一点 到两渐近线的距离之积为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过 的直线与双曲线交于 ， 两点，记直线 ， 的斜率为 ， ，请从
下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.
① 为定值；
② 为定值；
③ 为定值
【答案】(1)
(2)③正确，证明见解析
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数
【分析】
（1）首先求双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式，即可求双曲线方程；
（2）首先设直线 ： ，与双曲线方程联立，得到 ，
，再利用根与系数的关系表示 ， ，以及 ，判断定值.
【详解】（1）
设 是 上的一点， 与 是 的两条渐近线，
到两条渐近线的距离之积 ，
依题意， ，故 ，双曲线 的标准方程为 ；
（2）
正确结论：③ 为定值.
证明如下：由（1）知 ， ，设 ， ，
因为 ， 不与 ， 重合，所以可设直线 ： ，
与 联立： ，消去 整理可得：
故 ， ， ，
所以 ，
， ，
① ，
，不是定值，
② ，
，不是定值，③ ，
所以 是定值.
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点 是抛物线 ： 的焦点，纵坐标为
2的点 在 上，以 为圆心、 为半径的圆交 轴于 ， ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过 作直线 与抛物线 交于 ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)2
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题
【分析】（1）根据焦半径公式和圆的弦长公式可解；
（2）设直线方程为 ，联立抛物线方程，利用韦达定理可得.
【详解】（1）由题知， 点的横坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，解得 ，
∴抛物线 的方程为 .（2）由（1）知 ，设 ， ，直线 的方程为 ，
代入 ，整理得 ，∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴
.
题型十五：圆锥曲线（圆锥曲线中的定直线问题）
1．（23-24高三下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆 ．如图所
示，斜率为 且过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，
射线 交椭圆 于点 ，交直线 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 在射线 上，且 ，求证：点 在定直线上．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【知识点】椭圆中的定直线、求直线与椭圆的交点坐标、由韦达定理或斜率求弦中点
【分析】（1）设直线 的方程为 ，联立 ，根据 为线段
的中点，表示E的坐标，写出 所在直线方程，再由 在直线上求解；（2）由 直线的方程与椭圆 的方程联立，解得G的坐标，再由 得
求解.
【详解】（1）设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
由题意知 恒成立，
由韦达定理 ，所以 ，
因为 为线段 的中点，
所以 ， ，
此时 ．
所以 所在直线方程为 ，
又由题设知 ，
令 ，得 ，
即 ．
（2）由（1）知 所在直线的方程为 ，
将其代入椭圆 的方程，并由 ，
解得 ，
又 ，
由 得 ，
所以 ，
所以点 在定直线 上．
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是将 线段关系，转化为横坐标关系
求解.2．（23-24高三·云南·阶段练习）已知双曲线 ： 的离心率为2，F
为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过F且不与渐近线平行的直线 （斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，
记双曲线C在点M，N处的切线分别为 ， ，点 为直线 与直线 的交点，试判断点
是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方
程为 ，则该双曲线在点 处的切线方程为 ）
【答案】(1)
(2)在，定直线为
【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题
【分析】（1）由离心率得 ，从而 ，再把双曲线所过点的坐标代入可求得
各双曲线方程；
（2）设 ， ，直线 ，代入双曲线方程应用韦达定
理得 ，写出两条切线方程，记 ，代入两个切线方程相加，并代入 可得
的一个关系式，相减又得一个关系式，两者结合消去参数 可得 ，从而得出结
论．
【详解】（1）据题意 ，
则 ， ， 是双曲线 上的一个点，则 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）设 ， ，直线 ，
联立直线与双曲线：
， ，由题知，切线 ，切线 ，
记 ，则
①+②得 ，
将 代入得 ③；
①−②得 ，
由 得 ④，联立③和④得 ，
故 ，又 ，所以 ，则 ，
故点 的轨迹方程为 ，所以 点在定直线 上.
3．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知抛物线 的焦点到准线的距离为
2，直线 交抛物线于 ， 两点.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ，点 为直线 ， 的交点.
（i）求证：点 在一条定直线上；
（ii）求 面积的取值范围.
【答案】（1） ；（2）（i）证明见解析；（ii） .
【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的定直线、抛物线中的参数
范围问题
【解析】（1）由题意可得 ，代入抛物线方程即可求解.
（2）（i）联立方程组 消去 ，求出两根之和、两根之积，再求出切线 方程
以及切线 方程，求出两直线的交点即可求解.
（ii）利用点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离，再利用弦长公式求出 ，由
即可求解.【详解】解：（1）抛物线 的焦点到准线的距离为2，
可得 ，所以抛物线的标准方程为 .
（2）联立方程组 消去 得， ，
∴ ，
由 得， ，所以切线 方程为
切线 方程为
联立直线 ､ 方程可解得 ， .
（i）所以点 的坐标为 .
所以点 在定直线 上
（ii）点 到直线 的距离为 .
所以
的面积为
所以当 时， 有最小值 .
面积的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出抛物线的
两切线方程，考查了运算求解能力，需熟记弦长公式.
题型十六：圆锥曲线（圆锥曲线中的向量问题）
1．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆 过点
，且离心率 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线 与椭圆E相交于M，N两点，与y轴相交于点 ，且满足 ，
求直线 的方程．【答案】(1)
(2) 或
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、椭圆中向量共线比例问
题
【分析】（1）代入点的坐标，并根据离心率建立关于 的方程组，即可求解；
（2）首先直线方程与椭圆方程联立，结合坐标间的关系，代入韦达定理，即可求解.
【详解】（1）由已知得： 解得 ， ，
∴椭圆E的方程为 ．
（2）由题可设直线 ， ， ，
联立 消去y得 ，
由根与系数的关系可得： ， ，
由 ，得 ，
∴ ， ，∴ ，
即 ，解得 ，
∴直线 的方程为 或 ．2．（2024高三·上海·专题练习）已知常数 ，向量 ， ，经过定点
且以 为方向向量的直线与经过定点 且以 为方向向量的直线交
于点 ，其中 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）若 ，过 的直线 交曲线 于 ， 两点，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【知识点】双曲线中的参数及范围、双曲线中向量点乘问题、直线方向向量的概念及辨析
【分析】（1）由题意结合直线方向向量的性质可得 ， ，由平
面向量共线的坐标表示可得 ， ，消去 即可得解；
（2）按照直线 斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，联立方程组，结合韦达定理、平
面向量数量积的坐标运算即可得 ，求出取值范围即可得解.
【详解】（1）设 ，则 ， ，
又 ， ，
由题意 ， ，
∴ ， .
消去 得点 轨迹 的方程 ；
（2）当 时，点 轨迹方程为 ，此时 为双曲线焦点，
①若直线 斜率不存在，直线 ，不妨设 ，
易求得 ；
②若 斜率存在，设 ，
代入 ，整理得 ，则 ，
设 ， ，则 ， ，
，
由 且 可得 ，
所以 ；
综上， 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了直线方向向量、平面向量共线的坐标表示、数量积的坐标运算，考查
了直线与双曲线的位置关系及运算求解能力，属于中档题.
3．（2024·湖南·二模）已知抛物线 ，焦点为 ，过 作两条关于直线
对称的直线分别交 于 两点．
(1)判断直线 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
(2)若 三点在抛物线 上，且满足 ，证明
三个顶点的横坐标均小于2．
【答案】(1)是定值，
(2)证明见解析
【知识点】抛物线中的参数范围问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问
题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）设直线 的方程为 ，与抛物线联立，利用韦达定理代入
，整理计算可得答案；
（2）利用坐标计算 ，设直线 的方程为 ，与抛物线联立，利
用韦达定理可得 点坐标，代入抛物线方程结合判断式可得其横坐标的范围，同理可得
两点的横坐标，进而可证明结论.
【详解】（1）由题意不妨设直线 的方程为 ，设 ，
联立 ，消去 得 ， ，
所以 ，因为直线 与 关于直线 对称，
所以 ，且 ，
所以 ，即 ，
即 ，将 代入得
解得 ，所以直线 的斜率为定值 ；
（2）由已知 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
设直线 的方程为 ，联立 ，消去 得 ，
，
所以 ，所以 ，
所以 ，即点 的坐标为 ，
又点 在抛物线 上所以 ，得 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以点 的横坐标 ，
同理可得 两点的横坐标也小于 ，
所以 三个顶点的横坐标均小于2.【点睛】方法点睛：直线和圆锥曲线相交的问题，通常将圆锥曲线和直线联立，然后利用
韦达定理结合题目中的条件来解答.
题型十七：圆锥曲线（圆锥曲线中的最值、范围问题）
1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直
线 （斜率为正数）与 由左至右交于 、 两点，连接 并延长交 于点 ．
(1)证明： ；
(2)当 的内切圆半径 时，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）设直线 的方程为 ，设点 、 ， ，将直线
的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算 ，即可证得结论成立；
（2）由（1）可知， 的内切圆圆心在 轴上，设圆心的坐标为 ，则
，设直线 的方程为 ，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定
理，求出直线 的方程，利用内切圆圆心的几何性质可得出 ，进而可得出 的取
值范围，再利用弦长公式结合韦达定理可求得 的取值范围.
【详解】（1）解：易知抛物线 的焦点为 ，
若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ， ，
则 ，由 得 ， ，由韦达定理可得 ， ，
则
，所以 ．
（2）解：由（1）可知： 的内切圆圆心在 轴上，
所以设圆心 ，则 ，设直线 的方程为 ，且 ，
由 得 ， ，且 ，则 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
因为点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，所以 ，
所以， ， ，
则 ，上述两个等式作差可得 ，可得 ，
所以 ，
因为 在 上单调减，所以 ．
所以 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的
等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的
取值范围.
2．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系 中，等轴双曲线 和 的中心均为O，
焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2， 的右焦点F到 的渐近线的距离为2．
(1)求 ， 的方程；
(2)过F的直线交 于A，B两点，交 于D，E两点， 与 的方向相同．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求共渐近线的双曲线的标准方程、求双曲线
中的最值问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据双曲线特征设 ，结合已知列方程求解；
（2）（ⅰ）先设直线再联立方程应用两根的和结合中点M，即可证明；（ⅱ）先把面积转
化为 再设函数 借助导函数正负得出函数的单调
性进而求出最小值.
【详解】（1）由题设可设 ,这里 .
易知 渐近线为 ，焦距为 , 的右焦点 ，
由题设可知 , 解得 .
所以 的方程为 , 的方程为 .
（2）（ⅰ）设直线 ,
联立直线 和 的方程 ,得 .为使直线 和 均有2个交点，必须有 ， ,
解得 且 ．
由韦达定理可得
注意到 ，因此线段 和线段 具有相同的中点．
记上述中点为 ，注意到 ,所以 .
（ⅱ）由（ i ）可知 和 的面积相等．
记 的面积为 , 的面积为 , 的面积为 .
由 与 的方向相同可知 .
因为 ，
同理
所以 ，
,
设 ,
则
,
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
因此 ,
当且仅当 时，等号成立，
因此， 面积的最小值为 ．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点时把面积转化为 ，设函数
借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值.
3．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知动点 与定点 的距离和 到定直线
的距离的比是常数 ，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过原点 的直线交 于 两点，过 作直线 的垂线交 于点 （异于点 ），直
线 与 轴， 轴分别交于点 .设直线 ， 的斜率分别为 ， .
（ⅰ）证明： 为定值；
（ⅱ）求四边形 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） .
【知识点】轨迹问题——椭圆、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题
【分析】（1）设 ，根据题意得 ，用两点间距离公式代入计算即可.
（2）（ⅰ）设 ， ，则 ，把点代入方程可得 ，，结合斜率 ，化简即可证明.
（ⅱ）由题意得，直线 的斜率一定存在，且不为0，因为 ，结合（1）的结论
可计算 ，从而可得直线 的方程，继而可得 ， ，所以四边形
的面积为 ，利用 结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）设 ，动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是
常数 ，则 ，即 ，得 ，
化简得： .所以 的方程为 .
（2）设 ， ，则 .
（ⅰ）因为 在椭圆上，所以 ， ，
即 ， ，
所以 ，
所以 为定值.
（ⅱ）由题意得，直线 的斜率一定存在，且不为0.
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
由（ⅰ）得 ，所以 ，所以 ： .
令 ，得 ，所以 ，令 ，得 ，所以 ，
所以四边形 的面积为 .
因为 ，
又 ，即 ，所以 ，当且仅当 ， 时，等号成立.
所以 ，所以四边形 的面积的最大值为 .
第二部分：新定义题
1．（23-24高二上·上海宝山）已知椭圆 的焦点和上顶点分别为
，定义： 为椭圆 的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似
三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似
比，已知点 是椭圆 的一个焦点，且 上任意一点到它的两焦点的距
离之和为4
（1）若椭圆 与椭圆 相似，且 与 的相似比为2：1，求椭圆 的方程.
（2）已知点 是椭圆 上的任意一点，若点 是直线 与抛物线
异于原点的交点，证明：点 一定在双曲线 上.
（3）已知直线 ，与椭圆 相似且短半轴长为 的椭圆为 ，是否存在正方形
，（设其面积为 ），使得 在直线 上， 在曲线 上？若存在，求出函数
的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）详见解析；（3）
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、直线与抛物
线交点相关问题、圆锥曲线新定义
【分析】（1）先计算椭圆 ： ，根据相似比得到椭圆 的方程.（2）点 是椭圆 上的一点，则 ，设 ，计算
得到证明.
（3）根据题意：只需 上存在两点 关于 对称即可，利用韦达定理计算
， 得到答案.
【详解】（1）根据题意知，椭圆 ： ， ，椭圆 ：
椭圆 与椭圆 相似，且 与 的相似比为2：1，则
椭圆 的方程为：
（2）点 是椭圆 上的一点，则 ，
设
故
所以点 一定在双曲线 上
（3） ： 根据题意：只需 上存在两点 关于 对称即可
设 ，设 的中点为
由韦达定理知：
在直线 上，则
故 ，
此时正方形的边长为故
2．（23-24高三上·上海徐汇）给定椭圆 ，称圆心在坐标原点
O，半径为 的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是
.
（1）若椭圆C上一动点 满足 ，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点 作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C
的“伴随圆”所得弦长为 ，求P点的坐标；
（3）已知 ，是否存在a，b，使椭圆C的
“伴随圆”上的点到过两点 的直线的最短距离 .若存
在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）椭圆方程 ，伴随圆方程 ；（2） ；（3）存在，
．
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、圆锥曲线新
定义
【详解】试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知 ，要求椭圆标准方程，
已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求 点坐标，我们可设直线 方程为 ，直
线 与椭圆只有一个公共点，即直线 的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一
个解，消元后利用 可得 的一个方程，又直线 截圆所得弦长为 ，又得一个关
于 的方程，联立可解得 ；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存
在，然后去求出这个 ，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出
过点 的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为 ，可见当圆半径不
小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当 时，
，但由于 ，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为 ，由此得 ，又有
，可解得 ，故存在．
试题解析：（1）由题意： ，则 ，所以椭圆 的方程为
， 2分
其“伴随圆”的方程为 ． 4分
（2）设直线 的方程为
由 得 6分
则有 得 ， ① 7分
由直线 截椭圆 的“伴随圆”所得弦长为 ，可得
，得 ② 8分
由①②得 ，又 ，故 ，所以 点坐标为 ． 10分
（3）过 的直线的方程为： ，
即 ，得 12分
由于圆心 到直线 的距离为
， 14分
当 时， ，但 ，所以，等式不能成立；
当 时， ，
由 得 所以
因为 ，所以 ，
得 ．所以 18分
