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2019 年辽宁省沈阳市铁西区中考数学模拟试卷
一．选择题（满分20 分，每小题2 分）
1．计算
的正确结果是（ ）
A．
B．
C．1 D．﹣1
2．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（ ）
A．3x﹣9y
B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b）
3．如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．我县人口约为530060 人，用科学记数法可表示为（ ）
A．53006×10 人
B．5.3006×105 人
C．53×104 人D．0.53×106 人
5．某区“引进人才”招聘考试分笔试和面试．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数
作为总成绩．吴老师笔试成绩为90 分．面试成绩为85 分，那么吴老师的总成绩为（ ）分．
A．85
B．86
C．87
D．88
6．在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（2﹣a，0），且A 在B 的左边，点C（1，﹣1），连接AC，
BC，若在AB，BC，AC 所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4 个，那
么a 的取值范围为（ ）
A．﹣1＜a≤0 B．0≤a＜1
C．﹣1＜a＜1 D．﹣2＜a＜2
7．如图，在△ABC 中，P、Q 分别是BC.AC 上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝
PQ，PR＝PS，则这四个结论中正确的有（ ）
①PA 平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
8．方程
解是（ ）
A．
B．x＝4 C．x＝3 D．x＝﹣4
9．已知反比例函数y＝
的图象经过点P（﹣2，3），则下列各点也在这个函数图象的是
（ ）
A．
（﹣1，﹣6）B．
（1，6）C．（3，﹣2）D．（3，2）
10．二次函数的图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；
③4a+2b+c＜0；④2a+b＝0．其中正确的结论有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分）
11．（3 分）计算：（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）＝_____________．
12．（3 分）小林同学对甲、乙、丙三个市场某月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个
月三个市场的价格平均值相同，方差分别为S 甲2＝7.5，S 乙2＝1.5，S 丙2＝3.1，那么该月
份白菜价格最稳定的是__________-市场．
13．（3 分）已知关于x 的一元二次方程x2+bx+1＝0 有两个相等的实数根，则b 的值为
_________．
14．（3 分）如图，已知AB∥CF，E 为DF 的中点，若AB＝8，CF＝5，则BD＝________．
15．（3 分）已知关于x 的不等式组
有5 个整数解，则a 的取值范围是________．
16．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A，C 的坐标分
别为A（10，0），C（0，4），点D 是OA 中点，点P 在边BC 上运动，当△ODP 是等腰三角形时，点P
的坐标为_________．
三．解答题（共3 小题，满分22 分）
17．（6 分）已知x，y 满足方程组
，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
18．（8 分）如图，△ABC 中，AD 是高，E.F 分别是AB.AC 的中点．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF 的周长；
（2）EF 与AD 有怎样的位置关系？请证明你的结论．
19．（8 分）不透明的袋中装有3 个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从
袋中摸取一个小球后放回，再随机地摸取一个小球，（用列表或树形图求下列事件的概率）
（1）两次取的小球都是红球的概率；
（2）两次取的小球是一红一白的概率．
四．解答题（共2 小题，满分16 分，每小题8 分）
20．（8 分）2017 年3 月27 日是全国中小学生安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织
了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整致，满分为100 分）
进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图．
（1）a＝_______，n＝_________；
（2）补全频数直方图；
（3）该校共有2000 名学生．若成绩在70 分以下（含70 分）的学生安全意识不强，有待进一步
加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
21．
（8 分）某商场用2700 元购进甲、乙两种商品共100 件，这两种商品的进价、标价如下表所
示：
类型
价格
甲种
乙种
进价（元/件）
15
35
标价（元/件）
20
45
（1）求购进两种商品各多少件？
（2）商场将两种商品全部卖出后，获得的利润是多少元？
五．解答题（共4 小题，满分44 分）
22．（10 分）如图，在平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于
点C，交AD 于点E，延长BA 与⊙A 相交于点F．若
的长为
，求图中阴影部分的面积．
23．（10 分）如图，Rt△AOB 在平面直角坐标系中，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点B
在y 轴上，OB＝2
，AO＝6，∠ABO 的角平分线BE 与AB 的垂直平分线DE 的交点E 在AO 上．
（1）求直线BE 的解析式；
（2）求点D 的坐标；
（3）x 轴上是否存在点P，使△PAD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
24．（12 分）点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A，C 重合），分别
过点A，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E，F，点O 为AC 的中点．
（1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；
（2）当点P 运动到如图2 所示位置时，请你在图2 中补全图形并通过证明判断（1）中的结论
是否仍然成立；
（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE 之间有怎样
的数量关系，直接写出结论不必证明．
25．（12 分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x 轴交于A.B 两点（点A 在点B 的左边），
与y 轴交于点C，点D 为抛物线的顶点．
（1）求点A.B.C 的坐标；
（2）点M（m，0）为线段AB 上一点（点M 不与点A.B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交
于点E，与抛物线交于点P，过点P 作PQ∥AB 交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x 轴于点N，可得
矩形PQNM．如图，点P 在点Q 左边，试用含m 的式子表示矩形PQNM 的周长；
（3）当矩形PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的△AEM 的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，
与直线AC 交于点G（点G 在点F 的上方）．若FG＝2
DQ，求点F 的坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：
＝﹣（
）＝﹣1．
故选：D．
2．解：将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+9y（a﹣b）因式分解，应提的公因式是3（a﹣b）．
故选：D．
3．解：一个直立在水平面上的圆柱体，从正面看是一个矩形，
故选：B．
4．解：∵530060 是6 位数，
∴10 的指数应是5，
故选：B．
5．解：根据题意得，吴老师的综合成绩为90×60%+85×40%＝88（分），
故选：D．
6．解：∵点A（a，0）在点B（2﹣a，0）的左边，
∴a＜2﹣a，
解得：a＜1，
记边AB，BC，AC 所围成的区域（含边界）为区域M，则落在区域M 的横纵坐标都为整数的点个
数为4 个，
∵点A，B，C 的坐标分别是（a，0），（2﹣a，0），（1，﹣1），
∴区域M 的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的4 个横纵坐标都为整数的点都在区域M 的边界上，
∵点C（1，﹣1）的横纵坐标都为整数且在区域M 的边界上，
∴其他的3 个都在线段AB 上，
∴2≤2﹣a＜3．
解得：﹣1＜a≤0，
故选：A．
7．解：（1）PA 平分∠BAC．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，AP＝AP，
∴△APR≌△APS，
∴∠PAR＝∠PAS，
∴PA 平分∠BAC；
（2）由（1）中的全等也可得AS＝AR；
（3）∵AQ＝PR，
∴∠1＝∠APQ，
∴∠PQS＝∠1+∠APQ＝2∠1，
又∵PA 平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∴∠PQS＝∠BAC，
∴PQ∥AR；
（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP＝∠CSP，
∵PR＝PS，
∴△BRP 不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．
故选：B．
8．解：两边都乘以（x﹣1）（x+2），得：2（x﹣1）＝x+2，
解得：x＝4，
检验：x＝4 时，（x﹣1）（x+2）＝3×6＝18≠0，
∴原分式方程的解为x＝4，
故选：B．
9．解：∵反比例函数y＝
（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6．
A.﹣1×（﹣6）＝6；B.1×6＝6；C.﹣3×2＝﹣6；D.2×3＝6．
故选：C．
10．解：①∵二次函数的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣
＝1，
∴2a+b＝0，b＞0
∴abc＜0，故正确；
②∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故正确；
③∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴抛物线上x＝0 时的点与当x＝2 时的点对称，
即当x＝2 时，y＞0
∴4a+2b+c＞0，
故错误；
④∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣
＝1，
∴2a+b＝0，
故正确．
综上所述，正确的结论有3 个．
故选：B．
二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分）
11．解；原式＝6x4÷（﹣2x2）﹣8x3÷（﹣2x2）
＝﹣3x2+4x，
故答案为：﹣3x2+4x．
12．解：∵S 甲2＝7.5，S 乙2 ＝1.5，S 丙2＝3.1，
∴S 甲2＞S 丙2＞S 乙2，
∴该月份白菜价格最稳定的是乙市场；
故答案为：乙．
13．解：根据题意知，△＝b2﹣4＝0，
解得：b＝±2，
故答案为：±2．
14．解：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠ACF，∠AED＝∠CEF，
在△AED 和△CEF 中，
，
∴△AED≌△CEF（AAS），
∴FC＝AD＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
15．解：
，
由①得：x≤3，
由②得：x＞a，
∴不等式的解集为：a＜x≤3，
∵关于x 的不等式组
有5 个整数解，
∴x＝﹣1，0，1，2，3，
∴a 的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1．
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
16．解：当P1O＝OD＝5 时，由勾股定理可以求得P1C＝3，
P2O＝P2D 时，作P2E⊥OA，
∴OE＝ED＝2.5；
当P3D＝OD＝5 时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3，
∴P3C＝2；
当P4D＝OD＝5 时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得
DG＝3，
∴OG＝8．
∴P1（2，4），P2（2.5，4），P3（3，4），P4（8，4）．
故答案为：（2，4）或（2.5，4）或（3，4）或（8，4）．
三．解答题（共3 小题，满分22 分）
17．解：（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）
＝x2﹣2xy+y2﹣x2+4y2
＝﹣2xy+5y2，
由
，得
，
∴当x＝﹣1，y＝2 时，原式＝﹣2×（﹣1）×2+5×22＝4+20＝24．
18．解：（1）∵E.F 分别是AB.AC 的中点，
∴AE＝
AB＝5，AF＝
AC＝4，
∵AD 是高，E.F 分别是AB.AC 的中点，
∴DE＝
AB＝5，DF＝
AC＝4，
∴四边形AEDF 的周长＝AE+ED+DF+FA＝18；
（2）EF 垂直平分AD．
证明：∵AD 是ABC 的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E 是AB 的中点，
∴DE＝AE，
同理：DF＝AF，
∴E.F 在线段AD 的垂直平分线上，
∴EF 垂直平分AD．
19．解：（1）根据题意，有
两次取的小球都是红球的概率为
；
（2）由（1）可得，两次取的小球是一红一白的有4 种；
故其概率为
．
四．解答题（共2 小题，满分16 分，每小题8 分）
20．解：（1）∵本次调查的总人数为30÷10%＝300（人），
∴a＝300×25%＝75，D 组所占百分比为
×100%＝30%，
所以E 组的百分比为1﹣10%﹣20%﹣25%﹣30%＝15%，
则n＝360°×15%＝54°，
故答案为：75.54；
（2）B 组人数为300×20%＝60（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）2000×（10%+20%）＝600，
答：该校安全意识不强的学生约有600 人．
21．解：（1）设购进甲种商品x 件，乙种商品y 件，
根据题意得：
，
解得：
．
答：购进甲种商品40 件，乙种商品60 件．
（2）40×（20﹣15）+60×（45﹣35）＝800（元）．
答：商场将两种商品全部卖出后，获得的利润是800 元．
五．解答题（共4 小题，满分44 分）
22．解：如图所示，∵CD 与⊙A 相切，
∴CD⊥AC，
在平行四边形ABCD 中，
∵AB＝DC，AB∥CD，AD∥BC，
∴BA⊥AC，
∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵，AD∥BC
∴∠FAE＝∠B＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°＝∠FAE，
∴
＝
，
∴
的长度＝
，解得R＝2，
∴S 阴影＝S△ACD﹣S 扇形＝
×22﹣
＝2﹣
．
23．解：（1）∵OB＝2
，AO＝6，
∴AB＝
，点B 的坐标为（0，2
），
∴sin∠BAO＝
＝
，
∴∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵∠ABO 的角平分线BE 与AB 的垂直平分线DE 的交点E 在AO 上，
∴∠EBO＝30°，
∴OE＝OB•tan∠EBO＝
＝2，
∴点E 的坐标为（﹣2，0），
设直线BE 的解析式为y＝kx+b，
，得
，
即直线BE 的解析式为y＝
x+2
；
（2）∵OB＝2
，AO＝6，∠ABO 的角平分线BE 与AB 的垂直平分线DE 的交点E 在AO 上，
∴点B（0，2
），点A（﹣6，0），
∴点D 的坐标为（﹣3，
）；
（3）点P 的坐标为（2
﹣6，0），（﹣6﹣2
，0）或（0，0），（﹣4，0），
理由：当AD＝AP 时，
∵点D 为AB 的中点，AB＝4
，
∴AD＝2
，
∴AP＝2
，
∴点P 的坐标为（﹣6+2
，0），（﹣6﹣2
，0）；
当DA＝DP 时，
∵AD＝2
，
∴DP＝2
，
∵点A（﹣6，0），点D（﹣3，
），
∴点P 的坐标为（0，0）；
当点P 在AD 的垂直平分线上时，与x 轴交于点P，
∵点A（﹣6，0），点D（﹣3，
），∠DAE＝30°，AD＝2
，
∴AP＝
，
∴点P 的坐标为（﹣4，0），
由上可得，点P 的坐标为（2
﹣6，0），（﹣6﹣2
，0）或（0，0），（﹣4，0）．
24．解：（1）OE＝OF．
理由：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵在△AOE 和△COF 中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如右图2，OE＝OF 仍然成立．
证明：延长EO 交CF 于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
又∵点O 为AC 的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE 和△COG 中，
，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OG＝OE，
∴Rt△EFG 中，OF＝
EG，
∴OE＝OF；
（3）CF＝OE+AE 或CF＝OE﹣AE．
证明：①如图2，当点P 在线段OA 上时，
∵∠OEF＝30°，∠EFG＝90°，
∴∠OGF＝60°，
由（2）可得，OF＝OG，
∴△OGF 是等边三角形，
∴FG＝OF＝OE，
由（2）可得，△AOE≌△COG，
∴CG＝AE，
又∵CF＝GF+CG，
∴CF＝OE+AE；
②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时，
∵∠OEF＝30°，∠EFG＝90°，
∴∠OGF＝60°，
同理可得，△OGF 是等边三角形，
∴FG＝OF＝OE，
同理可得，△AOE≌△COG，
∴CG＝AE，
又∵CF＝GF﹣CG，
∴CF＝OE﹣AE．
25．解：
（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 可知，C（0，3）．
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得，x＝﹣3 或x＝l，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 可知，对称轴为x＝﹣1．
∵M（m，0），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ 的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．
（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，
∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．
∵A（﹣3，0），C（0，3），
设直线AC 的解析式y＝kx+b，
∴
解得k＝l，b＝3，
∴解析式y＝x+3，
令x＝﹣2，则y＝1，
∴E（﹣2，1），
∴EM＝1，AM＝1，
∴S＝
AM×EM＝
．
（4）∵M（﹣2，0），抛物线的对称轴为x＝﹣l，
∴N 应与原点重合，Q 点与C 点重合，
∴DQ＝DC，
把x＝﹣1 代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，
∴D（﹣1，4），
∴DQ＝DC＝
．
∵FG＝2
DQ，
∴FG＝4．
设F（n，﹣n2﹣2n+3），则G（n，n+3），
∵点G 在点F 的上方且FG＝4，
∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4．
解得n＝﹣4 或n＝1，
∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
