“8+4+4”小题强化训练(11)（利用导数解决不等式恒成立或有解问题）解析版

2022 届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(11)
（利用导数解决不等式恒成立或有解问题）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已知
是定义在
上的函数，
为
的导函数，且满足
，则下列结论中正确的是（    ）
A．
恒成立
B．
恒成立
C．
D．当
时，
；当
时，
【答案】A
【解析】设g(x)=(x-1)f(x),所以
，
所以函数g(x)在R 上单调递增，
又因为
所以x>1 时，g(x)>0,x<1 时，g(x)＜0，
所以x>1 时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;
所以x<1 时，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0.
所以
恒成立.   故选:A
2.已知函数
，其中
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围
为（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，不等式
恒成立等价于
在
上恒成立，
令
，则
，当
时，
；当
时，
；
所以
，所以
,  故选:C．
3.若函数
(其中a 为参数)在R 上单调递增，则a 的取值范围是（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
在R 上单调递增，等价于
在R 上恒成立.设
，则
在
上恒成立，所以
均大于等于0,解得
.  故选:C
4.已知
，若对任意正实数
，都有
，则
的
取值范围是（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据
可知
，
令
由
知
为增函数，
所以
恒成立，
分离参数得
，
而当
时，
在
时有最大值为
，
故
.   故选:B
5.已知函数
.若方程
在区间
上有解，则实数
的
取值范围为（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，直线
在
图象的上方，故当
时，
，
由方程
在区间
上有解，
可得
在区间
上有解，
令
，
，则
，
因为
，所以
，则由
，得
，
所以当
时，
，
当
时，
，于是
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，
，
，
所以实数
的取值范围为
，  故先：C.
6.已知函数
（
，且
），对任意
，不等式
恒成立，则实数a 的最小值是（    ）
A．
B．e
C．3
D．2
【答案】A
【解析】由题意，显然
，
因为函数
，可得
，
又由
，可得
，
故
，函数
在
上单调递增，
故
，
对任意
，不等式
恒成立，
即
，
所以
，即
，解得
，
即实数
的最小值为
.     故选：A.
7.已知函数
，且
，当
时，
恒成立，则a
的取值范围为（    ）
A．
             B．
          C．
        D．
【答案】B
【解析】由题意，
，解得
，则
，
则当
时，
，即
恒成立，
令
，则
，
当
时，
，
时，
，
所以
在
上是减函数，在
是增函数，
，
又因为当
时，
取得最大值1，
所以当
时，
取得最大值
，   所以
.   故选：B.
8.已知函数
 若不等式
( ) | 2
|
f x
x
a


对任意
(0,
)
x
上恒成立，则
实数a 的取值范围为（    ）
A．
1
3
,3
e







B．[3,3
ln5]

C．[3,4
ln 2]

D．
1
3
,5
e







【答案】C
【解析】由题意得：设
g(x)= | 2
|
x
a

，易得
a＞0
，可得
2
,
2
g(x)=
2
,
2
a
x
a x
a
x
a x







＜
，
g(x)
与x 轴的
交点为(
,0)
2
a
，
①    当
2
a
x 
，由不等式
( ) | 2
|
f x
x
a


对任意
(0,
)
x
上恒成立，可得临界值时，
( )
g( )
f x
x
与
相切，此时
2
( )
4
6,
1
f x
x
x
x




，( )
2
,
2
a
g x
x
a x



，
可得
'( )
2
4
f
x
x


，可得切线斜率为2，2
4
2
x 

，
3
x 
，可得切点坐标（3，3），
可得切线方程：
2
3
y
x


，切线与x 轴的交点为
3
( ,0)
2
,可得此时
3
2
2
a 
，
3
a 
，
综合函数图像可得
3
a 
；
②    同理，当
2
a
x＜
，由
( )
g( )
f x
x
与
相切，
（1）当
2
( )
4
6,
1
f x
x
x
x




，( )
2
,
2
a
g x
x
a x


＜
，可得
'( )
2
4
f
x
x


，可得切线斜率
为-2，2
4
2
x 
，
1
x 
，可得切点坐标（1，3），可得切线方程
2
5
y
x


，可得
5
a 
，综
合函数图像可得
5
a 
，
（2）当
( )
3
ln ,
1
f x
x x



，( )
2
,
2
a
g x
x
a x


＜
，
( )
g( )
f x
x
与
相切，可得
'
1
( )
f
x
x
=-
，
此时可得可得切线斜率为-2，
1
2
x


，
1
2
x 
，可得切点坐标
1
( ,3
2)
2
In

,
可得切线方程：
1
(3
2)
2(
)
2
y
In
x




，
2
4
2
y
x
In



可得切线与x 轴的交点为
2
(2
,0)
2
In

，可得此时
2
2
2
2
a
In


，
4
2
a
In


，
综合函数图像可得
4
2
a
In


，
综上所述可得3
4
2
a
In



，  故选C.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求,全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.下列不等式正确的是（    ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ABC
【解析】对于选项A：设
，则
，令
，解得
，
当
时函数单调递减，当
时，函数单调递增，
所以函数在
时，函数取得最小值
，故当
时，
，故A 正确；
对于选项B：设
，所以
，
令
，解得
，当
时，函数单调递增，当
时，函数单调递减，
所以在
时，
（1）
，故当
时，
恒成立，故B 正确；
对于选项C：设
，所以
，令
，解得
，当
时，
函数单调递减，当
时，函数单调递增，
所以当
时，
（1）
，所以当
时，
，故C 正确；
对于选项D：设函数
，则
，所以
是定义在
上单调递增
的奇函数，所以
时，
成立，
时，
，故D 错误．
故选：ABC
10.知定义在
上的函数
满足
恒成立（其中
为函数
的导函数），
对于任意实数
，
，下列不等式错误的是（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】 由题意，定义在
上的函数
满足
恒成立，即
,设函数
，则
，
所以函数
为单调递增函数，
不妨设
，则
，且
，
即
，
故选:ABC．
11.已知函数
，
，若对任意
，总存
在
，使
，则实数a 的值可以是（    ）
A． 
               B． 
            C．1
            D．2
【答案】ACD
【解析】
，对任意
，
，
则
在
上单调递增，所以
在
上的值域是
，
由题意可得
是
的值域
的子集，
当
时
的值域是
，符合题意；
当
时，函数
为减函数，则此时
，
当
时，函数
，
①当
时，即
时，满足条件
，
②当
时，此时
，要使
成立，
则
，解得
，
综上可得实数
的取值范围是
或
．故选：ACD．
12.记函数
与
的定义域的交集为
，若存在
，使得对任意
，不等式
恒成立，则称
构成“相关函数对”．下列所给的两个函数
构成“相关函数对”的有（    ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】BD
【解析】根据函数的新定义，可得两个函数的图象有一个交点，且交点的两侧图象一侧满足
，另一侧满足
，对于A 中，令
，可得
，当
时，
，函数单调递增；当
时，
，
函数单调递减，所以当
时，函数
 取得最小值，最小值为
，即
，所以
恒成立，不符合题意；
对于B 中，令
，可得
，所以函数
单调递增，又由
，设
满足
，且
，
则对任意
，不等式
恒成立，符合题意；对于C 中，函数
，
，根据一次函数和二次函数的性质，可得函数
的图象由两个交点，
此时不满足题意；对于D 中，令
，可得
，所以
在定义域
单调递增，又由
，所以方程
只有一个实数根，设为
，则满足对任意
，
不等式
恒成立，符合题意.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.函数
,当
时，
恒成立，则整数
的最大值为______.
【答案】2.
【解析】因为
，所以
.
①当
时，由
，可得
恒成立，所以
单调递增，
所以
，而
，所以
恒成立；
②当
时，令
，可得
；由
，可得
.
所以
在
单调递减，在
单调递增.
因为
恒成立，所以
，
即
，所以
.
设
，则
，
因为
，所以
，所以
，
故
在
单调递减.
又因为
，
，
，
所以存在
，使得
，
且当
时，
；当
时，
.
又因为
且
为整数，所以
的最大值为2.     故答案为：2．
14.已知函数
，
，若对
，
恒
成立，则整数
的最小值为________
【答案】2
【解析】
即为
，
，
因为
，所以
，即
在
上恒成立．
设
，则
，
令
，则
在
上是增函数，
，
，
所以
在
上存在唯一零点
，即
，
，
所以
时，
，
递增，
时，
，
递减，
所以
，
所以
，又
，所以
的最小整数值为2．  故答案为：2．
15.已知函数
，若存在唯一的整数
，使
，则实数
的取值范围
是________．
【答案】
【解析】由题意，函数
的定义域为
，
又由
，可得
，
令
，
，其定义域为
， 
则
，令
，即
，解得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取极大值也是最大值，
又由
、
，当
时
，
画出函数
的大致图像，如图所示，
又由函数
的图像是恒过点
的直线，
若
，则显然不符合题意，
若
，则满足
，即
，解得
．
故答案为：
.
16.已知函数
，
，若对其定义域内任意
，
恒
成立，则
的取值范围为_____________________．
【答案】
．
【解析】原式恒成立，即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立．
设
，则
，
设
， 
则
，
所以
在
上单调递增，且
，
．
所以
有唯一零点
，且
，
即
．
两边同时取对数得
，易知
是增函数
∴
，即
．
由
知
在
上单调递增，在
上单调递减．
∴
，
∴
，∴
           故答案为: