北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
专题六 数列
备考篇
【考情探究】
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列
一、数列的概念
表、图象、通项公式). 1.本专题内容的考题以中
及其表示
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 等难度偏下为主.题型以
1.理解等差数列的概念. 选择题、填空题或解答题 1.处理等差、等比数
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 的形式出现,如2020新高 列的基本问题时,要灵
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关 考Ⅰ第18题(解答题). 活利用等差、等比数
二、等差数列
系,并能用等差数列的有关知识解决相应问 2.考查内容主要体现在(1) 列的定义,通项公式及
题. 以等差、等比数列的概念 前n项和公式,利用基
4.了解等差数列与一次函数的关系. 和性质,通项公式和求和 本量求解.
1.理解等比数列的概念. 公式为载体,考查数学运 2.数列的通项与求和
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 算能力.(2)需关注以数学 是高考常考内容,要灵
三、等比数列 3.能在具体问题情境中识别数列的等比关系, 文化为背景的数列问题. 活掌握数列求和的各
并能用等比数列的有关知识解决相应问题. 数列与其他专题知识结合 种方法.
4.了解等比数列与指数函数的关系. 考查,如数列与函数、不 3.重视方程、函数、
1.掌握数列求和的几种常见方法. 等式、统计等进行综合考 分类讨论思想的应用.
四、数列求和及 2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关 查,涉及内容较为全面,题
综合应用 系或等比关系,并能用有关知识解决相应的 型新颖、方法灵活多变.
问题.
【真题探秘】
解题技巧
在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有a,a,q,n,S 五个量,已知其中的三个,就可以求其余的两个,求解时,一般将已
1 n n
知转化为a,q的关系,然后利用方程思想求解.
1
核心考点
等比数列通项公式及基本量的运算,数列求和,归纳推理.
核心素养
数学运算,逻辑推理.
知能拓展
等差数列中的数形结合
(1)等差数列{a}的通项公式a=a+(n-1)d可变形为a=dn+(a-d).
n n 1 n 1
若d=0,则a=a 是常数列;若d≠0,则a 是关于n的一次函数.点(n,a)是直线y=dx+(a-d)上的一群孤立的点.单调性:d>0时,{a}
n 1 n n 1 n
为单调递增数列;d<0时,{a}为单调递减数列.
n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(2)等差数列{a
n
}的前n项和S
n
可表示为S
n
=dn2+(
a -
d)n,令A=d,B=a
1
-d,则S
n
=An2+Bn.当A≠0,即d≠0时,S
n
是关于n
2 1 2 2 2
的二次函数,(n,S)在二次函数y=Ax2+Bx的图象上,为抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤立的点.利用此性质可解决前n项和S 的
n n
最值问题.
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
等差数列及其前n项 定义法
2020新高考Ⅰ,14 5 填空题 易 求等差数列的前n项和 数学运算
和 公式法
等差数列的性质及应 等差数列前n项积的最 数学运算
2020北京,8 4 选择题 中 定义法
用 值 逻辑推理
数学运算
2020课标Ⅰ文,16 5 填空题 中 数列的求和 奇、偶项数列求和 公式法
逻辑推理
等比数列的基本量运 求通项公式及 数学运算
2020新高考Ⅰ,18 12 解答题 中 公式法
算 分组转化法求和 逻辑推理
等比数列的基本量运 数学运算
2020课标Ⅰ理,17 12 解答题 中 错位相减法求和 公式法
算 逻辑推理
求通项公式,证明 公式法 数学运算
2020天津,19 15 解答题 中 数列的综合应用
不等式,数列求和 直接证明 逻辑推理
2.命题规律与探究
1.从2020年新高考情况来看,本专题内容的考题以容易题为主,题型以选择题或填空题的形式出现,也在解答
题第18题位置出现,分值约为17分,比往年要高.
2.本专题内容在高考试题中多以等差数列、等比数列的基本量运算为载体,以数列递推关系形式表现,考查
数列求和(如新高考Ⅰ卷第14题)及数列最值(北京卷第8题)等综合问题.
3.在处理等差、等比数列基本量运算,递推关系求通项,数列求和等问题时,常用公式法.
4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理.
3.命题变化与趋势
1.高考对本专题内容的考查较为稳定,考查方式及题目难度在2020年新高考Ⅰ卷中有所变化(如新高考Ⅰ卷
第18题第(2)问,需要理解数列{b }的意义才能准确求解,不再是传统的数列求和问题),天津卷中变化不大,仍
m
然是等差(比)均有考查,第(3)问构造新数列求和.
2.考查内容主要体现在以下方面:①等差、等比数列的概念和性质,要重视教材习题(如2020年新高考Ⅰ卷第
14题,其实就是人教A版必修5第46页中A组第6题的简单变式);②数列求和.常以这些内容为考查重点,同
时需关注以数学文化为背景的数列问题、数列与其他章节知识结合考查的问题,如数列与函数等知识结合.
3.在不同背景下抽象出数学本质的方法值得关注.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.
§6.1 数列的概念及表示
基础篇
【基础集训】
考点 数列的概念及表示北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1.已知数列√5,√11,√17,√23,√29,…,则5√5是它的( )
A.第19项 B.第20项 C.第21项 D.第22项
答案 C
1
2.已知数列{a}满足:∀m,n∈N*,都有a·a =a ,且a= ,那么a= ( )
n n m n+m 1 5
2
1 1 1 1
A. B. C. D.
32 16 4 2
答案 A
(n+1)a
3.已知数列{a}的前n项和为S,且a=1,S= n ,则a = ( )
n n 1 n 2 017
2
A.2 016 B.2 017 C.4 032 D.4 034
答案 B
1 1
4.在数列{a}中,a=- ,a=1- (n≥2,n∈N*),则a 的值为( )
n 1 4 n a 2 018
n-1
1 4 5
A.- B.5 C. D.
4 5 4
答案 B
√3+a
5.在数列{a n }中,a 1 =0,a n+1 = n ,则S 2 020 = .
1-√3a
n
答案 0
[教师专用题组]
【基础集训】
考点 数列的概念及表示
1
1.(多选题)已知数列{a}满足a =1- (n∈N*),且a=2,则 ( )
n n+1 a 1
n
1
A.a=-1 B.a =
3 2 019
2
C.S=3 D.2S =2 019
6 2 019
1 1 1
答案 ACD 由数列{a}满足a=2,a =1- (n∈N*),可得a= ,a=-1,a=2,a= ,……,所以a =a,数列的周期
n 1 n+1 a 2 2 3 4 5 2 n+3 n
n
2 019
为3,所以a =a =a=-1,S=3,S = ,故选ACD.
2 019 672×3+3 3 6 2 019
2
2.已知数列{a}的前n项和为S=n2-2n+2,则数列{a}的通项公式为 ( )
n n n
A.a=2n-3 B.a=2n+3
n n
{ 1,n=1 { 1,n=1
C.a= D.a=
n 2n-3,n≥2 n 2n+3,n≥2
答案 C 当n=1时,a=S=1;当n≥2时,a=S-S =2n-3,由于n=1时a 的值不适合n≥2的通项公式,故选C.
1 1 n n n-1 1
易错警示 利用a=S-S 求通项公式时,应注意n≥2这一前提条件,易忽视验证n=1致误.
n n n-1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
a
3.若数列{a n }中,a 1 =1,a n+1 = n ,则这个数列的第10项a 10 = ( )
1+3a
n
1 1
A.28 B.29 C. D.
28 29
答案 C a n+1 = a n 两边取倒数得 1 = 1+3a n,∴ 1 - 1 =3,因为a 1 =1,所以数列{1 }表示首项为
1+3a a a a a a
n n+1 n n+1 n n
1 1 1 1
1,公差为3的等差数列,所以 =1+(n-1)×3=3n-2,即a= ,所以a = = .故选C.
a n 3n-2 10 3×10-2 28
n
n
4.数列{a}的通项公式为a= ,则数列{a}中的最大项的值是 ( )
n n n2+90 n
1 √10
A.3√10 B.19 C. D.
19 60
90
答案 C 令f(x)=x+ (x>0),当x∈(0,3√10)时, f(x)单调递减;当x∈(3√10,+∞)时, f(x)单调递增.a=
n
x
1
1
90,n∈N*,不难发现当n=9或n=10时,a=a = 最大.
n+ 9 10 19
n
5.数列{a}的前n项和为S.若a=1,a =3S(n∈N*),则有( )
n n 1 n+1 n
A.S=4n-1 B.{S}为等比数列
n n
C.a=3×4n-1 D.a={ 1,n=1
n n
3×4n-2,n≥2
答案 ABD ∵a =3S,∴S -S=3S,∴S =4S,
n+1 n n+1 n n n+1 n
又∵S=a=1≠0,
1 1
∴{S}是首项为1,公比为4的等比数列,∴S=4n-1.
n n
当n≥2时,a=S-S =4n-1-4n-2=3×4n-2,
n n n-1
又当n=1时,不符合上式,∴a={ 1(n=1),
n
3×4n-2(n≥2).
综合篇
【综合集训】
考法一 利用S 与a 的关系求通项公式
n n
1.(2021届安徽太和一中开学摸底检测)已知S 是数列{a}的前n项和,若(1-2x)2 021=b+bx+bx2+…+b x2 021,
n n 0 1 2 2 021
数列{a n }的首项a 1 =b 1 + b 2 +…+ b 2 021,a n+1 =S n ·S n+1 ,则S 2 021 =( )
2 22 22 021
1 1
A.- B. C.2 021 D.-2 021
2 021 2 021
答案 A北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2.(2020重庆直属校(重庆第八中学等)3月月考)设各项均为正数的数列{a}的前n项和S 满足 -
n n S2
n
(n2+n-2)S-2(n2+n)=0,n∈N*,则数列{ 1 }的前2 020项和T = .
n 2 020
a a
n n+1
505
答案
2 021
考法二 由递推关系求数列的通项公式
3.(2019广东广雅中学模拟,7)在数列{a n }中,已知a 1 =2,a n+1 = a n (n∈N*),则{a n }的通项公式为 ( )
3a +1
n
2 2 2 2
A.a= B.a= C.a= D.a=
n 4n-3 n 6n-5 n 4n+3 n 2n-1
答案 B
a
4.(2019河南濮阳重点高中联考,9)已知数列{a}的首项a=35,且满足a-a =2n-1(n∈N*,n≥2),则 n 的最小值为
n 1 n n-1
n
( )
59 35
A.2√34 B. C. D.12
5 3
答案 C
5.(2019山西盂县一中模拟,8)设数列{a}满足a=1,a=2,且2na=(n-1)a +(n+1)a (n≥2且n∈N*),则a = (
n 1 2 n n-1 n+1 18
)
25 26 28
A. B. C.3 D.
9 9 9
答案 B
6.(2020新教材地区第一次月考)已知数列{a}满足a=1,a>0, - =1,那么a<32成立的n的最大值为
n 1 n √a √a n
n+1 n
.
答案 5
考法三 数列的单调性和最大(小)项
7.(2019河南中原名校第三次联考,18)设数列{a}满足:a+a+a+…+a=n-a(n∈N*).
n 1 2 3 n n
(1)求a,a;
1 2
(2)若b=n(2-n)(a-1),求{b}的最大项,并写出取最大项的项数.
n n n
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 利用S 与a 的关系求通项公式
n n
1
1.已知数列{a}的前n项和为S,且a=1,S= a -1,则a= .
n n 1 n n+1 n
3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 { 1,n=1
6·4n-2,n≥2
1 1 1 1
解析 由a=1,S= a -1,可得a= a-1=1,解得a=6.当n≥2时,S = a-1,又S= a -1,两式相减可得
1 n n+1 1 2 2 n-1 n n n+1
3 3 3 3
1 1
a=S-S = a -1- a+1,即有a =4a(n≥2),则a=6·4n-2(n≥2),又a=1不符合上式,所以a=
n n n-1 n+1 n n+1 n n 1 n
3 3
{ 1,n=1,
6·4n-2,n≥2.
2a
2.已知数列{a n }中,a 1 =1,S n 为数列{a n }的前n项和,且当n≥2时,有 n =1成立,则S 2 017 = .
a S -S2
n n n
1
答案
1 009
解析 当n≥2时,由 2a n =1,得2(S n -S n-1 )=(S n -S n-1 )·S n - S2=-S n S n-1 ,所以 2 - 2 =1,又 2 =2,所以{2 }是
a S -S2 n S S S S
n n n n n-1 1 n
2 2 1
以2为首项,1为公差的等差数列,所以 =n+1,故S= ,则S = .
S n n+1 2 017 1 009
n
n+2
3.(2018山东六校联考,17)已知数列{a}中,a=1,前n项和S= a.
n 1 n n
3
(1)求a,a;
2 3
(2)求{a}的通项公式.
n
4
解析 (1)由S= a 得3(a+a)=4a,
2 2 1 2 2
3
5
解得a=3a=3.由S= a 得3(a+a+a)=5a,
2 1 3 3 1 2 3 3
3
3
解得a= (a+a)=6.
3 1 2
2
n+2 n+1
(2)由题设知,当n≥2时,有a=S-S = a- a ,
n n n-1 n n-1
3 3
整理得
a
n
=n+1,
a n-1
n-1
因此 a n · a n-1·…· a 3· a 2=n+1· n ·…·4·3,
a a a a n-1 n-2 2 1
n-1 n-2 2 1
(n+1)n n(n+1)
化简得a= ·a= ,
n 1
2×1 2
当n=1时,a=1满足上式,
1
n(n+1)
所以{a}的通项公式为a= (n∈N*).
n n
2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
4.(2020浙江新高考信息优化卷二,20)正项数列{a}的前n项和S 满足2 =a+1.
n n √S n
n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
1
(2)设b= ,数列{b}的前n项的和为B,求B.
n a a n n n
n n+1
解析 (1)由已知得4S
n
=(a
n
+1)2,①
所以n≥2时,4S
n-1
=
(a +1)2
.②
n-1
①-②得4a
n
=
a2
+2a
n
-
a2
-2a
n-1
,即(a
n
+a
n-1
)(a
n
-a
n-1
-2)=0,因为{a
n
}为正项数列,所以a
n
-a
n-1
=2,
n n-1
即{a}是以2为公差的等差数列,
n
由2 =a+1,S=a,得a=1,所以a=2n-1.
√S 1 1 1 1 n
1
(2)因为b
n
= 1 = 1 =1( 1
-
1 ),
a a (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1
n n+1
1 1 1 1 1 1 n
所以B= 1- + - +…+ - = .
n
2 3 3 5 2n-1 2n+1 2n+1
考法二 由递推关系求数列的通项公式
1.(2018广东深圳耀华实验学校期中,11)在数列{a}中,a=1,a =2a-2n,则a = ( )
n 1 n+1 n 17
A.-15×216 B.15×217 C.-16×216 D.16×217
答案 A 由题意可得 a n+1 = a n -1,即 a n+1 - a n =-1,
2n+1 2n 2 2n+1 2n 2
据此可得,数列 {a n } 是首项为 a 1= 1 ,公差为- 1 的等差数列,故 a 17= 1 +(17-1)×( - 1)=- 15 ,∴a 17 =-15×216.故
2n 21 2 2 217 2 2 2
选A.
1
2.已知数列{a}满足a=1,a= ,若a(a +2a )=3a a (n≥2,n∈N*),则数列{a}的通项公式a= ( )
n 1 2 n n-1 n+1 n-1 n+1 n n
3
1 1 1 1
A. B. C. D.
2n-1 2n-1 3n-1 2n-1+1
答案 B 由a(a +2a )=3a a (n≥2,n∈N*),
n n-1 n+1 n-1 n+1
可得 1 - 1 =2( 1 - 1 )(n≥2),
a a a a
n+1 n n n-1
1 1
又 - =3-1=2,
a a
2 1
∴数列{ 1
-
1 }是首项为2,公比为2的等比数列,
a a
n+1 n
