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微专题15 利用导数研究函数的零点问题及方程的根讲义
微专题教学内容
利用导数研究函数零点的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断
零点个数或者通过零点个数求参数范围.
(2)数形结合法求解零点
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图
数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数
在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0 的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现
转化与化归的思想方法．
利用导数研究函数方程的根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断
零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.
(2)数形结合法求解零点（方程的根）
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图
数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的
根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0 的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现
转化与化归的思想方法．
典例精讲
【典例1】
已知函数
.
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)若函数
有且仅有一个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
，
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得
与
有且仅有一个交点，结合
的单调性分析
的取值情况，即可
得到不等式，解得即可.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
又
，
所以当
时
，当
或
时
，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
.
（2）令
，即
，依题意可得
与
有且仅有一个交点，
因为当
时
，当
时
，
，此时
，
当
时
，
，所以
；
当
时
，又
，
当
时
，
，此时
，
当
时
，
，所以
；
所以
或
，解得
或
；
所以实数
的取值范围为
.
会一题通一类
1．已知
.
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
只有一个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求出切点和切点处的导数值即可由点斜式求解；
（2）先将问题等价于
与
函数图像在
上有一个交点，再利用导数研究函数
的性质，数形结合即可计算求解.
【详解】（1）当
时，
，
令
得
，
所以
在
处的切线方程为
；
（2）显然
，令
得
，
则若
只有一个零点，等价于
与
函数图像在
上有一个交点，
，令
，
所以当
时
，
时
，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
且
，如图，
所以结合图像知
.
2．已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)证明:当
时，
在
上有且仅有一个零点.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数计算研究函数的单调性即可；
（2）利用导数研究函数的单调性及零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）当
时，
，
所以
，
所以当
时，
，当
时，
，
即
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
（2）易知
，
，
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递增，
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
，所以
；
又
，
所以
在
上有零点．
又因为
在
上单调递增，所以
在
上有且仅有一个零点.
【典例2】
已知函数
在
和
处取得极值，且经过点（0，1）.
(1)求函数
的解析式；
(2)当
时，若函数
有且仅有两个零点，求k 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据在
和
处取得极值，可得
，解之即可得解；
（2）函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数，利用导数求出函数的单调区间及极值，由此结合题
意列出不等式，从而可得出答案.
【详解】（1）
因为函数
在
和
处取得极值，
所以
和
是方程
的两个根，
则
，解得
，经检验符合已知条件，
函数经过点
得
.
所以函数
的解析式为
；
（2）当
时，函数
有且仅有两个零点，
令
，可得
，
则问题转化为
与
的图象在
上有且仅有两个交点.
，令
，即
，即得
或
.
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
所以
；
结合
与
的图象在
上有且仅有两个交点，
可得
或
，解得
或
；
所以k 的取值范围
会一题通一类
已知函数
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调性区间；
(3)若函数
，
有2 个零点，求a 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.
（2）根据导函数正负得出函数的单调性即可；
（3）先根据
的零点个数得出
有两个解，即得
有两个交点，再结合
函数的单调性及值域即可求参.
【详解】（1）因为
，
所以切线斜率为
，
又因为
，
所以切线方程为
，即
；
（2）因为
，
所以当
在
上单调递减；
当
在
上单调递增；
所以
的单调递减区间为
，
的单调递增区间为
；
（3）因为函数
有2 个零点，所以
有两个解，
转化为函数
图象与直线
有两个交点，
由（2）知，
的单调递减区间为
，
的单调递增区间为
；
所以
，
又因为
时
，
时
，
且
；
，
所以当
时，函数
图象与直线
有两个交点，
即函数
有2 个零点时，
.
【典例3】
已知函数
在
处有极值.
(1)求a 的值；
(2)求
的极值；
(3)若函数
恰有3 个零点，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导，即可根据
求解，
（2）根据单调性即可求解极值，
（3）根据函数的单调性，以及极值即可求解.
【详解】（1）
，
由于
在
处取极值，故
，解得
，
当
时，
，
当
和
时，
当
，
，
故满足
在
处取极值，因此
（2）由（1）知：
在
单调递减，在
和
单调递增，
故
（3）由于当
时，
,，
时，
，
时，
，当
时，
，
结合（1）（2）可知：
有3 个实数根时，
故
，
因此
恰有3 个零点时，则
.
会一题通一类
已知函数
的图象在点
处的切线与
轴垂直，且
.
(1)求
的值；
(2)若
在区间
上的最大值为20，求的值；
(3)若函数
的图象与
轴恰有三个交点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
.
【分析】（1）根据导数的几何意义和
建立关于
的方程组，解之即可求解；
（2）由（1），令
、
，解不等式，得出函数
的单调性，进而求解；
（3）由（2），求出函数
的极值，则
，解之即可求解.
【详解】（1）由
，得
，
由题意得，
，
得
，解得
.
（2）由（1）知，
令
，解得
，令
，解得
或
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
则
在区间
上的最大值为
，解得
.
（3）由（2）知，
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
取得极小值
，
当
时，
取得极大值
.
要使函数
的图象与
轴恰有三个交点，则
，
解得
，即的取值范围是
.
【典例4】
已知
是函数
的极小值点.
(1)求实数
的值；
(2)讨论函数
在区间
内的零点个数.
【答案】(1)
(2)零点个数为4.
【分析】（1）求导，再由
求解；
（2）根据
为偶函数，只需考虑
的情形，利用导数法判断.
【详解】（1）因为
，
所以
，
即
，
所以
，
因为
是函数
的极小值点，
所以
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，符合题意，故
.
（2）因为
为偶函数，
故只需考虑
的情形；
由（1）
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
因为
，
所以存在
，使得
；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
因为
，
所以存在
，使得
；
由对称性可知，函数
在区间
内的零点个数为4.
会一题通一类
已知函数
.
(1)当
时，判断
有无极值点，并说明理由；
(2)当
时，判断函数
在
上的零点个数并给出证明.
【答案】(1)
无极值点，理由见解析
(2)函数
在
上有2 个零点，证明见解析
【分析】（1）求出导函数，判断导函数的符号，从而判断极值点；
（2）利用导数判断
的单调性，再结合零点存在性定理即可判断零点个数．
【详解】（1）当
时，
无极值点，理由如下：
当
时，函数
，定义域为
，
所以
，
令
，则
，由
得
，
由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，故
，
所以
在
上单调递增，故函数
无极值点．
（2）当
时，函数
在
上的零点个数为2，证明如下：
由
得
，
设
，则
，令
，得
，
所以当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，使得
，
，使得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
设
，则
，
，
当
时，
，
为减函数，
当
时，
，
为增函数，
所以
，故
，即
，
因为
，所以
，故
，即
.
设
，则
，
，
当
时，
，
为增函数，
当
时，
，
为减函数，
所以
，即
，
因为
，所以
.
由
得
，且
.
因为
，
，
，
所以函数
在
和
上各有一个零点，共2 个零点．
【典例5】
已知函数
在点
处的切线与
轴垂直.
(1)求
的值；
(2)求
的极值；
(3)求方程
的实数根的个数.
【答案】(1)
(2)
的极大值
，
的极小值
(3)有1 个实数根
【分析】（1）对函数
求导，根据导数的几何意义可知
，即可求解；
（2）由（1）知
，代入可求得函数
的单调性，结合极大值、极小值定义即可求解；
（3）根据函数
的极值与函数单调性，结合零点存在性定理即可求解.
【详解】（1）由题知
，
所以
.
由题意可知
，解得
.
（2）由（1）知
，
，
∴当
时，
0；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
所以当
时，
取得极大值
，
当
时，
取得极小值
，
即
的极大值
，
的极小值
.
（3）
即
.
因为
，故方程在
上没有实数根；
又
，则
，所以方程在
上有1 个实数根.
故
共有1 个实数根.
会一题通一类
1．已知
，
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若关于x 的方程
有两个不等实根，求a 的取值范围．
【答案】(1)极小值为1，无极大值
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值与导数的关系，即可求得答案；
（2）先判断出
，即可将方程
有两个不等实根，转化为
与
有2 个交点的问题，
结合函数的导数判断函数单调性，即可求解.
【详解】（1）当
时，
，定义域为R，
，
令
，得
，
当
时，
，函数
在区间
上单调递减，
当
时，
，函数
在区间
上单调递增，
所以
在
处取到极小值为
，无极大值．
（2）方程
，当
时，显然方程不成立，
所以
，则
，方程
有两个不等实根，
即
与
的图象有2 个交点，
，当
或
时，
，
在区间
和
上单调递减，且
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
时，当
时，
取得极小值也即最小值，
，
所以
与
有2 个交点时，
，
故a 的取值范围为
．
2．已知函数
，
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程.
(2)若关于
的方程
恰有两个不同的正实数根
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
时，
，再根据过原点切线的求法求切线即可；
（2）由
恰有两个不同的正实数根
，等价于
在
有两个不同的解，令
，求导分析单调性，根据单调性作图即可确定
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，设直线的方程为
，
曲线
与直线相切于点
，
因为
，所以
①，
又点
既在曲线
上，又在直线
上，
所以
②，由①②得
，所以
，
所以
，故的方程为
.
（2）由
得：
，
恰有2 个正实数根
恰有两个正实数根
，
令
，则
与
有两个不同交点，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，又
，
当
从0 的右侧无限趋近于0 时，
趋近于
；
当
无限趋近于
时，
的增速远大于
的增速，则
趋近于
，则
的图象如图所示，
当
时，
与
有两个不同交点，
实数
的取值范围为
.
学后测评
1．已知函数
.
(1)求
的值域；
(2)讨论函数
的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的性质进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，画出函数的图象、函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】（1）由
，
令
，或，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以函数
在
时，极小值为
，极大值为
，
而
，
所以函数
在
时，最大值为，最小值为
，
所以函数
在
时，值域为
（2）函数
，
函数
的零点个数转化为直线
与函数
图象交点个数问题，
结合（1）的结论，在同一直角坐标系内，画出直线
与函数
图象，
当
，或
时，直线
与函数
图象没有交点，因此函数
没有零点，
当
，或
时，直线
与函数
图象有
个交点，因此函数
有
个零点，
当
时，直线
与函数
图象有个交点，因此函数
有个零点，
综上所述：当
，或
时，函数
没有零点，
当
，或
时，函数
有
个零点，
当
时，函数
有个零点.
2．给定函数
(1)判断函数
的单调性，并求
的极值.
(2)若
有两个解，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性，求函数的极值.
（2）根据函数的单调性，结合函数值的符号，可求实数
的取值范围.
【详解】（1）因为
，
所以
.
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
在
处，函数取得极小值，
.
无极大值.
（2）当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
作函数
草图如下：
所以
有两个解，可得
.
即所求
的取值范围为：
3．已知函数
．
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
与
的图象有公共点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解切线方程；
（2）由题可得
，令
，利用导数判断函数的单调性和最小值，并结合函
数的零点即可求解．
【详解】（1）当
时，
，
则
，即切点为
，
因为
，所以切线斜率
，
所以所求切线方程为
，即
，
所以
的图象在
处的切线方程为
；
（2）由题意，知
有解，即
有解，
整理得
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
当
时，
；当
时，
，
所以
的值域为
，
即
，即
，
所以
的取值范围是
．
4．已知函数
.
(1)若
，证明：当
时，
；
(2)若
，求
的最小值；
(3)讨论
的零点个数.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）利用导数的性质，结合函数的单调性进行运算证明即可；
（2）根据导数的性质，结合函数的单调性进行求解即可；
（3）根据参变量分离法，通过构造新函数，利用数形结合思想分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）
，
因为
，
，
所以
，因此
，
所以当
时，函数
在
上单调递减，
于是由
，证毕；
（2）当
时，
，
，
当
时，
，所以函数
在
时，单调递增，
当
时，
，
，显然
，
因此
，所以函数
在
时，单调递减，
所以当
时，函数
有最小值
；
（3）当
时，
，
所以此时该函数是实数集上的减函数，而
，
所以此时函数有唯一零点；
，
设
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，且
，
函数
的图象和直线
的图象如下图所示：
显然当
时，直线
和函数
的图象有唯一交点
；
函数
在
处的切线斜率为
，
因此当
时，直线
和函数
的图象有唯一交点
；
因此当
时，直线
和函数
的图象有两个交点，
当
时，直线
和函数
的图象有两个交点，
综上所述：当
时，函数
有两个零点，
当
时，函数
有一个零点.
5．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，讨论函数
在
上的单调性和零点个数．
【答案】(1)
(2)
在
上单调递增，零点个数为1
【分析】（1）利用导数来求切线即可；
（2）利用导数来判断单调性即可得解.
【详解】（1）当
时，
，
则
，则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
．
（2）当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
故
在
上单调递增．
又因为
，所以
在
上的零点个数为1．
6．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求函数
在
上的值域；
(3)若方程
有三个不同的根，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数确定函数在区间
上的单调性，再根据单调性求解即可；
（3）将问题转化为
的图象与直线
有三个交点，利用导数确定函数
的单调性、求出
极值，作出图象，结合图象求解即可.
【详解】（1）若
，则
，
所以
.
因为
，
所以
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，
即
.
（2）若
，则
，
所以
.
令
，则
.
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
因为
，所以
，即
.
因为
在
上单调递增，
所以
，
，
故函数
在
上的值域为
.
（3）方程
有三个不同的根，
等价于
的图象与直线
有三个交点.
因为
，
易知
在
，
上单调递减，在
上单调递增.
因为
，
，且当
时，
，
当
趋于
时，
趋于
时，当
趋于
时，
趋于
时，
所以当
时，
的图象与直线
有三个交点，
故
的取值范围是
.
7．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若函数
有三个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求解；
（2）先求出导函数，再分类讨论当
，
时，分导函数的正负得出单调区间；
（3）结合（2）知
，再构造函数
，再求导数得出最值再结
合零点个数计算求参.
【详解】（1）当
时，
，
在点
处的切线方程为：
（2）定义域为
，
（i）当
时，
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
（ii）当
时，则由
得
或
，
当
时，
，所以
在
单调递增；
当
时，
，令
得
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，令
得
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
单调递增；
当
时
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（3）由（2）知
且
，
，
记
，则
且
，
当
时，
；当
时
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以有
，所以
，等号成立当且仅当
故当
时，由（2）知
有且只有一个零点，舍去
当
且
时，
，
要使得
有三个零点，则
，解得
所以
的取值范围是
8．已知函数
.
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)设实数
使得
恒成立，求
的取值范围；
(3)设
，求函数
在区间
上的零点个数.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）先求出
，在求出
及
，即可求解；
（2）由得
恒成立，等价于
恒成立，设
并求出其最大值
，从
而可求解；
（3）求令
，即求
，由（2）即等价于函数
的图象与函数
的图象的交点个数，再结合
在区间
上的取值情况，再对
分情况讨论，即可求解.
【详解】（1）由题可得函数
的定义域为
，且
，
则
，因
，
所以
在点
处的切线方程为
，化简为
.
故函数
在点
处的切线方程为
.
（2）由题意知得
恒成立，即
恒成立，等价于
恒成立，
设
，则
，令
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
所以当
时，
取到极大值也是最大值
，所以
，
所以
的取值范围为
.
（3）由题知令
，即
，则得
，从而得
，
由（2）得函数
在区间
上的零点个数即等价于求函数
的图象与函数
的图
象的交点个数，
又因
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
且当
时，
取到极大值也是最大值
，
又因为
，
，
当
或
时，函数
的图象与函数
的图象的交点个数为
，
当
或
时，函数
的图象与函数
的图象的交点个数为，
当
时，函数
的图象与函数
的图象的交点个数为
.
综上所述：当
或
时，
函数在区间
上有
个零点；
当
或
时，
函数
在区间
上有个零点；
当
时，
函数在区间
上有
个零点.
9．已知函数
的图象在点
处的切线经过点
．
(1)求实数
的值；
(2)证明：
；
(3)证明：
有且仅有一个零点．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【分析】（1）先求出
，再代入得出切线的斜率，进而点斜式得出切线，最后应
用点在切线上计算求参；
（2）构造函数
，再求出导函数得出函数的单调性及最值即可证明；
（3）先根据导函数得出单调性结合零点存在定理得出零点，再根据（2）
结合不等式性质得出
，分段即可证明零点的唯一性.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
又因为
，
所以函数
的图象在点
处的切线为
，即
，
又切线过点
，所以
；
（2）令
，则
，
当
时
单调递增；当
时
单调递减；
所以
，
所以
，即
；
（3）因为
，所以
，
当
时，
，所以
，所以
在
上单调递减；
因为
，
所以
时存在唯一
使得
；
当
时，由（2）知：
，当且仅当
时等号成立，
又因为
，
所以
，
所以
，所以
时
没有零点；
又因为
，
所以当
时，
有一个零点；当
时，
没有零点；
所以当
时，
有且仅有一个零点；
10．已知函数
，
．
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)求证：当
时，
；
(3)求
的零点个数．
【答案】(1)
(2)见详细解析
(3)2
【分析】（1）根据导数求出切线的斜率，结合点斜式方程即可求解；
（2）令
，求导研究
的单调性，同时结合
即可求证；
（3）令
，求导研究
的零点及正负分布，得到
的单调性，同时结合
即可求
解出
的零点个数．
【详解】（1）将
代入
可得
，又
，
，所以切线方程为
，即
．
（2）当
时，
，即证明当
时，
，
令
，
，则
，
因为
，有
，所以当
时
，
在
上单调递减，
所以当
时，
，也即
．
（3）
，令
，再求导得
，
因为
，有
，且
，故
，即
在
上单调递减，
又因为
时，
，
，且
单调递减，
可知
在
上有且仅有一个零点
，其中
，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
又因为
，则
，且
时，
，
时，
，
所以
有2 个零点，
综上，
的零点个数为2．
11．已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
对任意的
恒成立，求
的取值范围；
(3)若
存在零点，求
的取值范围.
【答案】(1)极大值为
，无极小值.
(2)
(3)
.
【分析】（1）若
，则
，利用导数研究函数的单调性即可求解；
（2）若
对任意的
恒成立，即
,只需
，利用导数研究函数的单
调性，求出该函数的最大值，即可求解；
（3）
存在零点等价于
与
轴有交点，结合（2）知
，当且仅当
时等号成立，所以当
时，
，不符合题
意；当
时，利用零点存在定理即可判断.
【详解】（1）（1）若
，则
，所以
，
令
，解得
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，极大值为
，无极小值.
（2）若
对任意的
恒成立，即
，
令
，所以
，所以当
时，
，当
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，所以
，即
的取值范围是
.
（3）令
，得
，令
，
令
，所以
，所以当
时，
，
当
时，
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
由（2）知，
，即
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以当
时，
，不符合题意；
当
时，
，
所以存在
，使得
，符合题意.
综上，
的取值范围为
.
12．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
的取值范围是
.
【分析】（1）先确定函数定义域
，求导并将导函数因式分解为
，找到临界点
和
；再以临界点的大小关系和临界点是否在定义域内为分类依据，分
，
，
，
四种情况；最后分别判断导函数在各区间的符号，进而确定函数的单调区间；
（2）结合（1）的单调性，求出不同参数范围下函数的极值，再分析
和
时的函数趋势（由
主导项
、
决定），并根据“两个零点需满足极小值
且两端点趋势为
”的条件，筛出符合要求
的参数范围；最后对
，
，
的情况，通过分析极值符号排除不符合的参数范围，最终确
定
的取值.
【详解】（1）
的定义域为
，
，
若
，
恒成立，令
，得
，
则当
时，
；当
时，
．
若
，令
，得
或
（
），
则当
时，
；当
时，
．
若
，
，当且仅当
时取等号，
则
在
上单调递增.
若
，令
，得
或
（
），
则当
时，
；当
时，
．
综上：当
时，
在
单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
单调递增，无减区间；
当
时，
在
，
单调递增，在
上单调递减．
（2）由（1）得，
①当
时，
在
单调递增，在
上单调递减，
所以
，解得
，
又因为当
时
，当
时
，所以
符合；
②当
时，
，在
上
只有一个零点2，所以不符合；
③当
时，
在
单调递增，
在
上单调递减，
，
令
，所以
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，则
，所以
，
则
在
上没有两个零点，所以
不符合；
④当
时，
在
单调递增，无减区间，不符合；
⑤当
时，
在
，
单调递增，在
上单调递减，
因为
，所以不符合．
综上：当
时，
有两个零点．
故
的取值范围是
.
13．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求
的值；
(3)当
时，证明：
有2 个零点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程；
（2）函数求导后，根据参数
的取值分类讨论，得到
时，
，构
造函数
，求导推得
，结合
恒成立即得
的值；
（3）由
得
，令
，则
，令
，求导判断
在区间
上单调递增，结合零点存在定理，推得
，使得
，求出
的最小值为
，由
可得
，
，故得
的最小值
，由
即可判断函数
，即函数
的零点个数.
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
．
（2）函数
的定义域为
，且
，
① 当
时，易得
，
在
上单调递减，
又
，所以当
时，
，不符合题意；
② 当
时，由
，得
时，即
在
上单调递增；
由
，得
时，即
在
上单调递减，
所以
，
因为
，则其等价于
，即
．
令
，则
，
所以当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，因
恒成立，故
．
（3）
．
令
，得
，
令
，则
与
有相同的零点，
且
．
令
，则
，
因为当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
又
，
，所以
，使得
，
所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
的最小值为
．
由
，得
，即
，
令
，
，则
，则
在
单调递增．
因为
，所以
，则
，
所以
，从而
，
，
所以
的最小值
．
因为
，所以当
趋近于0 时，
趋近于
；
当
趋近于
时，
趋近于
，且
，
所以
有2 个零点，故
有2 个零点．
14．已知函数
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)求函数
在
的最大值和最小值；
(3)若方程
恰有两个不等的实根，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)最大值为
最小值为
(3)
【分析】(1)由函数
在点
处的切线方程为
可得
，再进行
求导，令
解方程可得
.
（2）令导函数
求解分析导函数的符号，可知函数的单调区间，再比较极值和区间端点函数值的
大小可得最值.
（3）方程
恰有两个不等实根，转化为
图像和
有两个交点，根据
的单调性和变化
情况，可求得.
【详解】（1）
,因为
在点
处的切线方程为
所以有
所以解得
（2）由(1)可得
当
或
单调递增
单调递减
单调递增
所以
在
和
上单调递增，
上单调递减，又因为计算可得，
所以
在
的最大值为
，最小值为
（3）由（2）可知，
的极大值为
，极小值为
当
所以
当
时，
.所以当且仅当
时，
方程
恰有两个不等实根.
15．给定函数
(1)判断函数
的单调性，并求出
的极值；
(2)画出函数
的大致图象；
(3)求出方程
的解的个数
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
，极小值
，无极大值；
(2)作图见详解；
(3)答案见详解
【分析】（1）求出导函数
，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.
（3）利用数形结合法即可求解.
【详解】（1）由
，定义域为
，
令
，即
，
令
，即
，
令
，即
，
所以函数的单调递增区间为
；单调递减区间为
，
为极小值点，
所以函数的极小值为
，无极大值.
（2）函数
的大致图象，如图所示：
（3）方程解的个数等价于
于
的交点个数.
由（2）可知当
时，方程
的解为
个；
当
或
时，方程
的解为个；
当
时，方程
的解为
个.
16．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)（i）求
在
处的切线方程和
在
处的切线方程；
（ii）若方程
有两个不同的实根
，证明：
.
【答案】(1)
在
上单调递减，在
上单调递增
(2)（i）在
处的切线为
，在
处的切线为
；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导后，根据
正负可得单调性；
（2）（i）根据导数的几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程；
（ii）根据单调性可确定
，利用（i）中切线对函数进行放缩，可证得
与
交点的横坐标
、与
交点的横坐标
分别满足
、
，由此可证得结论.
【详解】（1）由题意知：
定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）（i）由（1）得：
，
，又
，
在
处的切线方程为：
，即
；
在
处的切线方程为：
，即
.
（ii）由（1）知：
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
；当
时，
；
不妨令
，
为方程
的两根，
；
设
，
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
在
上恒成立；
设
与
交点的横坐标为
，则
，
又
，
，
；
设
，
，
，
在
上单调递减，
，即
在
上恒成立；
设
与
交点的横坐标为
，则
，
又
，
，
；
，
，
.
