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专题7.4空间直线、平面的垂直八大题型（原卷版）_11.4-2_2026-11-04

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专题7.4 空间直线、平面的垂直【八大题型】

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A~²𝑙⊥𝑛D𝑚⊥𝑛D𝑙//𝑚
B~²𝑙⊥𝛼D𝑙//𝛽D𝛼⊥𝛽
C~²𝑙⊥𝛼D𝑙⊥𝑚D𝑚//𝛼
D~²𝛼⊥𝛽D𝛼∩𝛽= 𝑚D𝑙⊥𝑚D𝑙⊥𝛽
çg 1-1N2024·èéêë·äìíîO{𝑚D𝑛Q¥Ëµ!*D𝛼D𝛽D𝛾Q]Ëµ!2+Dåæ
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A~²𝛼⊥𝛽D𝛽⊥𝛾D𝛼⊥𝛾
B~²𝛼⊥𝛽D𝑚⊂𝛼D𝑛⊂𝛽D𝑚⊥𝑛
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B~²𝛼⊥𝛽,𝛽⊥𝛾D𝛼//𝛾
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B~²𝛼⊥𝛽D𝛼⊥𝛾D𝛽∥𝛾
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â 2N2024·Äãôõ·]äOªDvÄö÷𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷@Dø+𝐴𝐵𝐶𝐷QÌ^fD𝐴𝐷= 𝑃𝐷= 2D
∠𝑃𝐷𝐶= 120°D𝑃𝐴= 2 2D7 E °*𝑃𝐶!@7D7 F v*𝐴𝐵ùDú𝐴𝐹=
1
2~
(1)9(
𝐶𝐷⊥𝐸𝐹l
      
      
(2)9]ö÷𝑃−𝐴𝐵𝐷!ûü~
çg 2-1N2024·èééê·]äOvÄö÷𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷@D2+𝑃𝐴𝐷⊥2+𝐴𝐵𝐶𝐷D𝐴𝐵∥𝐶𝐷D𝐴𝐵⊥𝐵𝐶D
𝐷𝐶= 𝐵𝐶= 2D𝐴𝐵= 4~
(1)()
𝐵𝐷⊥𝐴𝑃~
(2)² △𝑃𝐴𝐷°tÅ]¾fD97 C 2+𝑃𝐵𝐷!~
çg 2-2N2024·èéýþ·]äOªDvÄö÷𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷@D𝑃𝐴⊥2+𝐴𝐵𝐶𝐷D2+𝑃𝐴𝐶⊥2+
𝑃𝐵𝐷,𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 𝐴𝑃= 2~
(1)()
𝐵𝐷⊥𝑃𝐶l
(2)²𝐸°𝐴𝐷!@7D∠𝐵𝐴𝐷= 60°D9𝐸2+𝑃𝐵𝐷!~
      
      
çg 2-3N2024·TÿĀ·]äOªDv]öā𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1@D𝐶𝐴= 𝐶𝐵= 2DÄÅf𝐴𝐵𝐵1𝐴1°ĂfD
∠𝐴𝐵𝐵1 =
π
3.
(1)()
𝐴𝐵⊥𝐵1𝐶l
(2){2+𝐴𝐵𝐶⊥2+𝐴𝐵𝐵1𝐴1D𝐴𝐶1 ⊥𝐵1𝐶D9Äö÷𝐴1−𝐵𝐶𝐶1𝐵1!ûü.
 3  *+!&,
â 3N2024·ÄãăĄ·]äOªD23ą+û𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1@Dø+𝐴𝐵𝐶𝐷QÅ ° 2 !ĂfDú
∠𝐵𝐴𝐷= 60∘,𝐴𝐴1 =
6,∠𝐴1𝐴𝐵= ∠𝐴1𝐴𝐷,𝐴𝐶A𝐵𝐷¦𝑂,∠𝐴1𝐴𝑂= 45∘.
(1)()
𝐴1𝑂⊥2+𝐴𝐵𝐶𝐷l
(2)9Äö÷𝐴1−𝐵𝐵1𝐷1𝐷!ûü.
      
      
çg 3-1N2024·ÄãĆê·]äOÄö÷𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷@D𝐴𝑃= 𝐴𝐶Dø+𝐴𝐵𝐶𝐷°tćĈfD𝐶𝐷 ∥ 𝐴𝐵D
𝐴𝐵= 2𝐶𝐷= 2𝐵𝐶= 2D𝐸°*𝑃𝐶!@7D𝑃𝐶⊥𝐶𝐵.
(1)()
𝐴𝐸⊥2+𝑃𝐶𝐵l
(2)²𝑃𝐵= 2D9*𝑃𝐷A2+𝐴𝐵𝐶𝐷«½¾!ÌĉĊ.
çg 3-2N2024·ċéČč·äìíîOªDÄÅf ABCD QÅ ° 2 !Ì^fDE °Å CD !@7D
Ď AE Â △𝐴𝐷𝐸ďĐDđ7 D Ē7 P !ØÙDú∠𝑃𝐴𝐵=
π
3~
(1)9(
𝑃𝐸⊥2+𝑃𝐴𝐵l
(2)9]ö÷𝐸−𝑃𝐴𝐵!Ã+ü
çg 3-3N2024·ÄãēĔ·äìíîOªDvÄö÷ P—ABCD @D2+ PAB⊥2+ ABCDDPA⊥ABD
      
      
ø+ ABCD °tćĈfDAB∥CDDú𝐴𝐵= 2𝐶𝐷= 2𝐴𝐷= 2.
(1)()
BC⊥+ PACl
(2)²7 A 2+ PBC !° 3
2 D9Äö÷ P—ABCD !ûü.
 4  *+!-.,!/
â 4N24-25 mù·JK·ĕÐĖOª«¬D{2+𝛼∩2+𝛽= 𝑙D𝐸𝐴⊥𝛼D° AD𝐸𝐵⊥𝛽D
° BD*𝑎⊂𝛽D𝑎⊥𝐴𝐵Dė&'* a A* l !ØÙ DE)¹~
çg 4-1N2024·èééê·äìíîOª«¬DvÄö÷𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷@D𝑃𝐴⊥2+𝐴𝐵𝐶𝐷D𝐴𝐷∥𝐵𝐶D
𝐴𝐷⊥𝐶𝐷Dú𝑃𝐶= 𝐵𝐶= 2𝐴𝐷= 2𝐶𝐷= 2 2D𝑃𝐴= 2~
      
      
(1)9]ö÷𝐵−𝐴𝐶𝑃!ûül
(2)9(
𝐴𝐵⊥𝑃𝐶~
çg 4-2N2024 a·JK·ĘęOv]ö÷𝑃−𝐴𝐵𝐶@D △𝐴𝐵𝐶°tÅ]¾fD𝑃𝐴⊥2+ ABCDĚ
]¾f PAC ě PA áwĜĝoĞ PAD ØÙNªODúm+¾𝐷−𝑃𝐴−𝐵!ğr° 90°~()
ADBDCDD
Ä7+Dú𝐴𝐷⊥𝑃𝐵l
çg 4-3N23-24 aå·ĠġĢê·ģ@O{]öā𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1@Dø+ △𝐴𝐵𝐶QÅ ° 2 !Ì]¾
fD𝐺° △𝐴1𝐵𝐶!RĤD∠𝐴1𝐴𝐵= ∠𝐴1𝐴𝐶= 60∘
(1)9(
𝐵1𝐵⊥𝐵𝐶l
(2){𝐴1𝐴= 2,𝑃∈2+𝐴𝐵𝐶Dú𝐶1𝑃⊥2+𝐴1𝐵𝐶~9(
𝐴𝐺//𝐶1𝑃~
      
      
 5  ++!&,
â 5N2024·Äã½·äìíîOªD]öā𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1«"ö °2,∠𝐵1𝐵𝐶= 60°,𝐷°𝐴1𝐶A𝐴𝐶1
¦7.
(1)()
2+𝐵𝐶𝐷⊥2+𝐴𝐵1𝐶1l
(2)²𝐷𝐵1 =
13
2 D9]öā𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1!ûü.
çg 5-1N2024·ÄãĥĔ·mäOªDvÄ+û ABCD @D𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 𝐵𝐷= 2D𝐵𝐶⊥𝐵𝐷D
EDF =Ħ° ABDAC !@7.
(1)()
2+𝐴𝐶𝐷⊥2+ BCDl
(2)97 A 2+ BDF !.
      
      
çg 5-2N2024·Ąħ·mäOª«¬D]öā𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1DĨö ĩt.𝐷D𝐸D𝐹=Ħ°ö𝐴𝐵D
𝐵𝐶D𝐴1𝐶1!@7.
(1)()
2+𝐴1𝐶𝐷⊥2+𝐴1𝐴𝐵𝐵1l
(2)9*𝐸𝐹A𝐴1𝐵1«½¾!ÌĉĊ.
çg 5-3N2024·ÄãĪĔ·]äOªDv]öā𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1@Dø+𝐴𝐵𝐶QtÅ]¾fD∠𝐴1𝐴𝐵= ∠
𝐴1𝐴𝐶DD °𝐵𝐶!@7D𝐵1𝐶1!2+¦ö𝐴𝐵 ED¦𝐴𝐶 F.
(1)9(
2+𝐴1𝐴𝐷⊥2+𝐸𝐵1𝐶1𝐹l
(2)ī M °𝐵1𝐶1!@7D2+𝐸𝐵1𝐶1𝐹¦𝐴𝐷 PDú𝑃𝐷= 2𝑃𝐴.²𝑃𝑀= 𝐴𝐵= 6Dú∠𝑀𝑃𝐷=
π
3D9Äö÷
𝐵−𝐸𝐵1𝐶1𝐹!ûü.
 6  ++-.,!/
â 6N2024·èééê·äìíîOªDÄö÷𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷DĬ+ PAD QÅ ° 2 !Ì]¾fúAø+
      
      
Dø+ ABCD Q∠𝐴𝐵𝐶= 60°!ĂfD𝑀°ö PC ù!ĭ7ú
𝑃𝑀
𝑃𝐶= 𝜆(𝜆∈[0,1]).
(1)9(: △𝑃𝐵𝐶°¾]¾f;
(2)ėÍ,𝜆!ĊDđĮ]ö÷𝑃−𝐴𝑀𝐷!ûü°
2
3.
çg 6-1N2024·ċħ·mäOªD]öā𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1!ø+Qtć¾]¾fD∠𝐴𝐶𝐵= 90°DĬ+
𝐴𝐶𝐶1𝐴1QĂfD∠𝐴1𝐴𝐶= 60°,𝐴𝐶= 2D2+𝐴𝐵𝐶⊥2+𝐴𝐶𝐶1𝐴1~
(1)()
𝐴1𝐶⊥𝐴𝐵1l
(2)97𝐶12+𝐴𝐵𝐵1𝐴1!~
çg 6-2N2024·Äã½·]äOªDv]öį𝐴𝐵𝐶−𝐷𝐸𝐹@D𝐻v𝐴𝐶ÅùD2+𝐴𝐶𝐹𝐷⊥2+𝐴𝐵𝐶D
∠𝐴𝐶𝐷= 60°D𝐶𝐻= 2D𝐶𝐷= 4D𝐵𝐶=
3D𝐵𝐻⊥𝐵𝐶.
      
      
(1)()
𝐸𝐹⊥𝐵𝐷l
(2)² △𝐴𝐵𝐶!+ü°3 3
4 D9]ö÷𝐷−𝐴𝐵𝐻!ûü.
çg 6-3N2024·JK·äìíîOªDvİ+û𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸@D𝑃𝐴⊥2+
𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐷𝐸//𝑃𝐴,𝑃𝐴= 2𝐷𝐸= 2𝐴𝐷= 4DÄÅf𝐴𝐵𝐶𝐷QÌ^fD𝐵𝐸= 2 3~
(1)()
∠𝑃𝐸𝐴= 90°l
(2)()
𝑃𝐸⊥2+𝐴𝐵𝐸l
(3)9]ö÷𝑃−𝐴𝐵𝐸!ûü~
      
      
 7   !01/
â 7N2024·Äã½·aäO7𝐴4𝐵vc𝑃𝐶°ı!Ĳ𝑂!Ã+ùDú𝐴𝐵⊥𝐵𝐶D𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 2D{Ĳ
𝑂!Ã+üQ12πDåæÀ@ÌÍ!
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O
①𝐵𝐶⊥2+𝑃𝐴𝐵l②2+𝑃𝐴𝐶⊥2+𝐴𝐵𝐶l③𝑃𝐵⊥𝐴𝐶~
A~0
B~1
C~2
D~3
çg 7-1N2024·ÄãēĔ·äìíîOª«¬DvÌ^û𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1@DM Qö𝐴𝐴1ùa7D2
+𝑀𝐵𝐷1Aö𝐶𝐶1¦7 N.ĳĴå+XÔÕDÒ@«"ÌÍ!ÔÕQN    O
①ÄÅf𝑀𝐵𝑁𝐷1Q23ÄÅfl②ÄÅf𝑀𝐵𝑁𝐷1¯ĵQÌ^fl③uv2+𝑀𝐵𝑁𝐷1A*𝐵𝐵1l④
2+𝑀𝐵𝑁𝐷1A2+𝐴𝐶𝐵1.
  
A~①②
B~③④
C~①④
D~①②④
çg 7-2N23-24 aå·ĶķĸÁ·ģĹOªDvÌ]öā𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1@D𝐴𝐵= 𝐴𝐴1 = 2D7 M °
𝐴1𝐵1!@7.
(1)()
𝑀𝐶1 ⊥2+𝐴𝐵𝐵1𝐴1l
(2)vö𝐵𝐵1ùQĺuv7 QDđĮ𝐴𝑄⊥2+𝐵𝐶1𝑀Ļ²uvD9Ĵ
|𝐵1𝑄|
|𝑄𝐵| !Ċl²ËuvDļ)¹.
çg 7-3N23-24 aå·ċħĽľ·ĿĘęOªDvÄö÷𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷@D2+𝑃𝐴𝐵⊥2+𝐴𝐵𝐶𝐷Dø
      
      
+𝐴𝐵𝐶𝐷Q¾ĈfD𝐴𝐷∥𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐶= 90°Dú𝑃𝐴= 𝐴𝐷= 2,𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 1,𝑃𝐵=
5,𝐸°𝑃𝐷!@7~
(1)9(
𝐴𝐵⊥𝐴𝐸l
(2)9m+¾𝐸−𝐴𝐶−𝐷!ŀĉĊl
(3)v*𝐴𝑃ùQĺuv7𝑀đĮ2+𝐵𝐶𝐸𝑀⊥2+𝑃𝐴𝐵Ļ²uvDļŁ)7𝑀!ØÙl²ËuvDļ)
¹~
 8  234 !01/
â 8N2024·Äãķł·mäOªDvÄöā𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1@Dø+𝐴𝐵𝐶𝐷QĂfD𝐴𝐵= 𝐴𝐴1
= 4D𝑀,𝑁=Ħ°𝐴1𝐵1,𝐴𝐷!@7~
(1)9(
𝐴1𝑁//2+𝐵𝐷𝑀l
(2)²∠𝐵𝐴𝐷= 60∘D9(
2+𝐴1𝑀𝑁⊥2+𝐷𝐷1𝑀~
çg 8-1N2024·Ġé·äìíîOª«¬DÄÅf𝐵𝐶𝐷𝐸°¾ĈfDú𝐵𝐶//𝐷𝐸D𝐸𝐷⊥𝐶𝐷D𝐵𝐶= 2D
      
      
𝐶𝐷=
3D𝐸𝐷= 1~ △𝐴𝐵𝐸°tÅ]¾fD2+𝐴𝐵𝐸⊥2+𝐵𝐶𝐷𝐸~
  
(1)*𝐴𝐶ùQĺuva7𝐺DđĮ𝐷𝐺//2+𝐴𝐵𝐸D²uvDļ)𝐺7!ØÙl²ËuvDļ)¹l
(2)56@"aĭ7𝑄DŃ𝐴𝑄⊥𝐵𝐸Dú𝑄𝐵⋅𝑄𝐶= 0~97𝑄!ńŅ i~
çg 8-2N2024·Äãôõ·äìíîOªN1O¬DvĈf𝐵𝐶𝐷𝐸@D 𝐵𝐶//𝐷𝐸D𝐵𝐴⊥𝐷𝐸Dú
𝐸𝐴= 𝐷𝐴= 𝐴𝐵= 2𝐶𝐵= 2DªN2OĎ𝐴𝐵ĚÄÅf𝐴𝐵𝐶𝐷ďĐDđĮ2+𝐴𝐵𝐶𝐷A2+𝐴𝐵𝐸D 𝑀°𝐶𝐸
!@7~
(1)9(
 𝐵𝐶//+𝐷𝐴𝐸;
(2)9(
 𝐴𝑀⊥𝐵𝐸l
(3)97𝐷2+𝐵𝐶𝐸!~
çg 8-3N2024·TÿĀņŇ·aäO{Ì^û𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1Dö ° 2~
      
      
(1)9(
𝐴1𝐶⊥𝐵1𝐷1~
(2)²2+𝛼/2+𝐴𝐵1𝐷1Dú2+𝛼AÌ^û!ö¦Dňŉ++üŊğwDv«ĳªfù¿Ĵŉ+ªfNË
ŋĴ¿À}¹ODE9Ĵŉ++ü!ŊğĊ~
(3){2+𝛼/2+𝐴𝐵1𝐷1Dī2+𝛼AÌ^û!ö𝐴𝐵4𝐵𝐵14𝐵1𝐶1¦7𝐸4𝐹4𝐺Dňŉ+𝐸𝐹𝐺!+üŊ
ğwD97𝐹2+𝐸𝐺𝐶!~
a4H
1~N2024·êŌ1ō·mäOī𝛼D𝛽Q¥Ëµ2+D𝑎D𝑏Q¥Ëµ*D𝛼//𝛽!ał=ŎQ
N    O
A~𝑎//𝛼D𝑏//𝛽D𝑎∥𝑏 
B~𝑎⊥𝛼D𝑏⊥𝛽D𝑎⊥𝑏
C~𝑎⊥𝛼D𝑏⊥𝛽D𝑎∥𝑏 
D~𝑎//𝛼D𝑏//𝛽D𝑎A𝑏¦
2~N2024·èééê·äìíîOªDQaÌ^û!2+ŏŐªDvÌ^û@Dåæ#ÌÍ!Q
N    O
  
A~𝐴𝐵∥𝐻𝐺
B~𝐶𝐺⊥𝐵𝐻
C~𝐶𝐺⊥𝐷𝐻
D~𝐴𝐶∥𝐷𝐺
3~N2024·Ąħ·mäOőŒœŔ·ŕŖŗQŘřğŚġś«Ŝ!aŝŞ.Òåş°
“ŠšŢţŠŤťD
      
      
ŠŤ3ŦDŠšŧŦŨDŨũËŪūũŬDİ<ŭŮů<Ű”.ª«¬D%ĚŠ[a2+DŠŤ!ť
ű4ŢţŲ4Ţţų[Q*.§¨ťű}Š+*+23DŢţŴŵwDŢţųAŠ+*+DŢţŲ
AŠ+*+23.§¨ňŧŦvŶŢţ!ŷ@DåæÀŸŹ!QN    O
A~ŢţŲAŠ+źŻ23
B~ŢţŲAťűźŻ
C~ŢţųAŠ+źŻ
D~ŢţųAťűźŻ
4~N2024·żķ·]äO{ mDn Q¥ËR1!*D𝛼,𝛽Q¥ËR1!2+Dåæ#ÌÍ!Q
N    O
A~²𝑚//𝛼,𝑛//𝛽,𝛼//𝛽D𝑚//𝑛
B~²𝑚⊂𝛼,𝑛⊂𝛼,𝑚//𝛽,𝑛//𝛽D𝛼//𝛽
C~²𝑚⊥𝛼,𝑚//𝑛,𝛼⊥𝛽D𝑛⊥𝛽
D~²𝑚⊥𝛼,𝑛⊥𝛽,𝑚⊥𝑛D𝛼⊥𝛽
5~N2024·èéŽž·äìíîOvÌ^û𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1@DEDF =ĦQ𝐷𝐷1D𝐵𝐶1!@7DN    O
A~𝐸𝐹//𝐵𝐷
B~𝐹𝐷1//2+ BCE
C~𝐸𝐹⊥𝐵𝐶1
D~𝐴𝐹⊥2+𝐵𝐶𝐶1𝐵1
6~N2024·Ąħſķ·mäO{Ì^û𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1,𝑀,𝑁=ĦQ𝐴1𝐷,𝐷1𝐵!@7DN    O
A~𝐴1𝐷 ∥ 𝐷1𝐵,𝑀𝑁 ∥2+𝐴𝐵𝐶𝐷
B~𝐴1𝐷 ∥ 𝐷1𝐵,𝑀𝑁⊥2+𝐵𝐵1𝐷1𝐷
C~𝐴1𝐷⊥𝐷1𝐵,𝑀𝑁 ∥2+𝐴𝐵𝐶𝐷
D~𝐴1𝐷⊥𝐷1𝐵,𝑀𝑁⊥2+𝐵𝐵1𝐷1𝐷
7~N2024·èéýþ·äìíîOªDÄÅf𝐴𝐵𝐶𝐷Qƀā!Ɓŉ+D𝐸Qø+ƀƂùÉ𝐴D𝐵!a7D
      
      
å+ÔÕ@ŸŹ!QN    O
A~𝐴𝐸⊥𝐶𝐸
B~𝐵𝐶//2+𝐴𝐷𝐸
C~2+𝐴𝐷𝐸⊥2+𝐵𝐶𝐸
D~𝐷𝐸⊥2+𝐵𝐶𝐸
8~N2024·Äãċê·mäOªDĂf𝐴𝐵𝐶𝐷!ƃ¾*𝐴𝐶A𝐵𝐷¦7𝑂D𝐸𝐹Q △𝐵𝐶𝐷!@Ø*D𝐴𝐶A𝐸𝐹¦
7𝐺D{ △𝑃𝐸𝐹Q △𝐶𝐸𝐹ě𝐸𝐹ĝoŷ@!aªf﹐ú𝑃∉2+𝐴𝐵𝐶𝐷.ĳĴåæÔÕ
①𝐵𝐷//2+𝑃𝐸𝐹l
②2+𝑃𝐴𝐶⊥2+𝐴𝐵𝐶𝐷l
③“*𝑃𝐹⊥*𝐴𝐶”źŻË½Ƅ.
Ò@«"ÌÍÔÕ!ƅ	°N    O
A~①②③
B~①②
C~①③
D~②③
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9~N2024·ċħƆó·]äO{𝛼D𝛽Q¥Ëµ!2+DmDnDl Q]Ëµ!*Dåæ#@ÌÍ
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A~²𝑚⊥𝛼D𝑛⊥𝛼D𝑚∥𝑛
B~²𝑚∥𝛼D𝑛∥𝛼D𝑚∥𝑛
C~²𝛼∩𝛽= 𝑙D𝑚∥𝛼D𝑚∥𝛽D𝑚∥𝑙
D~²𝛼∩𝛽= 𝑙D𝑚⊂𝛼D𝑚⊥𝑙D𝑚⊥𝛽
10~N2024·ĶķƇ)·äìíîOªQaÌ^û!2+ŏŐªDvÌ^û@N    O
      
      
A~𝐴𝐹∥𝐶𝑁
B~𝐵𝑀⊥𝐷𝐸
C~𝐶𝑁A𝐵𝑀½ 60°¾
D~𝑁𝐸A𝐵𝑀QÉ+*
11~N2024·żķ·äìíîOªDvÄö÷ P-ABCD @DPA⊥ø+ ABCDDúÄÅf ABCD °Ì^fD
𝑃𝐴= 𝐴𝐵D7 EDMDN =Ħ° ADDPDDBC !@7D7 MDNDE !2+°𝛼DÄö÷ P-ABCD !û
ü° VDN    O
A~AM⊥2+ PCD
B~BM⊥PD
C~2+𝛼ŉÄö÷ P-ABCD ¥ƈ=@jğƈ=XƉû!ûü°
11
16𝑉
D~2+ PBC⊥2+ PCD
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12~N2023·èéêë·äìíîOvÌÄöā𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1@D𝐴𝐵= 2,𝐴𝐴1 = 4D2+𝛼Aö𝐴𝐴1,𝐵𝐵1,𝐶𝐶1
,𝐷𝐷1=Ħ¦7𝑀,𝐸,𝑁,𝐹DÒ@𝐸,𝐹=ĦQ𝐵𝐵1,𝐷𝐷1!@7Dú𝐴1𝐶⊥𝑀𝐸D𝐴1𝑀=      
~
13~N2024·èéêë·äìíîO{Äö÷𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷!ø+𝐴𝐵𝐶𝐷°ĂfDÒ@
∠𝐵𝐶𝐷= 120°,𝑆𝐴= 𝑆𝐵= 2𝐴𝐵= 2 6
3 𝑆𝐶D7𝐻v*𝑆𝐵ùD²2+𝑆𝐴𝐵⊥2+𝐶𝐷𝐻D
𝐵𝐻
𝐵𝑆=      
~
14~N2024·ƊķƋò·äìíîOªDvö ° 1 !Ì^û𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1@D7𝑃v*𝐵1𝐶ùzĭD
åæÔÕÌÍ!Q      
~
①2+𝐵𝐷1𝑃⊥2+𝐴𝐶𝐵1
②]ö÷𝐴1−𝐷𝑃𝐶1!ûü°,Ċ
      
      
③v𝐵1𝐶ùuv7𝑃DđĮ𝐴1𝑃//+𝐴𝐶𝐷1
④𝐴1𝑃+ 𝑃𝐶1!ŊrĊ° 2
  
Ä4?q
15~N2024·èéŽž·äìíîOªDvÄö÷𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷@D𝑃𝐴⊥2+𝐴𝐵𝐶𝐷Dø+𝐴𝐵𝐶𝐷°Ì^fDE
°*𝐴𝐵!@7D𝑃𝐴= 𝐴𝐵= 2~
(1)9(
𝐵𝐷⊥𝑃𝐶l
(2)97 E 2+𝑃𝐵𝐷!~
16~N2024·ƌƍƍé·äìíîOªQa2+ŉø+Å ° 2 !Ì^f! ^û𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1«Į
!XƉû𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻,𝐴𝐶A𝐵𝐷¦7𝑂,𝐴𝐸= 1,𝐶𝐺= 2,𝐵𝐹= 𝐷𝐻.
      
      
(1)()
𝑂𝐺⊥2+𝐵𝐷𝐸l
(2)9]ö÷𝐺−𝐵𝐷𝐸!ûü.
17~N2024·Äã½·äìíîOªDvÄö÷𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷@D𝐴𝐵//𝐶𝐷D∠𝐵𝐴𝐷= 60°D𝐴𝐵= 1D
𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 2D𝐵𝐸⊥𝐶𝐷~
  
(1)()
2+𝐵𝐷𝐸⊥2+𝐴𝐵𝐶𝐷l
(2)²𝐴𝐷⊥𝐷𝐸D𝐷𝐸= 4 2D𝐹°𝐶𝐸@7D9]ö÷𝐹−𝐴𝐵𝐸!ûü~
18~N2024·Äã½·]äOªDv]öā𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1@D𝐴𝐴1 ⊥2+𝐴𝐵𝐶D∠𝐴𝐵𝐶= 90°D𝐵𝐴=
2D
𝐴𝐴1 = 2D𝐷Qö𝐴𝐶!@7D𝐸vö𝐵𝐵1ùDú𝐴𝐸⊥𝐴1𝐶.
      
      
  
(1)()
𝐵𝐷//2+𝐴𝐸𝐶1l
(2)²Äö÷𝐶1−𝐴𝐸𝐵1𝐴1!ûüt 1D&'2+𝐴𝐸𝐶1A2+𝐴𝐶𝐶1𝐴1QĺDE)¹.
19~N2024·èééê·aäOª 1 «¬!QtćĈf𝐴𝐵𝐶𝐷D𝐴𝐵//𝐶𝐷D𝐴𝐵= 3D𝐶𝐷= 1D∠𝐴𝐵𝐶=
π
3D𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
𝐸7DƎĚ △𝐴𝐷𝐸Ď*𝐷𝐸ďĐ △𝑃𝐷𝐸!ØÙDƏƐ𝑃𝐵D𝑃𝐶Df½aÄö÷𝑃−𝐸𝐵𝐶𝐷Dª 2 «
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(1)²2+𝑃𝐶𝐷∩2+𝑃𝐵𝐸= 𝑙D9(
𝐷𝐶//𝑙l
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2+𝑃𝐵𝐸⊥2+𝐵𝐶𝐷𝐸l
(3)²m+¾𝑃−𝐸𝐷−𝐵!ğr°
π
3D9]ö÷𝐸−𝑃𝐶𝐷!ûü.
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