微专题3 三角形中的“三条线”
近几年高考：与三角形的“三条线线”(中线、角平分线、高
线)有关的解三角形问题是高考的热点,命题形式灵活新颖,实
质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形,难度中档或
偏下.
一、高考真题
1.(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC 中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin
B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB 边上的高.
2.(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知△ABC 面积为❑√3,D 为BC 的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=π
3
,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
二．典型例题
1.三角形的角平分线
例1 (2025·厦门质检)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知cos B=7
9
,a=4,角B 的角平分线交AC 于点D,且
BD=3❑√2.
(1)求CD 的长;
(2)求△ABC 的面积.
规律方法 如图,在△ABC 中,AD 是△ABC 中∠A 的角平分线,
且交BC 于点D,则线段AD 是
△ABC 的一条角平分线,在解三角形有关角平分线问题常用到
以下结论:
(1)角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD;
(2)角平分线定理: AB
AC
= BD
DC
;
(3)角平分线长公式:AD=2bc cos ∠BAC
2
b+c
;
(4)三角形边与面积的比值关系:S△ABD
S△ACD
= AB
AC
=BD
CD
;
(5)三角形的面积关系:S△ABD+S△ACD=S△ABC.
训练1 (1)(2023·全国甲卷)在△ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,BC=
❑√6,∠BAC 的角平分线交BC 于D,则AD= .
(2)(2025·武汉四调)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是
a,b,c,且C=π
3
,c=6,△ABC 面积为❑√3,D 为边AB 上一点,CD
是∠ACB 的角平分线,则CD= .
2.三角形的中线
例2 (2025·青岛质检)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,且满足cos C=a
b
- c
2b
.
(1)求角B;
(2)若△ABC 外接圆的半径为❑√3,且AC 边上的中线长为5
2
,求
△ABC 的面积和周长.
规律方法 如图,在△ABC 中,AD 是边BC 上的中线,在解三角
形有关中线问题常用到以下结论:
(1)三角形的面积关系:
S△ABD=S△ACD=1
2
S△ABC;
(2)角的互补关系:∠ADB+∠ADC=π;
(3)中线长定理:AB2+AC2=2(BD2+AD2);
(4)中线的向量表示:⃗AD
2=1
4
(⃗AC
2+⃗AB
2+2|⃗AC||⃗AB|cos
∠BAC).
训练2 (2025·长沙雅礼中学模拟)记△ABC 的内角A,B,C 的对
边分别为a,b,c,已知acos C-asin C-b+❑√2c=0.
(1)求A;
(2)设D 是边BC 中点,若cos C=-3
5
,求sin ∠ADC.
3.三角形的高线
例3 (2025·石家庄模拟)在△ABC 中,三个内角A,B,C 所对的边
分别为a,b,c,∠BAC=π
3
,a=❑√7,D 是BC 的三等分点,且
BD=2DC.
(1)当△ABC 的面积S=3 ❑√3
2
时,求AD 的长;
(2)当⃗AD·(⃗BC+⃗AC)=7
3
时,求AB 边上的高.
规律方法 1.高线两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的
面积相关.
2.求三角形高线长的方法:
(1)等面积法,即求某边上的高,需要先求出面积和底边的长度.
(2)在高产生的直角三角形里去求;
(3)边、角比法,h1,h2,h3分别为△ABC 边a,b,c 上的高,则
h1∶h2∶h3=1
a
∶1
b
∶1
c
=
1
sin A
∶
1
sin B
∶
1
sin C
.
训练3 已知△ABC 的三个角A,B,C 的对边分别为a,b,c,设p=
1
2
(a+b+c),求证:
(1)三角形的面积S=❑√p( p−a)( p−b)( p−c);
(2)把边BC,AC,AB 上的高分别记为ha,hb,hc,则
ha=2
a
❑√p( p−a)( p−b)( p−c),
hb=2
b
❑√p( p−a)( p−b)( p−c),
hc=2
c
❑√p( p−a)( p−b)( p−c).
【精准强化练习3】
1.(2025·嘉兴模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,a=3❑√2,asin B=bsin (A + π
3).
(1)求角A;
(2)作角A 的平分线与BC 交于点D,且AD=❑√3,求b+c.
2.(2025·北京卷)在△ABC 中,cos A=-1
3
,asin C=4❑√2.
(1)求c;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知,使得△ABC 存在,求BC 的高.
条件①a=6;条件②bsin C=10 ❑√2
3
;条件③△ABC 面积为10❑√2
.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
3.(2025·惠州模拟)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知a<b<c 且tan A,tan B,tan C 均为整数.
(1)求tan A,tan B,tan C 的值;
(2)设AC 的中点为D,求∠CDB 的余弦值.
4.(2025·泰州调研)在△ABC 中,已知tan A=4
3
,sin(A-B)=
❑√2
10
.
(1)求B;
(2)若AD 为∠BAC 的平分线,△ABC 的面积为14,求AD.
