90.解析几何中双切线问题的常见应用情境
情境1.圆的双切线模型及应用
圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热
爱，2020 年的理数全国一卷的选择题11 题就是一个典例应用. 对于圆的双切线，我的建
议就是多推导，遇到最值就往切线长上转化！
如图1，从圆外任一点
向圆引两条切线，圆心
，两切点
，我们把线段
)
,
(
0
0 y
x
P
C
B
A,
的长度叫做切线长，设圆的半径为
，则四边形
具有如下的性质：
PB
PA，
r
PABC
1.
；
.
PAC
PBC
PB
PA
2.切线长的计算：
,当半径给定，切线长最小等价于
最小.
2
2
r
PC
PB
PA
PC
3.
四点共圆
，
的
C
B
A
P
AP
CA
BP
BC
,
,
,
,
180
ACB
APB
C
B
A
P
,
,
,
外接圆以
为直径
（托勒密定理）.
PC
PC
AB
AP
BC
PB
AC
4.
平分
.
PC
ACB
APB
，
5.
，当半径给定，四边形
最小等价于
2
2
2
r
PC
r
PB
BC
S
S
PBC
PABC
PABC
最小.
PC
6. 假设
且
.由基本的三角恒等关系可知：
2
APC
BPC
PC
r
PC
BC
sin
，故可得：
2
2
)
(
2
1
sin
2
1
2
cos
PC
r
2
cos
|
|
|
|
PA
PB
PB
PA
.对
使用均值不等式可得
最小
2
2
4
2
2
2
2
3
2
]
)
(
2
1[
)
(
r
PC
r
PC
PC
r
r
PC
2
PC
PB
PA
值.
图1
7.假设
，圆
的方程为
（
）
)
,
(
0
0 y
x
P
C
0
2
2
F
Ey
Dx
y
x
0
4
2
2
F
E
D
则切点弦
的方程为：
.
AB
0
2
2
0
0
0
0
F
y
y
E
x
x
D
y
y
x
x
例1.（2023 年新高考1 卷） 过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
0, 2
2
2
4
1
0
x
y
x
，则
（ ）
sin
A．1
B．
C．
D．
15
4
10
4
6
4
解析：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
2
2
4
1
0
x
y
x
2
2
2
5
x
y
2,0
C
5
r
过点
作圆C 的切线，切点为
，因为
，则
0, 2
P
,
A B
2
2
2
2
2 2
PC
，可得
，
2
2
3
PA
PC
r
5
10
3
6
sin
,cos
4
4
2 2
2 2
APC
APC
则
，
10
6
15
sin
sin 2
2sin
cos
2
4
4
4
APB
APC
APC
APC
，即
为
2
2
2
2
6
10
1
cos
cos2
cos
sin
0
4
4
4
APB
APC
APC
APC
APB
钝角，所以
.
15
sin
sin π
sin
4
APB
APB
例2.（2020 全国1 卷）已知⊙M：
，直线：
，
2
2
2
2
2
0
x
y
x
y
l
2
2
0
x
y
为上的动点，过点
作⊙M 的切线
，切点为
，当
最小时，
P
l
P
,
PA PB
,
A B
|
| |
|
PM
AB
直线
的方程为（ ）
AB
A．
B．
C．
D．
2
1
0
x
y
2
1
0
x
y
2
1
0
x
y
2
1
0
x
y
解析：综合考察性质3，5,7.圆的方程可化为
，点
到直线的距
2
2
1
1
4
x
y
M
l
离为
，所以直线
与圆相离．依圆的知识可知，四点
2
2
2 1 1
2
5
2
2
1
d
l
四
点
共
圆
，
且
，
所
以
, , ,
A P B M
AB
MP
，而
1
4
4
4
2
PAM
PM
AB
S
PA
AM
PA
A
，当直线
时，
，
，此时
最
2
4
PA
MP
MP
l
min
5
MP
min
1
PA
PM
AB
小．
∴
即
，由
解得，
．
1
:
1
1
2
MP y
x
1
1
2
2
y
x
1
1
2
2
2
2
0
y
x
x
y
1
0
x
y
所以以
为直径的圆的方程为
，即
，
MP
1
1
1
0
x
x
y y
2
2
1
0
x
y
y
两圆的方程相减可得：
，即为直线
的方程．
2
1
0
x
y
AB
情境2.圆锥曲线的双切线
1.知识要点.如何合理的处理双切线，我总结如下：已知曲线外一点
,向二次曲
)
,
(
0
0
1
y
x
A
线
引两条切线
，设
.
C
3
1
2
1
,
A
A
A
A
)
,
(
),
,
(
2
2
3
1
1
2
y
x
A
y
x
A
第1 步：分别写出切线
的方程（注意斜率）；
3
1
2
1
,
A
A
A
A
第2 步：联立
与曲线
的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以
3
1
2
1
,
A
A
A
A
C
的
或
坐标为参数，进一步构造
点横或纵坐标满足的同构方程方程③；
1A
0x
0y
3
2, A
A
第3 步：利用方程③根与系数的关系判断
与曲线的位置关系，或完成其他问题.
3
2A
A
常见案例1.彭赛列闭合
例3.（2021 全国甲卷20）已知抛物线
的顶点为坐标原点
，焦点在
轴上，直线
C
O
x
交
于
两点，且
. 已知点
，且⨀
与相切.
1
:
x
l
C
Q
P,
OQ
OP
)
0,2
(
M
M
l
（1）求
，⨀
的方程；
C
M
（2）设
是
上的三个点，直线
均与⨀
相切，判断直线
与⨀
3
2
1
,
,
A
A
A
C
3
1
2
1
,
A
A
A
A
M
3
2A
A
的位置关系，并说明理由.
M
解：（1）设
的方程为
，由对称性可知，
，并假设
点在
C
0
,
2
2
p
px
y
|
|
|
|
OQ
OP
P
第一象限，
点在第四象限，故将
代入抛物线方程解得：
，
Q
1
x
p
y
p
y
Q
P
2
,
2
又因为
，故
，代入
点坐标可得：
，
OQ
OP
1
1
Q
Q
P
P
OQ
OP
x
y
x
y
k
k
Q
P,
2
1
p
故
的方程为
.再由直线与⨀
相切可得⨀
：
.
C
x
y
2
l
M
M
1
)
2
(
2
2
y
x
（2）直线
与⨀
相切.理由如下：假设直线
的斜率都存在，设
3
2A
A
M
3
1
2
1
,
A
A
A
A
，则设
的方程为：
，整
)
,
(
0
2
0
1
y
y
A
)
,
(
),
,
(
2
2
2
3
1
2
1
2
y
y
A
y
y
A
2
1A
A
)
(
2
0
2
0
2
1
0
1
0
y
x
y
y
y
y
y
y
理可得：
，由直线
与⨀
相切得：
，
0
)
(
1
0
1
0
y
y
y
y
y
x
2
1A
A
M
1
)
(
1
|
2
|
2
1
0
1
0
y
y
y
y
整理得：
①同理：
的方程为
0
3
2
)1
(
2
0
1
0
2
1
2
0
y
y
y
y
y
3
1A
A
，由
与⨀
相切
，即
0
)
(
2
0
2
0
y
y
y
y
y
x
3
1A
A
M
1
)
(
1
|
2
|
2
2
0
2
0
y
y
y
y
②. 由①，②可知
分别是下列方程的两根，
0
3
2
)1
(
2
0
2
0
2
2
2
0
y
y
y
y
y
2
1, y
y
③.
0
3
2
)1
(
2
0
0
2
2
0
y
y
y
y
y
若
，代入③式得：
，与
是三个不重合的点矛盾，故
0
1
2
0
y
1
y
3
2
1
,
,
A
A
A
0
1
2
0
y
，则
④,
1
3
,
1
2
2
0
2
0
2
1
2
0
0
2
1
y
y
y
y
y
y
y
y
最后，由于直线
的方程为
，那么圆心
到直线
3
2A
A
0
)
(
2
1
2
1
y
y
y
y
y
x
)
0,2
(
M
3
2A
A
的距离为
，代入④式得：
.故直线
与⨀
相
2
2
1
2
1
)
(
1
|
2
|
y
y
y
y
d
1
)1
(
1
2
2
0
2
0
y
y
d
3
2A
A
M
切.
当直线
斜率有一条不存在时，根据⨀
的位置关系可知，此时切线要么为
3
1
2
1
,
A
A
A
A
M
，要么为
.不妨假设当切线
为
时，那么此时切线
为
，不合
1
x
3
x
2
1A
A
1
x
3
1A
A
1
y
题意.假设当切线
为
时，可取两点坐标为
，设切线
2
1A
A
3
x
)
3
,3
(
),
3
,3
(
2
1
A
A
3
1A
A
的方程为
，其与⨀
相切，故
.即此时，切
)3
(
3
x
t
y
M
3
3
1
1
|
3
3
2
|
2
t
t
t
t
线
，过坐标原点与⨀
相切，即
.这样：
的方程为：
，与
3
1A
A
M
)
0,0
(
3
A
3
2A
A
x
y
3
3
关于
轴对称，如图1 所示，根据对称性可知
与⨀
相切，综上所述，
3
1A
A
x
3
2A
A
M
3
2A
A
与⨀
相切.
M
常见案例2：椭圆双切线与蒙日圆
曲线
的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆
.
1
:
2
2
2
2
b
y
a
x
2
2
2
2
b
a
y
x
证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0 时，可得点P 的坐标是
，或
.
)
,
(
b
a
)
,
(
b
a
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0 时，可设点P 的坐标是
且
，所以可设曲线
的过点P 的切线方程是
,
)(
,
(
0
0
0
a
x
y
x
)
0
b
y
. 由
，得
)
0
)(
(
0
0
k
x
x
k
y
y
)
(
1
0
0
2
2
2
2
x
x
k
y
y
b
y
a
x
0
)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
0
0
2
0
0
2
2
2
2
2
b
a
y
kx
a
x
y
kx
ka
x
b
k
a
由其判别式的值为0，得
)
0
(
0
2
)
(
2
2
0
2
2
0
0
0
2
2
2
0
a
x
b
y
k
y
x
k
a
x
因为
是这个关于
的一元二次方程的两个根，所以
PB
PA k
k
,
k
2
2
0
2
2
0
a
x
b
y
k
k
PB
PA
由此，得
2
2
2
0
2
0
1
b
a
y
x
k
k
PB
PA
例4.已知椭圆
：
的左焦点
，点
在椭圆
C
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
1
3,0
F
3
1, 2
Q
C
上.
（1）求椭圆
的标准方程；
C
（2）经过圆
：
上一动点
作椭圆
的两条切线，切点分别记为
，
，直
O
2
2
5
x
y
P
C
A
B
线
，
分别与圆
相交于异于点
的
，
两点.
PA
PB
O
P
M
N
（i）求证：
；
0
OM
ON
（ii）求
的面积的取值范围.
OAB
A
解析：（1）椭圆
的标准方程为
.
C
2
2
1
4
x
y
（2）（i）设点
.
0
0
,
P x
y
①当直线
，
的斜率都存在时，设过点
与椭圆
相切的直线方程
PA
PB
P
C
.
0
0
y
k x
x
y
由
，消去
，得
.
0
0
2
2
4
4
0
y
k x
x
y
x
y
y
2
2
2
0
0
0
0
1
4
8
4
4
0
k
x
k y
kx
x
y
kx
.令
，整理得
2
2
2
2
0
0
0
0
64
4 1
4
4
4
k
y
kx
k
y
kx
0
.设直线
，
的斜率分别为
，
.∴
.
2
2
2
0
0
0
0
4
2
1
0
x
k
x y k
y
PA
PB
1k
2k
2
0
1
2
2
0
1
4
y
k k
x
又
，∴
.∴
，即
为圆
的直径，∴
2
2
0
0
5
x
y
2
2
0
0
1
2
2
2
0
0
1
5
4
1
4
4
x
x
k k
x
x
PM
PN
MN
O
.
0
OM
ON
②当直线
或
的斜率不存在时，不妨设
，则直线
的方程为
.
PA
PB
2,1
P
PA
2
x
∴
，
，也满足
.综上，有
.
2, 1
M
2,1
N
0
OM
ON
0
OM
ON
（ii）设点
，
.当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
PA
PA
.由
，消去
，得
1
1
1
y
k
x
x
y
1
1
1
2
2
4
4
0
y
k
x
x
y
x
y
y
.
2
2
2
1
1
1
1 1
1
1 1
1
4
8
4
4
0
k
x
k
y
k x
x
y
k x
.
2
2
2
2
1
1
1 1
1
1
1 1
64
4 1
4
4
4
k
y
k x
k
y
k x
令
，整理得
.则
0
2
2
2
1
1
1
1 1
1
4
2
1
0
x
k
x y k
y
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
4
4
4
x y
x y
x
k
x
y
y
∴直线
的方程为
.
PA
1
1
1
1
4
x
y
x
x
y
y
化简可得
，即
.经验证，当直线
的斜率不存在时，
2
2
1
1
1
1
4
4
x x
y y
y
x
1
1
1
4
x x
y y
PA
直线
的方程为
或
，也满足
.同理，可得直线
的方程为
PA
2
x
2
x
1
1
1
4
x x
y y
PB
. ∵
在直线
，
上，∴
，
.
2
2
1
4
x x
y y
0
0
,
P x
y
PA
PB
1
0
1
0
1
4
x x
y y
2
0
2
0
1
4
x x
y y
∴直线
的方程为
.由
，消去
，得
AB
0
0
1
4
x x
y y
0
0
2
2
1
4
4
4
x x
y y
x
y
y
.∴
，
.
2
2
2
0
0
0
3
5
8
16 16
0
y
x
x x
y
0
1
2
2
0
8
3
5
x
x
x
y
2
0
1
2
2
0
16 16
3
5
y
x x
y
∴
2
0
1
2
2
0
1 16
x
x
x
y
AB
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
0
0
64
4 3
5 16 16
15
5
16
3
5
x
y
y
y
y
y
.又点
到直线
的距离
2
2
0
4
2
0
0
0
2
2
2
0
0
0
2 5 3
1
3
1
2 5
3
3
5
3
5
y
y
y
y
y
y
y
O
AB
.∴
.
2
2
2
0
0
0
4
4
16
5 3
1
d
x
y
y
2
0
2
2
0
0
2 5 3
1
1
4
2
3
5
5 3
1
OAB
y
S
y
y
△
2
0
2
0
4 3
1
3
5
y
y
令
，
.则
.
2
0
3
1
y
t
1,4
t
2
4
4
4
4
OAB
t
S
t
t
t
△
又
，∴
的面积的取值范围为
.
4
4,5
t
t
OAB
A
4 ,1
5
案例3.阿基米德三角形（抛物线）
如图，假设抛物线方程为
，过抛物线准线
上一点
向抛
)
0
(
2
2
p
py
x
2
p
y
)
,
(
0
0 y
x
P
物线引两条切线，切点分别记为
，其坐标为
.则以点
和两切点
B
A,
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
P
B
A,
围成的三角形
中，有如下的常见结论:
PAB
结论1.直线
过抛物线的焦点
.
AB
F
证明：参见下面的例1.
结论2.直线
的方程为
.
AB
)
(
2
2
0
0
0
y
y
p
y
y
p
x
x
证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到.
进一步，设
：
，则
.
B
A,
)
2
,
(
),
2
,
(
2
2
2
2
1
1
p
x
x
p
x
x
p
x
x
x
x
p
x
p
x
kAB
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
则
，显然由于
过焦点
2
1
2
1
1
2
1
2
1
)
(
2
:
)
(
2
2
:
x
x
x
x
x
py
AB
x
x
p
x
x
p
x
y
AB
AB
，代入可得
.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系.
)
2
,0
(
p
2
2
1
p
x
x
上述结论的逆向也成立，即：（凌晨讲数学）
结论3.过
的直线与抛物线交于
两点，以
分别为切点做两条切线，则这两条切
F
B
A,
B
A,
线的交点
的轨迹即为抛物线的准线.
)
,
(
0
0 y
x
P
证明：过
点的切线方程为
，过
点的切线方程为
，两
A
)
(
1
1
y
y
p
x
x
B
)
(
2
2
y
y
p
x
x
式相除可得：
.这就证明了该结论.
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
p
p
x
x
y
x
x
y
x
y
x
y
y
y
y
y
x
x
结论4.
.
AB
PF
证明：由结论3，
，
.那么
.
p
x
kAB
0
0
0
2
x
p
y
kPF
1
2
1
2
0
0
0
0
p
y
x
p
y
p
x
k
k
PF
AB
结论5.
.
PB
AP
证
明
：
,则
p
x
k
p
x
k
BP
AP
2
1 ,
.由抛物线焦点弦的性质可
2
2
1
2
1
p
x
x
p
x
p
x
k
k
BP
AP
知
，
代
入
上
式
即
可
得
2
2
1
p
x
x
，故
.
1
2
2
1
p
x
x
k
k
BP
AP
PB
AP
结论6.直线
的中点为
，则
平行于抛物线的
AB
M
PM
对称轴.
证明：由结论3 的证明可知，过点
的切线的交点
在抛物线准线上.且
的坐标为
B
A,
P
P
，显然
平行于抛物线的对称轴.（凌晨讲数学）
)
2
,
2
(
2
1
2
1
p
x
x
x
x
PM
例5 .（2021 年全国乙卷）知抛物线
的焦点为
，且
与圆
2
:
2
0
C x
py p
F
F
上点的距离的最小值为
．
2
2
:
(
4)
1
M
x
y
4
（1）求
；
p
（2）若点
在
上，
是
的两条切线，
是切点，求
面积的最大值．
P
M
,
PA PB
C
,
A B
PAB
A
解析：（1）
．
2
p
（2）（方法1）
抛物线
的方程为
,即
,对该函数求导得
,设点
、
C
2
4
x
y
2
4
x
y
2
x
y
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
、
,直线
的方程为
,即
,即
,
0
0
,
P x
y
PA
1
1
1
2
x
y
y
x
x
1
1
2
x x
y
y
1
1
2
2
0
x x
y
y
同理可知，直线
的方程为
，由于点
为这两条直线的公共点，则
PB
2
2
2
2
0
x x
y
y
P
，所以，点A、
的坐标满足方程
，
1
0
1
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
x x
y
y
x x
y
y
B
0
0
2
2
0
x x
y
y
所以，直线
的方程为
，联立
，可得
AB
0
0
2
2
0
x x
y
y
0
0
2
2
2
0
4
x x
y
y
x
y
，
2
0
0
2
4
0
x
x x
y
由韦达定理可得
，
，
1
2
0
2
x
x
x
1
2
0
4
x x
y
所以，
，点
到直线
的距离为
2
2
2
2
0
1
2
1
2
0
0
0
1
4
4
4
2
x
AB
x
x
x x
x
x
y
P
AB
，所以，
，
2
0
0
2
0
4
4
x
y
d
x
2
3
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0
2
0
4
1
1
1
4
4
4
2
2
2
4
PAB
x
y
S
AB d
x
x
y
x
y
x
△
，
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
4
1
4
4
12
15
6
21
x
y
y
y
y
y
y
由已知可得
，所以，当
时，
的面积取最大值
.
0
5
3
y
0
5
y
PAB
A
3
2
1
20
20 5
2
（方法2）同方法一得到
．过P 作y 轴的平行线交
于Q，则
1
2
0
1
2
0
2
,
4
x
x
x x x
y
AB
．
．P 点
2
0
0
0
, 2
x
Q x
y
3
2
2
2
2
1
2
0
0
0
0
0
0
1
1 1
1
|
|
2
4
16
4
2
2 2
2
A PAB
S
PQ
x
x
x
y
x
y
x
y
在圆M 上，则
0
0
cos ,
4
sin
,
x
y
．故当
时
3
3
3
2
2
2
2
2
2
0
0
1
1
1
4
cos
4sin
16
(sin
2)
21
2
2
2
A PAB
S
x
y
sin
1
的面积最大，最大值为
．
PAB
A
20 5
例6.（2019 年全国三卷）已知曲线C：y=
，D 为直线y=
上的动点，过D 作C 的
2
2
x
1
2
两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB 过定点：（凌晨讲数学）
（2）若以E(0，
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形
5
2
ADBE 的面积.
解析：（1）设
,
,则
．又因为
，所以
.
1
( ,
)
2
D t
1
1
( ,
)
A x y
2
1
1
1
2
y
x
2
1
2
y
x
y'
x
故
，整理得
.设
，同理得
.
1
1
1
1
(
)
2
y
x x
t
1
1
2
2
1
0
tx
y
2
2
(
,
)
B x
y
2
2
2
2
1
0
tx
y
,
都满足直线方程
.于是直线
过点
1
1
( ,
)
A x y
2
2
(
,
)
B x
y
2
2
1
0
tx
y
2
2
1
0
tx
y
,
A B
，而两个不同的点确定一条直线，所以直线
方程为
.即
AB
2
2
1
0
tx
y
，
2
( 2
1)
0
tx
y
当
时等式恒成立．所以直线
恒过定点
.
2
0, 2
1
0
x
y
AB
1
(0, )
2
（2）由（1）得直线
的方程为
.由
，可得
，
AB
1
2
y
tx
2
1
2
2
y
tx
x
y
2
2
1
0
x
tx
于是
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 ,
1,
(
) 1
2
1
x
x
t x x
y
y
t x
x
t
.设
分别为点
到
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
1
|
|
1
(
)
4
2(
1)
AB
t
x
x
t
x
x
x x
t
1
2
,
d d
,
D E
直线
的距离，则
.因此，四边形ADBE 的面积
AB
2
1
2
2
2
1,
1
d
t
d
t
.设M 为线段AB 的中点，则
，
2
2
1
2
1 |
|
3
1
2
S
AB
d
d
t
t
2
1
,
2
M t t
由于
，而
，
与向量
平行，所以
，解
EM
AB
2
,
2
EM
t t
AB
(1, )t
2
2
0
t
t
t
得
或
.当
时，
；当
时
，因此，四边形
的面积
0
t
1
t
0
t
3
S
1
t
4 2
S
ADBE
为
或
.
3
4 2
三．习题演练
1.（广东省广州市2025 届高三二模）已知双曲线
的右焦点
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
到
的一条渐近线的距离为
.
2,0
F
C
3
（1）求
的方程；
C
（2）设点
在
的右支上，过点
作圆
的两条切线，一条与
的左支交于
P
C
P
2
2
3
:
2
O x
y
C
点
，另一条与
的右支交于点
（异于点
）.
M
C
N
P
（ⅰ）证明：
；
OM
OP
（ⅱ）当
的面积最小时，求直线
和直线
的方程.
PMN
A
PM
PN
2.（江苏省南京市2025 届高三一模）设
是由直线构成的集合，对于曲线
，若
上任
M
C
C
意一点处的切线均在
中，且
中的任意一条直线都是
上某点处的切线，则称
为
M
M
C
C
M
的包络曲线.
（1）已知圆
为
的包络曲线，判断直线
（
为常数，
2
2
1 :
1
C
x
y
1
M
: sin
cos
1
l x
y
）与集合
的关系；
R
1
M
（2）已知
的包络曲线为
，直线
.设
与
的公共点分别为
2
M
2
2 :
4
C
x
y
1
2
2
,
l l
M
1
2
,l l
2
C
,
P Q
，记
的焦点为
.
1
2
2
,
l
l
A C
F
①证明：
是
、
的等比中项；
FA
FP
FQ
②若点
在圆
上，求
的最大值.
A
2
2
(
1)
1
x
y
FA
FP
3.（武汉市2025 届高三二月调考）双曲线
的一个顶点在直线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
上，且其离心率为
．
:
1
l y
x
5
（1）求双曲线
的标准方程；
E
（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义
该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点
在直线上，且过点
恰好
T
l
T
可作双曲线E 的两条切线，设这两条切线的切点分别为
和
．
P
M
（i）设点
的横坐标为，求的取值范围；
T
t
t
（ii）设直线
和直线
分别与直线
交于点
和点
，证明：直线
和直线
TP
TM
1
x
Q
N
PN
交点在定直线上．
MQ
（附：双曲线
以点
为切点的切线方程为
）
2
2
2
2
x
y
a
b
,
m n
2
2
1
m
n
x
y
a
b
参考答案
1.解析：（1）
的方程为
.
C
2
2
1
3
y
x
（2）由（ⅰ）同理可得
，所以
三点共线.则
的面积
ON
OP
,
,
M O N
PMN
A
.设切线
与圆
的切点为
，则
2
POM
S
S
OM OP
A
PM
O
,
D
PMO
.在
中，
，在
中，
6
π
,
2
2
OD
MPO
Rt ODM
A
6
sin
2sin
OD
OM
Rt ODP
A
，则
，
6
π
2cos
sin 2
OD
OP
6
3
4sin cos
sin2
S
OM OP
当
时，
，即
的面积的最小值为3.此时，直线
平行
轴，则
π
4
min
3
S
PMN
A
S
PM
x
,
M P
的纵坐标绝对值为圆
的半径.得点
的坐标为
，所以直线
的方程为
O
P
6
6
,
2
2
PM
，直线
的方程为
.
6
2
y
PN
6
2
x
2.【详解】（1）圆心
到的距离
，
1 0,0
C
l
2
2
1
1
sin
( cos )
d
即直线与圆
相切，所以
.
l
1
C
1
l
M
（2）解法一：①证明：由
，知
的准线方程为
，
.
2
1
4
y
x
2
0,1 ,
F
C
1
y
1
2
y
x
设
.因为
，且与
的公共点为
，所以是曲线
在点
1
1
2
2
,
,
,
,
,
A s t
P x y
Q x
y
1
2
l
M
1l
2
C
P
1l
2
C
P
处的切线，其方程为
，即
，则
（*），
1
1
1
1
:
2
PA y
x
x
x
y
1
1
1
2
y
x x
y
1
1
1
2
t
x s
y
同理，
，则
（**），由（*）（**）得直线
的方程为
2
2
1
:
2
QA y
x x
y
2
2
1
2
t
x s
y
PQ
，即
.由
，消去
整理得
，则
1
2
t
xs
y
1
2
y
sx
t
2
4
1
2
x
y
y
sx
t
x
2
2
2
2
0
y
t
s
y
t
.又因为
，则
2
2
1
2
1
2
2 ,
y
y
s
t y y
t
1
2
1,
1
FP
y
FQ
y
.又因为
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
(
1)
FP
FQ
y
y
y
y
y y
s
t
t
s
t
，所以
，故
是
、
的等比中项.
2
2
2
(
1)
FA
s
t
2
FA
FP
FQ
FA
FP
FQ
②由①知，
，则
2
2
2
FA
FP
FQ
FQ
FP
FP
FP
2
1
1
2
1
1
1
1
FQ
FP
y
y
FP
FQ
y
y
.因为
，所以
，
2
2
2
1
2
2
2
1
2
4
2
2
1
1
(
1)
s
s
t
y
y
y
y
s
t
2
2
(
1)
1
s
t
2
2
(
1)
1 4
s
t
t
则
，又因为
，则
，
2
2
4
2
1 4
s
s
t
FQ
FP
FP
FQ
t
2
2
0,
1
t
s
2
2
2
2
4
1 4
1
1 4
1 4
s
s
t
s
t
s
t
t
从而可得
，解得
，当
时等号
2
2
2
2
3
FA
FP
FP
FA
5
1
5
1
2
2
FA
FP
3
5
1, 1 ,
1
5,
2
A
P
成立，
故
的最大值为
.
FA
FP
1
5
2
解法2：①证明：由题意知
，则
.设
.
2
0,1 ,
4
x
F
y
2
x
y
2
2
2 ,
,
2 ,
,
P
m m
Q
n n
m
n
因为
，且与
的公共点为
，所以是曲线
在点
处的切线，所以
1
2
l
M
1l
2
C
P
1l
2
C
P
，即
（*）同理
（**）
2
:
2
PA y
m
m x
m
2,
y
mx
m
2
:
,
QA y
nx
n
联立（*）（**）得
，即
，
,
x
m
n y
mn
,
A m
n mn
所以
，注意到
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
1)
1
1
1
FA
m
n
mn
m
n
m n
m
n
，因此
，所以
是
的等比中项.
2
2
1,
1
FP
m
FQ
n
2
FA
FP
FQ
FA
,
FP
FQ
②解：由①知，
，设
，
2
2
2
2
1
1
FA
n
m
FP
2
2
1
1
n
t
m
则
2
2
2
2
1
1
1
1
1
n
m
t
t
m
n
4
4
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
m
n
m
n
m
n
m n
m n
m
n
m n
m
n
.因为点
在圆
上，
2
2
2
2
2
(
) (
)
2
2
(
)
(
1)
(
)
m
n
m
n
m
n
mn
m
n
,
A m
n mn
2
2
(
1)
1
x
y
所以
，于是
，从而
，解得
，即
2
2
(
)
(
1)
1
m
n
mn
2
(
)
1
m
n
1
3
t
t
3
5
3
5
2
2
t
.又当
时，
，故
的最大值为
5
1
5
1
2
2
FA
FP
3
5
1, 1 ,
1
5,
2
A
P
5
1
2
FA
FP
FA
FP
.
1
5
2
3.解析：（1）直线方程中，令
，则
，则直线与
轴交于
，所以
l
0
y
1
x
l
x
( 1,0)
1
a
．离心率
，所以
，故
．所以双曲线
的标准方程为
5
c
a
5
c
2
2
2
4
b
c
a
E
2
2
1
4
y
x
．
（2）（i）综上所述，的取值范围是
．
t
1
1
5
1,
,1
1,
3
3
3
（ii）设
．直线
和
方程分别为
和
．
1
1
2
2
,
,
,
M x y
P x
y
MT
PT
1
1
1
4
y
x x
y
2
2
1
4
y
x x
y
联立得点
．又点
在直线上，代入整理得：
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
4
,
x
x
y
y
T
x y
x y
x y
x y
T
l
．①在直线
方程中，令
，则
，得
2
1
1
2
1
2
1
2
4
x y
x y
x
x
y
y
MT
1
x
1
1
4
1
x
y
y
点
．故直线
方程为：
．
1
1
4
1
1,
x
N
y
PN
1
2
1
2
2
2
1
4
1
1
y y
x
y
x
x
y
x
y
设直线
与直线交点为
，联立两直线方程：
．
PN
l
A
1
2
1
2
2
2
1
4
1
1
1
y y
x
x
x
y
x
x
y
解得：
．
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
4
1
4
1
1
A
x
y
y
x
x
x
y y
x
x
y
设直线
与直线交点为
，同理可得：
．
MQ
l
B
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
4
1
4
1
1
B
x
y
y
x
x
x
y y
x
x
y
由①式，作差
的分子有
,
A
B
x
x
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
4
1
1
4
1
x
y
y
x
x
x
y
y
x
x
，作差
的分母有
2
1
1
2
1
2
1
2
4
0
x y
x y
x
x
y
y
,
B
A
x
x
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
1
4
1
1
y y
x
x
y
y y
x
x
y
.则可得
和
表达式的分子分母分别相等．
2
1
1
2
1
2
1
2
4
0
x y
x y
x
x
y
y
A
x
B
x
故
，
两点重合，所以直线
与
的交点在定直线
上．
A
B
PN
MQ
:
1
l y
x
