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§1.4 基本不等式
课标要求 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
1.基本不等式：√ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝
b 时，等号成立.
(3)其中a＋b
2
叫做正数a，b 的算术平均数，√ab叫做正数a，b 的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2√P.
(2)已知x，y 都是正数，如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值1
4 S 2 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝x＋1
x 的最小值是2.( × )
(2)y＝x(2－x)的最大值是1.( √ )
(3)若x>0，y>0 且x＋y＝xy，则xy 的最小值为4.( √ )
(4)函数y＝sin x＋4
sin x ，x∈(0，π
2)的最小值为4.( × )
2.若函数f(x)＝x＋1
x -2(x>2)在x＝a 处取最小值，则a 等于( )
A.1＋√2
B.1＋√3
C.3
D.4
答案 C
解析 当x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋1
x -2＋2≥2√( x -2)·
1
x -2＋2＝4，当且仅当x－2＝1
x -2(x>2)，
即x＝3 时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3.
3.(多选)下列命题正确的是( )
A.若x<0，则x＋1
x ≤－2
B.若x>0，则x－1
x ≤－2
C.若x∈R 且x≠0，则|x＋1
x|≥2
D.x2＋
1
x
2＋1≥1
答案 ACD
解析 当x<0 时有－x>0，
则x＋1
x ＝－(- x＋1
- x)≤－2√- x· 1
- x ＝－2，
当且仅当－x＝1
- x ，即x＝－1 时等号成立，A 选项正确；
当x>0 时，y＝x－1
x 单调递增，其值域为R，B 选项错误；
若x∈R 且x≠0，则|x＋1
x|＝|x|＋1
|x|≥2√
| x|· 1
|x|＝2，
当且仅当|x|＝1
|x|，即x＝－1 或x＝1 时等号成立，C 选项正确；
x2＋
1
x
2＋1＝x2＋1＋
1
x
2＋1－1≥2√
( x
2＋1)·
1
x
2＋1
－1＝1，
当且仅当x2＋1＝
1
x
2＋1，即x＝0 时等号成立，D 选项正确.
4.已知x，y∈(0，＋∞)，若2x＋3y＝1，则1
x ＋1
y 的最小值为 .
答案 5＋2√6
解析 1
x ＋1
y ＝(
1
x ＋1
y)(2x＋3y)＝5＋3 y
x ＋2 x
y ≥5＋2√6，当且仅当3 y
x ＝2 x
y ，即x＝√6-2
2
，y＝
3-√6
3
时等号成立.
1.灵活应用两个基本不等式的变形公式
(1)a
b ＋b
a≥2(a，b 同号，当且仅当a＝b 时，等号成立)；
(2)
2
1
a ＋1
b
≤√ab≤a＋b
2
≤√
a
2＋b
2
2
(a>0，b>0，当且仅当a＝b 时，等号成立).
2.谨防两个易误点
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条
件必须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
题型一 基本不等式的理解及常见变形
例1 (1)(多选)下列说法不正确的是( )
A.x＋4
x 的最小值是4
B.不等式ab≤(
a＋b
2 )
2
与√ab≤a＋b
2
成立的条件是相同的
C.√x
2＋2＋
1
√x
2＋2
的最小值为2
D.存在a，使得a＋1
a<2 成立
答案 ABC
解析 对于A，当x>0 时，x＋4
x ≥2√x· 4
x ＝4(当且仅当x＝2 时取等号)，
当x<0 时，x＋4
x ＝－[(- x)＋4
- x ]≤－2√(- x)· 4
- x ＝－4(当且仅当x＝－2 时取等号)，故A 错误；
对于B，ab≤(
a＋b
2 )
2
恒成立，而√ab≤a＋b
2
成立的条件为a>0，b>0，故B 错误；
对于C，y＝√x
2＋2＋
1
√x
2＋2≥2，等号成立的条件是√x
2＋2＝
1
√x
2＋2，即x2＋2＝1，显然不能取到，
故C 错误；
对于D，存在a＝－1，使得a＋1
a<2 成立，故D 正确.
(2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是( )
A.b>a＋b
2
>a>√ab
B.b>√ab>a＋b
2
>a
C.b>a＋b
2
>√ab>a
D.b>a>a＋b
2
>√ab
答案 C
解析 ∵0<a<b，∴2b>a＋b，
∴b>a＋b
2
>√ab.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴√ab>a.
故b>a＋b
2
>√ab>a.
思维升华 基本不等式的常见变形
(1)ab≤(
a＋b
2 )
2
≤a
2＋b
2
2
.
(2)
2
1
a ＋1
b
≤√ab≤a＋b
2
≤√
a
2＋b
2
2
(a>0，b>0).
跟踪训练1 (1)已知p：a>b>0，q：a
2＋b
2
2
>(
a＋b
2 )
2
，则p 是q 成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，
∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴a
2＋b
2
2
>(
a＋b
2 )
2
，∴由p 可推出q；
当a<0，b<0 时，q 也成立，
如a＝－1，b＝－3 时，a
2＋b
2
2
＝5>(
a＋b
2 )
2
＝4，
∴由q 推不出p，
∴p 是q 成立的充分不必要条件.
(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是( )
A.4ab≤(a＋b)2
B.a＋b
2
≤√
a
2＋b
2
2
C. 2ab
a＋b≤a＋b
2
D.ab≤a
2＋b
2
2
答案 ABD
解析 A 选项，4ab－(a＋b)2＝－(a－b)2≤0，即4ab≤(a＋b)2，故A 选项正确；
B 选项，当a＋b>0 时，a＋b
2
>0，则(
a＋b
2 )
2
－(√
a
2＋b
2
2 )
2
＝a
2＋b
2＋2ab-2a
2-2b
2
4
＝-(a-b)
2
4
≤0
恒成立，即a＋b
2
≤√
a
2＋b
2
2
恒成立，当a＋b≤0 时，原不等式恒成立，故B 选项正确；
C 选项，当a＋b>0 时，2ab－(a＋b)
2
2
＝-(a-b)
2
2
≤0，即2ab≤(a＋b)
2
2
，2ab
a＋b≤a＋b
2
恒成立，当a
＋b<0 时，2ab－(a＋b)
2
2
＝-(a-b)
2
2
≤0，即2ab≤(a＋b)
2
2
，2ab
a＋b ≥a＋b
2
，故C 选项错误；
D 选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤a
2＋b
2
2
恒成立，故D 选项正确.
题型二 基本不等式的性质
命题点1 直接法
例2 (1)若实数x，y 满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为( )
A.1
B.√2
C.2
D.2√2
答案 D
解析 方法一 由xy＝1 得x2＋2y2≥2√x
2·2 y
2＝2√2，
当且仅当x2＝2y2，即x2＝√2，y2＝√2
2 时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2√2.
方法二 x2＋2y2＝x
2＋2 y
2
xy
＝x
y ＋2 y
x ≥2√2，当且仅当x2＝2y2，即x2＝√2，y2＝√2
2 时，等号成立，x2＋
2y2的最小值为2√2.
(2)当0<x<1 时，3x(3－3x)的最大值为 .
答案 9
4
解析 由题意及基本不等式可知
3x(3－3x)≤[
3 x＋(3-3 x)
2
]
2
＝9
4 ，
当且仅当x＝1－x，即x＝1
2时取等号.
命题点2 配凑法
例3 (1)函数f(x)＝4x＋
9
x＋1，x∈(－1，＋∞)的最小值为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
答案 B
解析 因为x∈(－1，＋∞)，则x＋1>0，
则f(x)＝4x＋
9
x＋1＝4(x＋1)＋
9
x＋1－4≥2√4( x＋1)·
9
x＋1－4＝12－4＝8，
当且仅当{
4( x＋1)＝
9
x＋1 ,
x>-1,
即x＝1
2时，等号成立，
故函数f(x)＝4x＋
9
x＋1，x∈(－1，＋∞)的最小值为8.
(2)(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且
1
a＋1 ＋
2
b＋1＝1，则a＋b 的最小值为 .
答案 2√2＋1
解析 由a>0，b>0，
1
a＋1 ＋
2
b＋1＝1，
得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2
＝(
1
a＋1 ＋
2
b＋1)[(a＋1)＋(b＋1)]－2
＝b＋1
a＋1 ＋2(a＋1)
b＋1
＋1≥2√
b＋1
a＋1 · 2(a＋1)
b＋1
＋1
＝2√2＋1，
当且仅当b＋1
a＋1 ＝2(a＋1)
b＋1
，即a＝√2，b＝√2＋1 时取等号，所以a＋b 的最小值为2√2＋1.
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
如图，对于函数f(x)＝x＋k
x ，k>0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞).
(1)当√k∈[a，b]时，f(x)＝x＋k
x ≥2√k，f(x)min＝f(√k)＝√k ＋k
√k ＝2√k；
(2)当√k<a 时，f(x)＝x＋k
x 在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋k
a；
(3)当√k>b 时，f(x)＝x＋k
x 在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋k
b.
因此，只有当√k∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当√k∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性
求最值.
典例 函数f(x)＝x2＋
3
x
2＋2的最小值是 .
答案 3
2
解析 由f(x)＝x2＋
3
x
2＋2＝x2＋2＋
3
x
2＋2－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋3
t －2，
由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2 时，f(t)min＝3
2，
即当x＝0 时，f(x)min＝3
2.
命题点3 常数代换法
例4 (多选)已知a，b 为正实数，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，则下列结论正确的是( )
A.1
a ＋1
b＝1
B.ab 的最大值为4
C.2a＋b 的最小值为3＋2√2
D. 1
a-1 ＋
1
b-1的最小值为2
答案 ACD
解析 因为a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0.
对于A，因为(a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得1
a ＋1
b＝1，A 正确；
对于B，由ab＝a＋b，得ab＝a＋b≥2√ab(当且仅当a＝b＝2 时取等号)，所以√ab≥2，ab≥4，
所以ab 的最小值为4，B 错误；
对于C，2a＋b＝(2a＋b)(
1
a ＋1
b)＝3＋2a
b ＋b
a≥3＋2
√2(当且仅当a＝1＋√2
2 ，b＝1＋√2时取等号)，C 正确；
对于D，因为(a－1)(b－1)＝1，所以1
a-1 ＋
1
b-1≥2√
1
(a-1)(b-1)＝2(当且仅当a＝b＝2 时取等号)，D
正确.
命题点4 消元法
例5 已知实数x，y 满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y 的最小值是( )
A.√2
3
B.2√2
3
C.2√2
D.3√2
答案 B
解析 因为实数x，y 满足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝1- y
2
3 y ，
则2x＋y＝2-2 y
2
3 y
＋y＝2
3 y ＋y
3 ≥2√
2
3 y · y
3 ＝2√2
3 ，
当且仅当2
3 y ＝y
3 ，即y＝√2时，等号成立，
所以2x＋y 的最小值是2√2
3 .
命题点5 构造不等式法
例6 (多选)(2024·郑州模拟)已知正数a，b 满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是( )
A.a2＋b2的最小值为2
B.a＋b 的最大值为2
C. 1
a
2 ＋1
b
2的最小值为2
D.lg a＋lg b<0
答案 BC
解析 对于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋a
2＋b
2
2
，当且仅当a＝b 时等号成立，则a2＋b2≤2，故A 不正确；
对于B，由ab≤(
a＋b
2 )
2
≤a
2＋b
2
2
≤1，当且仅当a＝b 时等号成立，得a＋b
2
≤1，即a＋b≤2，故B 正确；
对于C，由1
a
2 ＋1
b
2 ＝a
2＋b
2
a
2b
2 ＝1＋ab
a
2b
2 ＝
1
a
2b
2 ＋1
ab ＝(
1
ab ＋1
2)
2
－1
4 ，因为0<ab≤1，所以1
ab≥1，
当1
ab＝1 时，1
a
2 ＋1
b
2取得最小值为2，故C 正确；
对于D，因为0<ab≤1，所以lg a＋lg b＝lg(ab)≤0，当且仅当a＝b＝1 时等号成立，故D 不正确.
思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代
换的方法；四是消元法；五是构造不等式法.
跟踪训练2 (1)(多选)(2024·威海模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是( )
A.ab 的最大值为1
2
B.1
a ＋4
b 的最小值为9
C.a2＋b2的最小值为1
2
D. 1
ab ＋3b
a 的最小值为6
答案 BCD
解析 对于A，1＝a＋b≥2√ab⇒ab≤1
4 ，当且仅当a＝b＝1
2时取等号，故A 错误；
对于B，1
a ＋4
b ＝(
1
a ＋4
b)(a＋b)＝5＋b
a ＋4 a
b ≥5＋2√
b
a · 4 a
b ＝9，
当且仅当{
b
a ＝4 a
b ,
a＋b＝1,
即a＝1
3，b＝2
3时取等号，故B 正确；
对于C，a2＋b2≥(a＋b)
2
2
＝1
2，
当且仅当a＝b＝1
2时取等号，故C 正确；
对于D，1
ab ＋3b
a ＝(a＋b)
2
ab
＋3b
a ＝2＋a
b ＋4 b
a ≥2＋2√
a
b · 4 b
a ＝6，当且仅当{
a
b ＝4 b
a ,
a＋b＝1,
即b＝1
3，a
＝2
3时取等号，故D 正确.
(2)(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是( )
A.a＋b≤8
B.ab≥16
C.a＋3b≥4＋6√3
D. 1
a-1 ＋
4
b-1≥4
3
答案 BCD
解析 对于选项A，由a＋b＋8＝ab≤(
a＋b
2 )
2
，当且仅当a＝b 时等号成立，不妨设a＋b＝t，
则t2－4t－32≥0，
解得t≥8 或t≤－4，
因为a>0，b>0，则a＋b≥8，故A 项错误；
对于选项B，由ab－8＝a＋b≥2√ab，
当且仅当a＝b 时等号成立，
不妨设√ab＝s，则s2－2s－8≥0，
解得s≥4 或s≤－2，
因为s>0，则s≥4，
即ab≥16，故B 项正确；
对于选项C，由ab＝a＋b＋8 可得a(b－1)＝b＋8，则b－1>0，且a＝b＋8
b-1 ，
则a＋3b＝b＋8
b-1 ＋3b＝1＋9
b-1＋3b＝4＋9
b-1＋3(b－1)≥4＋2√27＝4＋6√3，
当且仅当9
b-1＝3(b－1)，即b＝√3＋1，a＝3√3＋1 时取等号，a＋3b 有最小值4＋6√3，故C 项正确；
对于选项D，由ab＝a＋b＋8 可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0，
则1
a-1 ＋
4
b-1≥2√
1
a-1 ·
4
b-1 ＝4
3 ，当且仅当1
a-1 ＝
4
b-1时等号成立，
由{
1
a-1 ＝
4
b-1 ,
ab＝a＋b＋8
解得{
a＝5
2 ,
b＝7,
即当且仅当a＝5
2，b＝7 时，1
a-1 ＋
4
b-1有最小值4
3 ，故D 项正确.
课时精练
[分值：100 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n 的最小值是( )
A.9
B.18
C.9√3
D.27
答案 B
解析 因为m>0，n>0，
由基本不等式m＋n≥2√mn得，
m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9 时，等号成立，
所以m＋n 的最小值是18.
2.若x>0，则函数y＝x
2＋x＋25
x
的最小值为( )
A.6
B.7
C.10
D.11
答案 D
解析 ∵x>0，
∴y＝x
2＋x＋25
x
＝x＋25
x ＋1≥2√x· 25
x ＋1＝11，
当且仅当x＝25
x ，即x＝5 时，等号成立，
∴函数y＝x
2＋x＋25
x
的最小值为11.
3.(2024·亳州模拟)已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，则2x＋y 的最小值为( )
A.8
B.4
C.8√2
D.4√2
答案 A
解析 方法一 由x>0，y>0，2x＋y＝xy，
可得y＝2 x
x -1>0，则x>1，
则2x＋y＝2x＋2 x
x -1 ＝2 x
2
x -1
＝2( x -1)
2＋4( x -1)＋2
x -1
＝2(x－1)＋2
x -1＋4
≥2√2( x -1)·
2
x -1＋4＝8，
当且仅当2(x－1)＝2
x -1，即x＝2 时，等号成立，
所以2x＋y 的最小值为8.
方法二 由x>0，y>0，2x＋y＝xy，得2
y ＋1
x ＝1，
所以2x＋y＝(2x＋y)(
2
y ＋1
x)＝4 x
y ＋y
x ＋4≥2√
4 x
y · y
x ＋4＝8，
当且仅当4 x
y ＝y
x ，2x＋y＝xy，
即x＝2，y＝4 时，等号成立，
所以2x＋y 的最小值为8.
4.(2025·连云港模拟)设a>0，b>－1，且a＋b＝1，则1
a ＋
1
b＋1的最小值为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
答案 B
解析 因为a>0，b>－1，则b＋1>0，因为a＋b＝1，则a＋(b＋1)＝2，
所以1
a ＋
1
b＋1 ＝1
2[a＋(b＋1)](
1
a ＋
1
b＋1)
＝1
2(2＋
a
b＋1 ＋b＋1
a )≥1
2(2＋2√
a
b＋1 · b＋1
a )＝2，
当且仅当{
b＋1
a
＝
a
b＋1 ,
a＋(b＋1)＝2,
a>0,b>-1,
即{
a＝1,
b＝0 时，等号成立，
因此1
a ＋
1
b＋1的最小值为2.
5.(2024·漯河模拟)设正实数x，y，z 满足x2－xy＋y2－z＝0，则xy
z 的最大值为( )
A.4
B.2
C.3
D.1
答案 D
解析 因为正实数x，y，z 满足x2－xy＋y2－z＝0，则z＝x2＋y2－xy，
所以
xy
z ＝
xy
x
2＋y
2- xy
＝
1
x
y ＋y
x -1≤
1
2√
x
y · y
x -1＝1，
当且仅当x
y ＝y
x (x>0，y>0)，即x＝y 时，等号成立，故xy
z 的最大值为1.
6.已知x>2，且x－y－2＝0，则x
2
4 ＋2 x
y ＋4
y
2的最小值是( )
A.2
B.3
C.4
D.9
答案 D
解析 由题意得x＝y＋2>2，所以y>0，
所以x
2 ＋2
y ＝y ＋2
2
＋2
y ＝y
2 ＋2
y ＋1≥2√
y
2 · 2
y ＋1＝3(当且仅当y＝2 时取等号)，
所以x
2 ＋2
y 的最小值为3.
又因为x
2
4 ＋2 x
y ＋4
y
2 ＝(
x
2 ＋2
y)
2
，
所以x
2
4 ＋2 x
y ＋4
y
2的最小值是9.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.若m>0，n>0，且m＋2n＝1，则下列结论正确的是( )
A.mn≤1
8
B.√m＋√2n≥√2
C. 1
m ＋2
n≥9
D.m2＋4n2≤1
2
答案 AC
解析 对于A，若m>0，n>0，且m＋2n＝1，则有mn＝1
2·m·2n≤1
2(
m＋2n
2 )
2
＝1
8，
当且仅当m＝1
2，n＝1
4 时等号成立，故A 正确；
对于B，(√m＋√2n)
2＝1＋2√2mn，
由A 可得mn≤1
8，故1＋2√2mn≤2，
所以√m＋√2n≤√2，故B 不正确；
对于C，1
m ＋2
n ＝(
1
m ＋2
n)(m＋2n)＝5＋2n
m ＋2m
n ≥5＋2√
2n
m · 2m
n ＝9，
当且仅当m＝n＝1
3时等号成立，故C 正确；
对于D，m
2＋(2n)
2
2
≥(
m＋2n
2 )
2
＝1
4 ，即m2＋4n2≥1
2，当且仅当m＝1
2，n＝1
4 时等号成立，故D 不正
确.
8.下列说法正确的是( )
A.函数y＝2x＋2
x (x<0)的最大值是－4
B.函数y＝x
2＋10
√x
2＋9
的最小值是2
C.函数y＝x＋16
x＋2(x>－2)的最小值是6
D.若x＋y＝4，则x2＋y2的最小值是8
答案 ACD
解析 A 选项，对于函数y＝2x＋2
x (x<0)，
2x＋2
x ＝－[(-2 x)＋2
- x ]≤－2√(-2 x)· 2
- x ＝－4，
当且仅当－2x＝2
- x ，即x＝－1 时等号成立，所以A 选项正确；
B 选项，y＝x
2＋10
√x
2＋9
＝√x
2＋9＋
1
√x
2＋9
≥2√
√x
2＋9·
1
√x
2＋9
＝2，
当√x
2＋9＝
1
√x
2＋9时，无实数解，所以等号不成立，所以B 选项错误；
C 选项，对于函数y＝x＋16
x＋2(x>－2)，x＋2>0，
x＋16
x＋2＝x＋2＋16
x＋2－2≥2√( x＋2)·
16
x＋2－2＝6，
当且仅当x＋2＝16
x＋2，即x＝2 时等号成立，所以C 选项正确；
D 选项，由基本不等式得x
2＋y
2
2
≥(
x＋y
2 )
2
，
所以x2＋y2≥2·(
x＋y
2 )
2
＝2×22＝8，
当且仅当x＝y＝2 时等号成立，所以D 选项正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2025·南京模拟)已知x>1
2，则x＋
1
2 x -1的最小值为 .
答案 2√2＋1
2
解析 由于x>1
2，所以2x－1>0，
所以x＋
1
2 x -1 ＝2 x -1
2
＋
1
2 x -1 ＋1
2≥2√
2 x -1
2
·
1
2 x -1 ＋1
2 ＝2√2＋1
2
，
当且仅当2 x -1
2
＝
1
2 x -1，即x＝√2＋1
2
时等号成立，所以x＋
1
2 x -1的最小值为2√2＋1
2
.
10.已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是 .
答案 4
5
解析 方法一 ∵5x2y2＋y4＝1，
∴y≠0 且x2＝1- y
4
5 y
2 ，
∴x2＋y2＝1- y
4
5 y
2 ＋y2＝1
5 y
2 ＋4 y
2
5 ≥2√
1
5 y
2 · 4 y
2
5 ＝4
5 ，
当且仅当1
5 y
2 ＝4 y
2
5 ，即x2＝3
10，y2＝1
2时取等号，
∴x2＋y2的最小值为4
5 .
方法二 由5x2y2＋y4＝1，
可得y2(5x2＋y2)＝1，
即4y2(5x2＋y2)＝4，
又4＝4y2(5x2＋y2)≤[
4 y
2＋(5 x
2＋y
2)
2
]
2
＝25
4 (x2＋y2)2，
∴( x
2＋y
2)
2≥16
25，即x2＋y2≥4
5 ，
当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝3
10，y2＝1
2时取等号，∴x2＋y2的最小值是4
5 .
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：
(1)xy 的最大值；(6 分)
(2)2x＋y 的最小值.(7 分)
解 (1)因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2√2 xy＋xy(当且仅当x＝2y＝6 时取等号)，
令√xy＝t(t>0)，则t2＋2√2t－30≤0，
解得－5√2≤t≤3√2，又t>0，
所以0<t≤3√2，即0<√xy≤3√2，
所以0<xy≤18，故xy 的最大值为18.
(2)由x＋2y＋xy＝30 可知，y＝30- x
2＋x >0，0<x<30，2x＋y＝2x＋30- x
2＋x ＝2(x＋2)＋32
2＋x －5≥2
√2( x＋2)·
32
2＋x
－5＝11，
当且仅当2(x＋2)＝32
2＋x ，即x＝2 时取等号，
所以2x＋y 的最小值为11.
12.(14 分)已知下列求最小值的方法：
求x3－3x，x∈[0，＋∞)的最小值.
解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a＋b＋c≥33√abc(当且仅当a＝b＝c 时等号成立)，
得到x3＋1＋1≥3x，于是x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3x－3x－2＝－2，当且仅当x＝1 时等号成立，即当且
仅当x＝1 时，x3－3x 取到最小值－2.
(1)请模仿上述例题，求x4－4x，x∈[0，＋∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a＋b＋c
＋d≥44√abcd，当且仅当a＝b＝c＝d 时等号成立)(4 分)
(2)求1
3x3－x，x∈[0，＋∞)的最小值；(5 分)
(3)求出当a>0 时，x3－ax，x∈[0，＋∞)的最小值.(5 分)
解 (1)因为x∈[0，＋∞)，
利用a＋b＋c＋d≥44√abcd，
当且仅当a＝b＝c＝d 时等号成立，
得到x4＋1＋1＋1≥4x，
所以x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4x－4x－3＝－3，
当且仅当x＝1 时等号成立，
即x4－4x 的最小值为－3.
(2)因为x∈[0，＋∞)，利用a＋b＋c≥33√abc，
当且仅当a＝b＝c 时等号成立，
得到1
3x3＋1
3 ＋1
3≥x，
所以1
3x3－x＝1
3x3＋1
3 ＋1
3 －2
3－x≥x－2
3－x＝－2
3，
当且仅当x＝1 时等号成立，
即1
3x3－x 的最小值为－2
3.
(3)因为x∈[0，＋∞)，且a>0，
利用a＋b＋c≥33√abc，
当且仅当a＝b＝c 时等号成立，
得到x3＋a√a
3√3 ＋a√a
3√3 ≥ax，
所以x3－ax＝x3＋a√a
3√3 ＋a√a
3√3 －2a√a
3√3 －ax≥ax－2a√a
3√3 －ax＝－2a√3a
9
，
当且仅当x＝√a
√3 ＝√3a
3
时等号成立，
即x3－ax 的最小值为－2a√3a
9
.
13，15，16 题每小题5 分，14 题6 分，共21 分
13.正数a，b 满足a>b，ab＝4，则a
3＋b
3
a
2-b
2 的最小值为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
答案 C
解析 由题意得a>0，b>0，a－b>0，则a
3＋b
3
a
2-b
2 ＝a
2＋b
2-ab
a-b
＝(a-b)
2＋4
a-b
＝a－b＋4
a-b≥2
√(a-b)·
4
a-b
＝4，
当且仅当a－b＝2 且ab＝4，即a＝√5＋1，b＝√5－1 时，等号成立.
14.(多选)(2025·宿迁模拟)如图，四边形ABDC 为梯形，其中AB=a，CD=b，且a<b，O 为对角线的交点.有
4 条线段(GH，KL，EF，MN)夹在两底之间.GH 表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线)，
KL 表示平行于两底且使梯形ABLK 与梯形KLDC 相似的线段，EF 表示平行于两底且过点O 的线段，MN
表示平行于两底且将梯形ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有( )
A.若a=3，b=6，则KL=3√2
B.EF=
2
1
a + 1
b
C.存在a，b 使得EF>GH
D.MN=√
a
2+b
2
2
答案 ABD
解析 对于A，因为梯形ABLK 与梯形KLDC 相似，
所以AB
KL = KL
CD ，可得KL=√AB·CD=√ab，
当a=3，b=6 时，可得KL=3√2，所以A 正确；
对于B，因为AB∥CD，所以∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，
所以△OAB∽△ODC，可得CO
BO =CD
BA =b
a，
又由△COE∽△CBA，可得OE
BA =CO
CB = b
a+b，
可得OE= ab
a+b，同理可得OF= ab
a+b，所以EF= 2ab
a+b=
2
1
a + 1
b
，所以B 正确；
对于C，由梯形的中位线的性质，可得GH=a+b
2
，
由基本不等式知，当a>0，b>0，且a≠b 时，可得GH=a+b
2
>√ab，
又由
2
1
a + 1
b
<
2
2√
1
ab
=√ab，所以EF<GH，
所以C 不正确；
对于D，设梯形ABNM，MNDC，ABDC 的面积分别为S1，S2，S，高分别为h1，h2，h，
则2S1=2S2=S，
即(a+MN)h1=(b+MN)h2=1
2(a+b)h，
解得h1= (a+b)h
2(a+ MN )，h2= (a+b)h
2(b+ MN )，
根据题意知h1+h2= (a+b)h
2(a+ MN )+ (a+b)h
2(b+ MN )=h，解得MN=√
a
2+b
2
2
，所以D 正确.
15.若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1＋x2
x1
＋x3
x1 x2
＋
x4
x1 x2 x3
＋…＋
x2 026
x1 x2… x2 025
＋
4
x1 x2… x2 026
的最
小值为 .
答案 4
解析 原式＝
4
x1 x2… x2 026
＋
x2 026
x1 x2… x2 025
＋…＋
x4
x1 x2 x3
＋x3
x1 x2
＋x2
x1
＋x1
≥2√
4
x1 x2… x2 026
·
x2 026
x1 x2… x2 025
＋
x2 025
x1 x2… x2 024
＋…＋
x4
x1 x2 x3
＋x3
x1 x2
＋x2
x1
＋x1
＝
4
x1 x2… x2 025
＋
x2 025
x1 x2… x2 024
＋…＋
x4
x1 x2 x3
＋x3
x1 x2
＋x2
x1
＋x1
≥2√
4
x1 x2… x2 025
·
x2 025
x1 x2… x2 024
＋…＋
x4
x1 x2 x3
＋x3
x1 x2
＋x2
x1
＋x1
＝
4
x1 x2… x2 024
＋…＋
x4
x1 x2 x3
＋x3
x1 x2
＋x2
x1
＋x1≥…≥4
x1
＋x1≥2√
4
x1
· x1＝4，
当且仅当4
xi
＝xi(i＝1，2，3，…，2 026，xi>0)，
即x1＝x2＝…＝x2 026＝2 时，等号成立，
故x1＋
x2
x1
＋x3
x1 x2
＋
x4
x1 x2 x3
＋…＋
x2 026
x1 x2… x2 025
＋
4
x1 x2… x2 026
的最小值为4.
16.已知x>1，y>1，a=log2x，b=log2√y，且
1
a+2b+ 2
b+1=2，则xy2的最小值为 .
答案 4√2
解析 因为x>1，y>1，
所以a=log2x>0，b=log2√y>0，
所以x=2a，y=22b，所以xy2=2a·24b=2a+4b，
a+4b=(a+2b)+2(b+1)-2
=1
2[(a+2b)+2(b+1)](
1
a+2b +
2
b+1)-2
=1
2[1+ 2(a+2b)
b+1
+ 2(b+1)
a+2b + 4]-2
≥1
2(5+2√
2(a+2b)
b+1
· 2(b+1)
a+2b )-2
=9
2-2=5
2，
当且仅当{
2(a+2b)
b+1
= 2(b+1)
a+2b ,
1
a+2b +
2
b+1 =2,
即a=b=1
2时取等号，所以xy2≥2
5
2=4√2.
即xy2的最小值为4√2.
