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§1.5 基本不等式的综合应用
课标要求 1.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握基本
不等式在其他知识中的应用.
题型一 与基本不等式有关的恒(能)成立问题
例1 (1)若不等式1
√a+ 2
√b≥
m
√a+2√b恒成立，则实数m 的最大值为( )
A.2
B.3
C.4
D.9
(2)若两个正实数x，y 满足1
x + 4
y =1，且不等式x+ y
4 <m2-3m 有解，则实数m 的取值范围是( )
A.{m|-1<m<4}
B.{m|m<-4 或m>1}
C.{m|-4<m<1}
D.{m|m<-1 或m>4}
思维升华 ∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
跟踪训练1 (1)已知a>0，若关于x 的不等式x+ a
x +1≥3 在x∈(-1，+∞)上恒成立，则a 的最小值为(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
(2)已知正数x，y 满足(x-1)(y-2)=2，不等式3x+2y>m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A.(-∞，4+6√2)
B.(6+4√2，+∞)
C.(-∞，7+4√3)
D.(8+4√3，+∞)
题型二 基本不等式的实际应用
例2 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行
驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满
足P(v)=0.002v2-0.04v+5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号
电动汽车从A 地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km 的B 地，
出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B 地后至少要保留5 kW·h 的保障电量(假设该电动汽车从静
止加速到速度为v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B 地，并说明理由；
(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A 地与B 地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充
电量=充电功率×时间)，求到达B 地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).
思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象
出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练2 某村现有180 户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8 万元.为探索科技
助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的
只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8(a- x
10)(a>0)万元，
从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有
多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a 的最大值为( )
A.12
B.14
C.22
D.60
题型三 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例3 (1)设a>0，b>0，若ln √3是ln 3a与ln 9b的等差中项，则2
a+1
b的最小值为( )
A.6
B.8
C.9
D.12
(2)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为( )
A.√2
5
B.2√2
5
C.4√2
5
D.√2
思维升华 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、
解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
跟踪训练3 已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a，b，c 成等差数列，则sin B 的
取值范围是 .
答案精析
例1 (1)D [由题意√a+2√b
√a
+2√a+ 4√b
√b
≥m 恒成立，
即5+2√b
√a +2√a
√b ≥m 恒成立.
又5+2√b
√a +2√a
√b ≥5+2√
2√b
√a · 2√a
√b
=9，当且仅当a=b 时取等号.
故实数m 的最大值为9.]
(2)D [∵不等式x+ y
4 <m2-3m 有解，
∴(x + y
4)min
<m2-3m，
∵x>0，y>0，1
x + 4
y =1，
∴x+ y
4 =(x + y
4)(
1
x + 4
y)
=4 x
y + y
4 x +2
≥2√
4 x
y · y
4 x +2=4，
当且仅当4 x
y = y
4 x ，
即x=2，y=8 时等号成立，
∴m2-3m>4，
∴(m+1)(m-4)>0，
∴m<-1 或m>4，
∴实数m 的取值范围是{m|m<-1 或m>4}.]
跟踪训练1 (1)C [因为x>-1，x+1>0，
所以x+ a
x +1=x+1+ a
x +1-1
≥2√( x +1)·
a
x +1-1=2√a-1，
当且仅当x+1= a
x +1，即x=√a-1 时取等号，
所以x+ a
x +1有最小值2√a-1，
因为不等式x+ a
x +1≥3 在x∈(-1，+∞)上恒成立，所以2√a-1≥3，
解得a≥4，所以a 的最小值为4.]
(2)C [因为(x-1)(y-2)=2，x>0，y>0，
所以xy=2x+y，即1
x + 2
y =1，
所以由基本不等式可得
3x+2y=(3x+2y)(
1
x + 2
y)
=7+2 y
x +6 x
y
≥7+2√
2 y
x · 6 x
y =7+4√3，
当且仅当{
2 y
x = 6 x
y ，
x>0，y >0，
( x -1)( y -2)=2，
即{
x =1+ 2√3
3
，
y =2+√3
时等号成立，
综上所述，3x+2y 的最小值为7+4√3.
因为不等式3x+2y>m 恒成立，所以实数m 的取值范围是(-∞，7+4√3).]
例2 解 (1)设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)=P(v)·500
v =v+2 500
v
-20(60≤v≤120)，
易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min=f(60)=245
3 >75-5，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B 地.
(2)设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h.
若能到达B 地，则初始电量+充电电量-消耗电量≥保障电量，
即75+15t2-f(v)≥5，
解得t2≥v
15+500
3 v -6.
所以t=t1+t2≥500
v + v
15+500
3 v -6
= v
15+2 000
3 v
-6≥2√
v
15 · 2 000
3 v
-6
=22
3 .
当且仅当v
15=2 000
3 v
，即v=100 时取等号，
所以该汽车到达B 地的最少用时为22
3 h.
跟踪训练2 B [由题意可得
8(a- x
10)x≤(180-x)·8·(1+5x%)，
化简可得a≤180
x + x
20+8，
因为180
x + x
20+8≥2√
180
x · x
20+8=14，
当且仅当180
x = x
20，即x=60 时等号成立，
所以a≤14，即a 的最大值为14.]
例3 (1)B [∵ln √3是ln 3a与ln 9b的等差中项，
∴2ln √3=ln 3a+ln 9b，
即ln 3=ln(3a·9b)=ln 3a+2b
=(a+2b)ln 3，
∴a+2b=1，又a>0，b>0，
∴2
a+1
b=(
2
a + 1
b)(a+2b)=4+a
b+4 b
a ≥4+2√
a
b · 4 b
a =8，
当且仅当a
b=4 b
a ，即a=1
2，b=1
4 时等号成立.]
(2)D [方法一 设原点到直线l 的距离为d，由点到直线的距离公式得
d=|- λ+1|
√λ
2+1
=√
λ
2-2 λ+1
λ
2+1
=√
1- 2 λ
λ
2+1
，
显然当λ<0 时，有最大值，
此时- 2 λ
λ
2+1=
2
(- λ)+(- 1
λ)
，
因为(-λ)+(- 1
λ)
≥2√
(- λ)·(- 1
λ)=2，
当且仅当λ=-1 时等号成立，
所以
2
(- λ)+(- 1
λ)
≤2
2=1，
所以dmax=√2.
方法二 直线l 恒过定点(1，-1)，故原点到直线l 距离的最大值为√2.]
跟踪训练3 (0，√3
2 ]
解析 因为a，b，c 成等差数列，
所以2b=a+c，
所以cos B=a
2+c
2-b
2
2ac
=a
2+c
2-(
a+c
2 )
2
2ac
=3(a
2+c
2)-2ac
8ac
.
因为a2+c2≥2ac，当且仅当a=c 时取等号，所以3(a2+c2)-2ac≥4ac>0，
所以cos B=3(a
2+c
2)-2ac
8ac
≥4 ac
8ac =1
2.
又y=cos x 在区间(0，π)上单调递减，
所以0<B≤π
3 ，所以0<sin B≤√3
2 .
微拓展
典例 (1)A [∵实数x，y 满足3x2+4y2=12，
∴x
2
4 + y
2
3 =1，
∴(
x
2
4 + y
2
3 )(16+9)≥(2 x +√3 y)
2，
即-5≤2x+√3y≤5，
当且仅当3√3x=8y，
即当{
x =- 8
5 ，
y =- 3√3
5
时，左边取等号，
当{
x = 8
5 ，
y = 3√3
5
时，右边取等号，
∴z=2x+√3y 的最小值是-5.]
(2)4√5
解析 ∵a=(1，-2)，b=(x，y)，
∴a·b=x-2y.
由柯西不等式的向量形式可得
[12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2，
即5×16≥(x-2y)2，
∴-4√5≤x-2y≤4√5， (*)
当且仅当b=ka，
即{
x = 4√5
5
，
y =- 8√5
5
时，(*)式中右边等号成立，
或{
x =- 4√5
5
，
y = 8√5
5
时，(*)式中左边等号成立，
∴当x=4√5
5
，y=-8√5
5
时，a·b 的最大值为4√5.
微拓展
典例 (1)13
2 +2√3
解析
1
2 x + y + 3
x + y =
1
2 x + y +
12
4( x + y)=
1
2
2 x + y + (2√3)
2
4( x + y)
≥(1+2√3)
2
6 x +5 y =13+ 4√3
6 x +5 y ，
即2≥13+ 4√3
6 x +5 y ，
因为x>0，y>0，
则6x+5y≥13
2 +2√3，
当且仅当
1
2 x + y =
2√3
4( x + y)，
即x=3√3- 4
4
，y=5-√3
2
时取等号.
(2)1
3
解析
x
2
y +2 z +
y
2
z +2 x +
z
2
x +2 y
≥
( x + y + z)
2
y +2 z + z +2 x + x +2 y =1
3，
当且仅当
x
y +2 z =
y
z +2 x =
z
x +2 y ，
即x=y=z=1
3时取等号.
