第07讲 函数的图像
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)――――――――――――――――――――→y＝f(ax)．
②y＝f(x)――――――――――――――――――→y＝af(x)．
(3)对称变换
①y＝f(x)――――――→y＝－f(x)．
②y＝f(x)――――――→y＝f(－x)．
③y＝f(x)――――――→y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)――――――→y＝log x(a>0且a≠1)．
a
(4)翻折变换
①y＝f(x)―――――――――→y＝|f(x)|.
②y＝f(x)―――――――――――→y＝f(|x|)．
一．作出函数的图像
例1．（1）作出下列函数的大致图象：① ；
② ；
③ ；
④ .
【分析】根据函数图象的变换规则及指数函数的图象与性质作出函数图象.
【详解】①函数 的图象为指数函数 的图象的纵坐标伸长为原来的2倍，如图1所
示；
②函数 的图象向下平移两个单位的到函数 的图象，将函数 在x轴上方的图
象不变、x轴下方的图象沿x轴翻折即可得到函数 的图象，如图2所示；
③作出 的图象如图3所示；
④作出 的图象如图4所示.【点睛】本题考查指数函数的图象与性质、函数图象的变换，属于中档题.
（2）根据 的图像，作出下列函数的图像：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ．
【分析】根据对数函数的图像，结合绝对值的性质，通过平移、对称的方法在直角坐标系内画出函数图像
即可.
【详解】①作出函数 关于纵轴对称的图像，连同函数 的图像，就是该函数的图像，如
下图所示：
②把函数 的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，
函数图像如下图所示：③作出函数 关于纵轴对称的图像，连同函数 的图像一起向右平移一个单位即可，如下
图所示：
④把函数 的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一
个单位，如下图所示：
⑤第一步：作出 的图像.
第二步：将 的图像沿x轴向左平移1个单位长度得 的图像.
第三步：将 的图像在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得 的图像.
第四步：将 的图像沿y轴向上平移2个单位长度得到 的图像.
【复习指导】：图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y
＝x＋的函数．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但
要注意变换顺序．
(3)图像变换的翻折变换有两种：
图像保留x轴上方图像，将x轴下方图像翻折上去，得到 的图像；
图像保留y轴右边图像，并将其关于y轴对称的图像画出，得到 的图像．
（3）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域：
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， 为正实数.
⑤ ；
⑥ .
【详解】①列表如下：所以值域为： ；
②列表如下：
作出其图象如图所示：
因为 在 上单调递增， ， ，所以值域为 ；
③列表如下：
作出其图象如图所示：因为 在 上单调递减， ， ，所以值域为 ；
④ 定义域为 ，
列表如下：
作出其图象如图所示：
由图知 在 上单调递增， ，所以值域为 .
⑤作出函数 的图象与函数 的图象，如图所示：
由图可知，函数 的图象是函数 的图象向右平移一个单位得到，值域为 .．
⑥作出函数 的图象与函数 的图象，如图所示：由图可知，函数 的图象是函数 的图象向右平移一个单位后，再将其沿 轴对称翻折到
轴下方得到，值域为 ．
（4）作出下列函数的图象：
①y＝；
②y＝|x2－4x＋3|.
③y＝x2－|x|－2.
④
【详解】①y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得
到，如图①所示．
②先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，
如图②实线部分所示．
③y＝x2－|x|－2＝函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图
象，其图象如图③所示．④因为 ，
所以将幂函数 的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数
的图象，其函数图象如图：
（5）若函数 的图象如图所示，则函数 的图象大致为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】从 变成 ，应先将 向左平移 个单位，再关于 轴对称，故选C．
【复习指导】：常见的平移变换原则“左加右减，上加下减”，对称变换有 和 关于轴对称， 和 关于 轴对称， 和 关于原点轴对称等.
（6）将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，所得图象的函数式为 ，
则 、 的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】先将变换后的函数的解析式化为顶点式，利用逆向变换，即先将该函数向上平移 个单位，再向
左平移 个单位，得出函数的解析式，表示为一般形式后可得出 、 的值.
【详解】将二次函数 的解析式表示为顶点式得 .
利用逆向变换，先将该函数向上平移 个单位，所得函数的解析式为 ，再将所得函数的图象
向左平移 个单位，得到函数的解析式为 ，
因此， ， ，故选C.
【点睛】本题考查二次函数图象变换，解题的关键就是利用逆向变换，从已知函数到所求函数，逐步写出
每一步所得函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
（7）（多选）为了得到函数 的图象，可将函数 的图象（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍
B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
C．向上平移一个单位长度
D．向下平移一个单位长度
【答案】BC
【分析】根据函数图像变换求得结果.
【详解】解：由题意函数 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，
可得到函数 的图象，则 错误，B正确；
因为 ，则将函数 的图象向上平移一个单位可得到函数 的图象，
则C正确，D错误.
故选：BC.
二．函数图像的辨识
例2．（1）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
（2）函数 的图像大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当 时， ，排除D，即可得解.
【详解】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.
故选：B.
（3）函数 在区间（ ， ）内的图象是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|= ，分段画出函数图象如D图示，
故选D．
（4）函数 在 的图像大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：因为 ，故排除A；因为 ，所以函数
为奇函数，故排除B；因为 ，分别作出 与 的图象，可知极值点在
上，故选C．
考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性．
（5）函数 的图像大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】利用 时 排除选项D，利用 时 排除选项C，利用 时 排除选项B，所
以选项A正确.
【详解】函数 的定义域为
当 时， ，可知选项D错误；
当 时， ，可知选项C错误；
当 时， ，可知选项B错误，选项A正确.
故选：A
【复习指导】：辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
（6）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
【复习指导】：函数图象与解析式的对应情况可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断与图象的左右位置是否一致；从函数的值域，判断与图象的上下位置是否一致；
(2)从函数的单调性，判断与图象的变化趋势是否一致；
(3)从函数的奇偶性，判断与图象的对称性是否一致；
(4)从函数的零点分布，判断与图象是否一致.
三．函数图像的应用
命题点1 研究函数的性质
例3．（1）（多选）下面关于函数 的性质，说法正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 在定义域上单调递减 D．点 是 图象的对称中心
【答案】AD
【分析】由 ，可知由 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ，根据 的性质得到 的性质，即可判断；
【详解】解：
由 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ，
因为 关于 对称，所以 关于 对称，故D正确；
函数 的定义域为 ，值域为 ，故A正确，B错误；
函数 在 和 上单调递减，故C错误；
故选：AD
（2）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质
可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而
得到结果.
【详解】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根
据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的
性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
（3）已知 为定义在 上的奇函数，当 时，有 ，且当 时，
，下列命题正确的是（ ）
A． B．函数 在定义域上是周期为 的函数
C．直线 与函数 的图象有 个交点 D．函数 的值域为
【答案】A
【分析】首先 时，函数变形为 ，再结合函数是奇函数，可计算求值，并判断选项B；
根据条件，可判断 和 时，函数的值域，即可判断D；再结合条件，以及D
选项，即可判断C.
【详解】 函数 是 上的奇函数， ，由题意可得 ，当 时， ， ，A
选项正确；
当 时， ，则 ， ，
，
则函数 不是 上周期为 的函数，B选项错误；
若 为奇数时， ，
若 为偶数，则 ，即当 时， ，
当 时， ，若 ，且当 时， ，
，
当 时，则 ， ，
当 时， ，则 ，
所以，函数 在 上的值域为 ，
由奇函数的性质可知，函数 在 上的值域为 ，
由此可知，函数 在 上的值域为 ，D选项错误；
如下图所示：由图象可知，当 时，函数 与函数 的图象只有一个交点，
当 或 时， ，此时，函数 与函数 没有交点，
则函数 与函数 有且只有一个交点，C选项错误.
故选：A.
（4）①在同一坐标系中， 与 的图象关于 轴对称；
② 是奇函数；
③ 的图象关于 成中心对称；
④ 的最大值为 ；
⑤ 的单调增区间： ．
以上五个判断正确的有____________________（写上所有正确判断的序号）．
【答案】
【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的结论．
【详解】对于①，由于 ，则在同一坐标系中， 与
的图象关于 轴对称，故①正确；
对于② ，函数 的定义域为 ，又 ，所以函数是奇函数，
故②正确；
对于③，因为 的对称中心 ，将函数 的图象向左平移2单位，再向上平移1单位，可得
到 的图象的对称中心为 ，所以③正确；
对于④， ，因为 ，所以 ，所以当x=0时函数取得的最小值为 ，故④不正确；
⑤ 函数 的单调增区间为 ，故⑤不正确．
综上可得①②③正确．
故答案为①②③．
【点睛】本题综合考查函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关函数的性质，同时对于一些基本初等函数
（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等）的性质、图象等要熟练掌握．
（5）设函数 的定义域为R，则下列命题：
①若 是偶函数，则 的图像关于 轴对称；
②若 是偶函数，则 的图像关于直线 对称；
③若 ，则函数 的图像关于直线 对称；
④ 与 的图像关于直线 对称．
其中正确命题的序号为________．
【答案】②④
【分析】利用函数的奇偶性、对称性和平移变换分析各命题即可.
【详解】若 是偶函数，则 ，
所以 的图象关于 对称，①错误，②正确；
，令 即 ，所以 是偶函数，
图象关于 轴对称，③错误；
是将 的图象向右平移2个单位而得，
是将 的图象沿 轴对称后再向右平移2个单位而得，
因此 与 的图象关于 对称，④正确.
故答案为：②④
【复习指导】：利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借
助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
命题点2 确定零点个数、解不等式例4．（1）奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数 为奇函数，可得 ，即 和 同号，所以
或 ，再结合函数 的大致图象即可求解．
【详解】解： 在定义域上为奇函数， ，
，
或 ，
由题可知 的大致图象如图：
∴该不等式的解集为 ,
故选：D.
（2）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】首先确定函数的奇偶性，然后对不等式进行恒等变形，结合函数图像确定不等式的解集即可.
【详解】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，
则不等式 即 ，即 ，
观察函数图像可得实数 的取值范围是 .
故选A.
【点睛】本题主要考查分段函数的性质，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求
解能力.
（3）若函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】 的零点即方程 的根，设 ，则 ，先解方程
的根t，再根据图像数形结合 的解的个数即可.
【详解】函数 ， 的零点即 的根，
设 ，则 ，先解方程 的根t，再计算 的解.
时 得 ； 时 得 .如图所示，函数 的图像，
方程 和方程 各有两个解，即方程 共有4个解，故
的零点有4个.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的零点个数，考查了数形结合思想，属于中档题.
【复习指导】：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析
式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
（4）函数f(x)= -|sin 2x|在 上零点的个数为( )
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】在同一坐标系内画出两个函数y= 与y=|sin 2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，
1 2
进而得到函数零点的个数．
【详解】在同一直角坐标系中分别画出函数y= 与y=|sin 2x|的图象，
1 2结合图象可知两个函数的图象在 上有5个交点，
故原函数有5个零点．
故选C．
【点睛】判断函数 零点的个数时，可转化为判断函数 和函数 的图象的
公共点的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的
应用．
（5）定义在R上的偶函数 满足 ,当 时， ，设函数
，则函数 与 的图象交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据 的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点的个数．
【详解】：∵ ，
∴ ，
∴ 的周期为2．
∴ ，
故 的图象关于直线 对称．
又 的图象关于直线 对称，
作出 的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（-1，3）上共有4个交点，
故选：B.
命题点3 求参数的取值范围
例5．（1）已知函数 ，若函数 恰有3个零点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 恰有3个零点，即函数 与 的图象有三个交点，画两个函数
的图象，观察图象即得结果.
【详解】函数 恰有3个零点，即函数 与 的图象有三个交点，分别画出
与 的图象，如图所示， ，观察图象可得，当 时，两图象有3个交点，即函数 恰有3个零点.
故选：A.
【复习指导】：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
（2）若曲线 与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是_______．
【答案】
【分析】作出函数 与函数 的图象，观察图象得出当直线 与函数 的图象有两个
交点时，实数 的取值范围．
【详解】作出函数 与 的图象，如下图所示：
由图象可得，如果曲线 与直线 有两个公共点，则 的取值范围是 ，故答案为 ．
【复习指导】：考查函数的零点个数与参数，解题的关键就是作出图象，将问题转化为两个图象的交点个
数问题来求解，在画函数图象时，分析函数的一些基本性质以及一些基本的图象变换，数形结合得出结论．（3）已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx. 若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是
__________．若f(x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．
【答案】；
【详解】先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直
线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
当－1≤k<时，函数g(x)＝kx的图象恒在函数f(x)图象的下方．
【复习指导】：利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与
g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，
体现了数形结合思想．
（4）把函数 的图象向左平移 ( )个单位长度后，所得图象对应的函数 在 上
单调递增，则 的取值范围为______.
【答案】
【分析】作出f(x)的图象，根据f(x)单调性即可和函数图象的平移即可求解．
【详解】函数 的图象如图：
f(x)图象关于x＝1对称，在x＜1时单调递减，x＞1时单调递增，
将f(x)的图象向左平移t(t＞0)个单位得到g(x)图象，要使g(x)图象在 上单调递增，则t≥1．
故答案为：
（5）已知函数 .若函数 存在5个零点，则实数 的取值范围为
_________.
【答案】
【分析】先作出函数y=2f(x)的图像，再令 =0，则 存在5个零点，再作函数
y= 的图像，数形结合分析得到a的取值范围.
【详解】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，
当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数
存在4个零点，不合题意.
当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数
存在5个零点，符合题意.当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数
存在6个零点，不符合题意.
所以实数a的取值范围为 .
故答案为
【点睛】本题主要考查指数对数函数的图像，考查函数图像的变换，考查函数的零点问题，意在考查学生
学这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.解答本题的关键是画图和数形结合分析图像.
（6）已知函数 ， ，对于任意 ，总存在 ，使得
成立，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【分析】分析题意，进行等价转化为两函数的最大值的大小问题，分析转化两个函数的解析式，画出两函
数的图象，利用数形结合可以得到实数 的取值范围.
【详解】由题意可知，对于任意 ，总存在 ，使得 成立，
等价于所以 在 上的最大值小于 在 上的最大值.
, ,
的图象为分段的二次函数形式， 的图象为反比例函数 向左平移1个单位，向上平移4个
单位得到，画出两函数在 时的图象，如图所示.,点A是直线 与函数 ( )的交点，
是 、 在 轴右侧的交点.
由图可知，为使 在 上的最大值小于 在 上的最大值.
直线 必须且只需在点 之间，
由 ，解得 ,
由 解得 ,
∴实数 的取值范围 ，
故答案为： .
1．函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图
象.
【详解】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对
称，选项CD错误；
当 时， ，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
2．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在 处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为 ，则 ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且 时， ，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
3．函数y＝1＋x＋ 的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.
【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；
当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.
故选：D.
【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.
4．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】判断函数为奇函数，由图像可排除C，D；然后利用特殊值，取 ，可排除B.
【详解】定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
是奇函数，排除C，D；
当 时， ，排除B；
故选：A.
【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.
5．函数 的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数 的单调性和 与 轴的交点结合指数函数的性质可求解.
【详解】若 ， 为增函数，
且 ，与图象不符，
若 ， 为减函数，
且 ，与图象相符，所以 ，
当 时， ，
结合图象可知，此时 ，所 ，则 ，所以 ，故选:C.
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由 排除不正确的选项，从而得出答案..
【详解】详解： 为奇函数，排除A,
，故排除D.
，
当 时， ，所以 在 单调递增，所以排除C；
故选：B.
7．已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
【答案】C
【分析】作出函数 的图象结合 可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关
系式，整理变形即可判断出答案.
【详解】作出函数 的图象，如图：由题意可知， ，且由图象可知， ，
所以即 ，
所以 ，即 ， ，
即 ，
故选：C
8．函数 的图象如图，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性排除选项B,D,再利用函数的零点和特殊值排除选项A,即得解.
【详解】解：由图得函数的定义域为 ，且是偶函数.
由于选项B,D的函数为奇函数，所以排除B,D.
对于选项A, 函数的定义域为 ，且 ，所以函数是偶函数，当
时， ，令 .所以函数 轴右边图象只有一个零点1.,与图象不符，所以选项A错误；
对于选项C, 函数的定义域为 ，且 ，所以函数是偶函数，当
时，令 ，所以函数 轴右边图象只有一个零点1.
，与图象相符，所以选项C有可能.
故选：C
9．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事
休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数 的部分图象如图
所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据 时函数值为正排除A；
即可得出结果.
【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，
而D中的函数为偶函数，故排除D；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；
对于A，当 时， ，不满足图象；对于C，当 时， ，满足图象.
故排除A，选C.
故选：C
10．若函数 的大致图象如图，则 的解析式可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据定义域排除A，根据奇偶性排除B，根据值域或单调性排除C.
【详解】由图可知函数定义域为{x|x≠0}，由此排除A；
该函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足f(x)＋f(－x)＝0，
对于B项：f(x)＋f(－x)≠0，故排除B；
C和D均满足f(x)＋f(－x)＝0，
对于C： ，当x ＋∞时， 0，故 ，
→ →
∵y＝ 增长的速率比y＝ 增长的速率慢，∴ ，
即图像在x轴上方无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C.
综上，D选项正确.
故选：D.
11．已知某函数的部分图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据图象观察函数的奇偶性、单调性、零点分布情况和函数值的正负分布情况，再根据选项中
函数逐一排除BCD，即得对应函数可能是A.
【详解】由图象知，函数 关于原点对称，即 为奇函数；当 时，函数有3个零点；
在y轴右侧一点，函数值 ，且在y轴右侧一点，函数 递减.
选项B中，函数 ， ，当 时， ，故
在 上单调递增，与图象不符，不正确；
选项C中，函数 中，当 时， ，则 ，而 ，即 ，
故 ，与图象不符，不正确；
选项D中， ，满足 ，即 是偶函数，
故与图象不符，不正确；
故由排除法只能说选A，而选项A中，函数 ，满足
，即 是奇函数；当 时， ，故 有两根： ，即 ，且 有一根： ，符合题意中 有3个零点；
存在正数1，使得当 时， .故以上性质均与图象符合，可能是图象对应的函数.
故选：A．
12．存在函数 满足：对任意 都有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 的奇偶性可以判断A 和B选项的正误；再根据 的对称性判断C和D.
【详解】 必定是一个偶函数，故可以判断A 和B选项是错误的；
是由 的图像向左平移一个单位得到，
所以 的图像关于 对称，
对于C， 不关于 对称，故舍去；
对于D， 关于 对称，故正确，
故选：D.
13．设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数的对称性，可得答案.
【详解】 图象向右平移2个单位，可得 的图象，且 是奇函数，
的图象关于点 成中心对称， ，图象向右平移1个单位，可得 的图象，且 是偶函数，
的图象关于直线 成轴对称，
由对称性，对称轴直线 关于 成中心对称的直线为 ，
对称中心 关于直线 成轴对称的点为 ，即 .
故选：A.
14．定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解.若关于x的不等式
有最优解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． ∪ D． ∪
【答案】D
【分析】将不等式转化为 ，结合图象求得 的取值范围.
【详解】 可转化为 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的图象，如图所示.
易知m＝0时不满足题意.
当m>0时，要存在唯一的整数x，满足f(x)<g(x)，
0 0 0
则 ，即 ，解得 .
当m<0时，要存在唯一的整数x，满足f(x)<g(x)，
0 0 0
则 ，即 ，解得 .
综上，实数m的取值范围是 ∪ .
故选：D15．已知函数 是定义在 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数 ，不等式
恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据所给条件可知函数 单调递减，又由函数图象平移可知 ，据此建立不等式求解
即可.
【详解】因为不等式 对于任意给定的不等实数 恒成立，
所以函数 是定义在 上的减函数，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以函数 的图象过原点，即函数 的图象过 ，即 ，
则由 ，
可得 2，解得 .
故选：
16．已知 ，若关于 的方程 有三个实根，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由题得 或 ，求出 的解为 ，命题等价于方程 有两个不
同的实根，利用数形结合求出 的取值范围.
【详解】由题得 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 或
的解为 ，
所以方程 有两个不同的实根，
函数 的图象如图所示，
所以 ，
所以 .
故选A
【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查指数函数的图象和图象的变换，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平.
17．若函数 图象与函数 的图象关于原点对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】设 是函数 的图象上任意一点，利用 在函数 的图象上，
可得函数 的解析式.
【详解】设 是函数 的图象上任意一点，
其关于原点对称的点是 .
因为点 在函数 的图象上，
所以
可得 故选D.
【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数图象的对称性，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，
属于中档题.
18．已知函数f（x）＝ ，若 ，且 ，给出下列结
论：① ，② ，③ ，④ ，其中所有正确命题的编号是（
）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【分析】作出函数 的图象，利用二次函数 图象的对称性可判断①的正误；由图象得
出 ，结合对数的运算性质可判断②的正误；推导出 ，利用双勾函数的单调性可
判断③的正误；推导出 ，利用二次函数的基本性质可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】解：函数 的图象如右图所示，函数 的图象关于直线 对称，则 ，故①错误；
由 得 ，∴
则 ，∴ ，故②正确；
设 ，由
所以 ，由 得 ，则 ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
由 的对称轴方程为 ，由图可知
又 ，
∴ ，故④正确．
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题考查与函数零点相关的代数式的取值范围的判断，考查数形结合思想以及函数单
调性的应用，解答本题的关键是由图像得出 ，由 得， ，从而得出答案，属
于中等题.19．已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数 的解析式，然后根据解析式进行判断即可．
【详解】由题意得，y＝f(1－x)＝ ，结合各选项可得选项D符合．
故选D.
【点睛】本题考查根据函数的解析式判断图象的大体形状，考查分析判断能力，解题时可根据解析式和常
见函数的图象的形状进行判断，其中的关键是要记住常见函数图象的大体形状．
20．函数 的图象向右平移一个单位，所得图象与 的图象关于 轴对称，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数 关于 轴对称的函数为 ，
将 向左平移 个单位对应的解析式为： ，
∴ ，选择 ．
21．若当 时，函数 始终满足 ，则函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】由函数 始终满足 ，得到 ，再化简 ，画出
的图像，利用翻折变换得到 的图像，选出答案.
【详解】 当 时，函数 始终满足 ， 必有 ，
又
先画出函数 的图像，过 点，单调递减，再将y轴右侧图像翻折到左侧，得到 图像．
故选：A．
22．已知函数 ，若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先确定 有三个零点的a的取值区间，再讨论 的图象与 的图
象关系即可得解.
【详解】函数 定义域为 ， ，
于是得函数 有三个零点，当且仅当 在 有三个零点，即直线 与函数 图象有三个公共点，而 时， ，当 时，
，
函数 的图象如图，观察图象知，当 或 时，直线 与函数 的图象有三个交
点，
因函数 图象是由 的图象向左 或向右 平移 个单位而得，又函数图象左
右平移不影响图象与x轴交点个数，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
23．函数 与 的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之和为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【解析】由 与 的图象特征，得到它们都关于 对称，由 与 的
交点坐标经过移动可得答案.
【详解】 ， 的图象可看作是由 的图象先向右移动一个单位，再向上移动2
个单位得到， 的图象关于 对称，则 的图象关于 对称， 的图象
可看作是由 的图象先向右移动一个单位，再向上移动2个单位得到， 的图象关于 对称，则 的图象关于 对称，由于 与 的交点坐标为 、 ，两个点先向右移
动一个单位，再向上移动2个单位得到 、 ，所有交点的横坐标与纵坐标之和为 .
故选：B.
【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，涉及了函数图象的变换过程，反比例函数与幂函数的性质的
应用，解题的关键是确定两个函数图象的对称中心.
24．已知定义在 上的函数 ， 满足 ，则函数 的图象关于（ ）
A．直线 对称 B．直线 对称 C．原点对称 D． 轴对称
【答案】B
【分析】首先考虑函数 的图象特征，再将函数 向右平移一个单位长度，得到
的图象，这样就能得到 的图象特征.
【详解】设函数 , 所以有
定义域为 ，所以函数 是 上的偶函数，图象关于 轴对称，
也就是关于直线 对称.而 的图象是由函数 向右平移一个单位长度得到的．
因此函数 的图象关于直线 对称，故本题选B.
【点睛】本题考查了抽象函数的平移、对称性、奇偶性.本题也可以有以下的一种解法：
所以函数 的图象关于直线 对称.
25．有以下结论∶
①将函数 的图像向右平移1个单位得到 的图像；
②函数 与 = lnx的图像关于直线y= x对称；③对于函数 (a>0且a≠1)，一定有
④函数 的图像恒在x轴上方，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据函数平移、指对数关系、指对数函数的性质，判断各项的正误即可.
【详解】①将函数 的图像向右平移1个单位得到 的图像，故错误；
②由指对数的关系知：函数 与 = lnx的图像关于直线y= x对称，故正确；
③由指数函数的性质，如下图示，对于函数 (a>0且a≠1)，一定有 ，故正
确.
④由 在 上恒成立，即 ，故正确.
故选：C.
26．函数 的图象与函数gx 2sinx1 2 x4的图象所有交点的横坐标之和等于
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解.
【详解】由函数图象的平移可知，
函数 与函数 的图象都关于 对称.作出函数的图象如图，
由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点 对称），
所以所有交点的横坐标之和等于 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：由基本初等函数及图象的平移可知 与 都是关于
中心对称，因此图象交点也关于 对称，每组对称点的横坐标之和为2，由图象可知共8个交点，4组对
称点.
27．已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】等价转化为 ，即函数 的图象在直线 的上方，再通过数形结合分
析得解.
【详解】不等式 可等价转化为 ，
即函数 的图象在直线 的上方，
如图，考虑直线 与二次函数 相切， ，
解得 或 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题的求解方法，考查函数的图象的作法，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.
28．设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝3x－9，则f(x－3)>0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>2} B．{x|x<－2或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<1或x>5}
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，先求出不等式f（x）＞0的解集，再求f(x－3)>0的解集.
【详解】当x≥0时，由f(x)＝3x－9>0得x>2，所以f(x)>0的解集为{x|x>2或x<－2}．将函数f(x)的图象向右
平移3个单位，得到函数f(x－3)的图象，所以不等式f(x－3)>0的解集为{x|x<1或x>5}．选D.
【点睛】本题考查了与指数有关的不等式的求解，偶函数的性质，图象平移的概念，使用了数形结合的方
法.
29．已知 是定义在 上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点 成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析函数 的奇偶性，结合函数图象变换可判断ABCD选项.【详解】构造函数 ，该函数的定义域为 ，
所以， ，函数 为奇函数，故函数 的对称中心为原点.
对于A选项，函数 的图象可在函数 的图象上向右平移 个单位，
故函数 图象的对称中心为 ；
对于B选项，函数 的图象可在函数 的图象上向左平移 个单位，
故函数 图象的对称中心为 ；
对于C选项，函数 的图象可在函数 的图象上向上平移 个单位，
故函数 图象的对称中心为 ；
对于D选项，函数 的图象可在函数 的图象上向下平移 个单位，
故函数 图象的对称中心为 .
故选：B.
30．已知函数 （ 且 ）的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】解法一:分别画出 和 两种情况 图像.检验那个选项符合即可.
解法二: 根据 和 两种情况讨论求解,求解时可以采用特殊值法,即当 ,不妨取 ,则
,可以观察在 和 下 的取值范围,观察选项即可得出答案. 当 时,也按照
的方法处理.
【详解】解法一:当 时 的图像为
故C正确.
当 时 的图像为:
解法二: 当 ,不妨取 ,则
, 取值范围是:
, 取值范围是: .
,
结合着3个条件可知选项:C符合题意.
当 ,不妨取 ,则, 取值范围是:
, 取值范围是: .
,
没有选项同时符合这3个条件.
故选:C.
【点睛】本题考查了指数函数图像,与绝对值函数图像.处理加上绝对值函数图像时,要掌握先画原函数图像,
在将函数在 轴下方的图像对称到 轴上方, 轴下方图像去掉,这是解决此题的关键.合理使用特殊值法可
以简化计算.
31．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数的图象和性质，可得 ，进而结合对数图象和性质及函数图象的对折变换法则可得答
案．
【详解】由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，
∴a>1，则y＝logx在(0，＋∞)上是增函数，
a
又函数y＝log|x|的图象关于y轴对称．
a
因此y＝log|x|的图象应大致为选项B.
a
【点睛】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，属中档题．
32．已知函数 ，若方程 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，根据函数与方程的关系，将问题转化为函数求交点，利用数形结合的思想，可得答案.
【详解】由方程 有三个不同的实数根，等价于函数 的图象与直线 有三个不同的
交点．
画出函数 的图象如图所示，且当 时，函数 的图象以 为渐近线．
结合图象可得当 的图象与直线 有三个不同的交点，故若方程 有
三个不同的实数根，实数 的取值范围是 ．
故选：A．
33．要得到函数 的图像，只需将 的图象（ ）
A．向左移动 个单位 B．向右移动 个单位
C．向左移动1个单位 D．向右移动1个单位
【答案】A
【详解】因为 ，所以需将 的图像向左移动 个单位，选A.
34．（多选）已知函数 若函数 有且只有两个不同的零点，则实数 的取值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】BCD
【分析】作出函数 的图象如下图所示，将原问题转化为函数 的图象与直线 有两个不同的
交点，根据图示可得实数 的取值范围.
【详解】根据题意，作出 的图像如下所示：
令 ，得 ，
所以要使函数 有且只有两个不同的零点，
所以只需函数 的图像与直线 有两个不同的交点，
根据图形可得实数 的取值范围为 ，
故选： ．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解．
35．（多选）已知函数 ，方程 有4个不同的实数根，则下列选项
正确的为（ ）
A．函数 的零点的个数为2B．实数 的取值范围为
C．函数 无最值
D．函数 在 上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到 两
个不等的实根 ，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.
【详解】因为函数 ，可得函数图像如图：
由图知函数 有2个零点，故A选项正确；
函数 没有最值，故C选项正确；
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故D选项错误；
由于方程 有4个不同的实数根，
令 则 有4个不同的实数根，
因为 恒成立，
设 两个不等的实根为 ，
由韦达定理知： ，
则 异号，由图可知： ，所以 ，解得 ，故B选项正确；
故选：ABC
36．（多选）已知定义在 上的函数 的图像关于点 对称，则下列结论成立的是（ ）
A． 为偶函数 B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由题意可得 ，根据函数图像的对称性和函数性质，对选项进行判断.
【详解】定义在 上的函数 的图像关于点 对称，则函数图像上的点 关于点 的
对称点 也在函数图像上，所以 .
函数 的图像由函数 的图像向左平移一个单位得到，则函数 的图像关于点 对
称，不能得到函数为偶函数，所以A选项错误；
由 ，令 ，则有 ，故B选项错误；
由 ，令 ，则有 ，故C选项正确；
由 ，令 ，则有 ，∴ ，故D选项正确.
故选：CD
37．（多选）已知函数 对任意 都有 ，若函数 的图像关于 对称，且对
任意的 ，且 ，都有 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．C． 的图像关于 对称 D．
【答案】ABC
【分析】由 ，得到 ，得出 是周期为4的周期函数，根据函数的图象变换，
得到函数 的关于 对称，得出函数 为偶函数，结合 ，根据 ，进而求得
，得到函数 关于 中心对称，结合函数的单调性和周期性，进而得出
.
【详解】由函数 对任意 都有 ，可得 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，
又由函数 的图像关于 对称，根据函数的图象变换，可得函数 的图象关于 对称，所
以函数 为偶函数，所以A正确；
因为 ，可得 ，
则 ，所以B正确；
又因为函数 为偶函数，即 ，所以 ，
可得 ，所以函数 关于 中心对称，所以C正确；
由对任意的 ，且 ，都有 ，
可得函数 在区间 上为单调递增函数，
又由 ，
可得 ，即 ，所以D不正确.
故选：ABC
38．（多选）已知函数f(x)＝x－4＋ ，x∈(0，4).当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝ 的图
象不可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】先将f(x)看成 复合而成，判断其单调性求得参数a，b，得到g(x)，再利用
指数函数图像变换即得结果.
【详解】函数f(x)＝x－4＋ ，可以看成 复合而成.
时， 是增函数，此时 是减函数，故 是减函数； 时，
是增函数，此时 是增函数，故 是增函数.故 时f(x)取得最小值，依题
意，即 .
故g(x)＝ ，是由 向左平移一个单位得到的，故图像为选项A，即不可能是
BCD.
故选：BCD.
【点睛】本题解题关键是通过复合函数单调性求出参数 .复合函数 单调性的判断方法
为先将函数拆分为 和 ，分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可.39．设函数 ， ，则函数 零点的个数有______个.
【答案】8
【解析】先根据指数函数的图象和平移规律得到 时 的图象，再根据 时 ，将
时， 的图象逐次向右平移1个单位，得到 时 的图象，在同一坐标系中再做
出 的图象，注意 时的关键点，考察两函数的图象的交点个数，即为函数 的
零点个数.
【详解】解： 时 时的 图象是由 时的 的图象向右平移1
个单位得到，
当 时， ,将其中(0,1]之间的一段向右平移1个单位得到 上 的图象，
由 的 的图象逐次向右平移1个单位，得到 在 时的整个图象如图所示，
注意在 时， 当 时， .
作出 图像，由图象可得，共有8个公共点，
即 有8个零点.
故答案为：8.
【点睛】本题考查函数的零点个数问题，转化为两函数的图象的交点个数是解决问题的关键思路，根据函数f(x)解析式和 时 的意义，利用图象的平移变换得到 在 时的图象是解决问题
的难点.
40．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是________.
【答案】
【分析】先确定 的奇偶性，再确定 的单调性，最后根据单调性脱去函数的符号“ ”，转化为
解不等式（组）的问题，求解即可.
【详解】由题意知 的定义域为R，
又 ，
故 是偶函数，当 时， ，
是单调递增函数， 在 是单调递增函数，
根据复合函数的单调性可得 在 是单调递增函数，
则函数 为偶函数，且在区间 上单调递增，原不等式等价于
， ，解得 ，
所以本题答案为 .
【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函
数的符号“ ”，转化为解不等式（组）的问题，若 为偶函数，则 .
41．函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，给出
下列四个结论：
① 图象的对称中心是 ；② 图象的对称中心是 ；
③类比可得函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是 为偶函数；
④类比可得函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是 为偶函数．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③
【分析】根据 是奇函数，对称中心为 ，由图象的平移变换可得 的对称中
心，可判断①②；将 的图象向左平移 个单位可得偶函数 ，可判断③④，进而可得正
确答案.
【详解】 是奇函数，对称中心为 ，将 图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位
可得 的图象，所以 图象的对称中心是 ，故①正
确，②不正确；
若函数 的图象关于直线 成轴对称图形，图象向左平移 个单位可得 关于 即
轴对称，所以 为偶函数，故③正确，④不正确；
所以所有正确结论的序号是：①③，
故答案为：①③.
42．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为_____．
【答案】
【分析】根据函数f（x）是R上的奇函数和已知条件得出函数 和 的解析式，在同一坐标系中
做出 和 的图像，求出交点的坐标，根据不等式 的解集可以理解为将 的图
象向右平移一个单位长度后所得函数 的图象在函数 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.
【详解】当 时， ，所以 ，
又f（x）是R上的奇函数，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
做出 和 的图像如下图所示，
不等式 的解集可以理解为将 的图象向右平移一个单位长度后所得函数 的图象在
函数 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，
由 得 所以 ，
由 得 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求得对称区间上的解析式，图像的平移，以及运用数形结合的思想求
解不等式，关键在于综合熟练地运用函数的奇偶性，解析式的求法，图像的平移，以及如何在图像上求出
不等式的解集等一些基本能力，属于中档题.
43．已知函数 ，将函数 的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数 的图象，函数 ，若对任意的 （ ），都有 ，则实数 的最大值
为__________．
【答案】
【详解】由 的图象向右平移 个单位后得到
再向上平移2个单位，可得
当 （ ）时， 为增函数，
函数
当 时， 是增函数，此时
则
解得
实数 的最大值为
当 时， 是减函数，此时
则
解得
综上可得：实数 的最大值为
点睛：本题中根据 平移后求解 ，从而得到了 （ ）时， 为增函数， 为最大值， ，对于任意的 和 进行讨论
的最小值，根据 ，即可求得实数 的最大值．
44．已知f(x)＝ 则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
【答案】5
【分析】函数 的零点，即方程 和 的根，画出
函数 的图象，数形结合可得答案．
【详解】
由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝ 或f(x)＝1
作出函数y＝f(x)的图象．
由图象知y＝ 与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．
【点睛】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函
数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．
45．若函数 的图象经过点 ，则 的图象必经过的点坐标是_______.
【答案】 .
【详解】分析：首先；利用图像的对称变换和平移变换，得到函数图像所过的点，此时应用对称点以及平
移对坐标的影响，得到相应的点的坐标，求得结果.
详解：根据 图像经过点 ，
可得 的图像经过点 ，
函数 的图像经过点 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关图像过的点的问题，在解题的过程中，需要用到对称点的坐标与该点坐标之间的
关系，以及平移之后点的坐标的变化特点，求得结果.
46．若方程 有四个不同的根，则 的取值范围是 _______．
【答案】
【分析】结合函数图像的变换可作出 的图像，将问题转化为 与 有四个交点，结
合图像即可得到 的取值范围.
【详解】由于 的图像是由 的图像保留 轴上方的图像的同时，将 轴下方的
图像关于 轴向上翻折得到的图像，
故由此作出函数 的图像，如图，
.
若方程 有四个不同的根，则函数 与 有四个交点，
因为 ，所以 在 上的最大值为 ，
所以结合图像，可得 ，即 .
故答案为： ．47．如图所示，函数 的图象由两条射线和三条线段组成.若 ， ，则正实
数 的取值范围是________.
【答案】
【详解】试题分析：依题意， ，解得 ，即正实数 的取值范围是 .
考点：函数的奇函数图象的的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.
48．已知函数 ，给出下列四个命题：
①函数 的图象关于点 对称；
②函数 的图象关于直线 对称；
③函数 在定义域内单调递减；
④将 的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位后与 的图象重合．
其中真命题是_________（填写编号）．
【答案】①②④
【分析】由函数解析式，验证每个性质．
【详解】因为 ，所以， ，
所以 的图象关于点 对称，①正确；
， 的图象关于直线 对称，把 的图象向左平移1个单位得 的
图象，再向上平移1个单位得 ，即 的图象，直线 向左平移1个单位，再向上平移1个单位得 ，所以函数 的图像关于直线 对称，②正确，平移过程反过来，说明
④正确．
在 上递减，在 上递减，在定义域内不递减，③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查函数的性质，考查函数图象的对称性、单调性，图象变换等知识．函数 满足
，则 的图象关于点 对称．
49．作出下列函数图象
(1)
(2)
【分析】（1）利用函数奇偶性和指数函数的图像即可画出函数图像；（2）根据函数图像的平移和翻折结
合对数函数图像即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以函数为偶函数，关于 轴对称，
因此只需要画 时的函数图形即可，
，
再利用对称性即可得解.（2）将函数 的图象向左平移 1个单位, 再将 轴下方的部分沿 轴翻折上去, 即可得到函
数 的图象,
如图所示.
50．已知 f x .
⑴ 作出函数 f x 的图象；
⑵ 写出函数 f x 的单调递增区间．
⑶ 写出集合 M m | 使方程f x m有四个不相等的实根.
【答案】(1)见解析; (2)(1,2)和(3,+∞) (3)M={m|0<m<1}
【分析】⑴由题得 ，再画出函数的图像.(2)根据函数的图像写出函数的单调递增区
间.(3)利用数形结合得到m的取值范围.
【详解】(1) 由题得 ，再画出函数的图像如图所示，(2)由函数的图像得函数的单调递增区间为(1,2)和(3,+∞).
(3)由图象可得m∈(0,1)时，方程f x m有四个不相等的实根.则M={m|0<m<1}.
【点睛】本题主要考查函数图像的作法，考查函数的图像和性质，考查利用数形结合解决函数的零点问题，
意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.
