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疑难压轴6 圆锥曲线与解三角形、向量、数列等的交汇问
题（小题狂练）
一．单选题．
【原创】
1．椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，直线过
与
交于
，
两点，
为直角三角形，且
，
，
成等差数列，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 全国专题练习】
2．在锐角
中，角
的对边分别为
，若
，
，
则边
上的中线
长度的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 湖北荆州模拟】
3．已知
，向量
满足
，则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【2024 安徽合肥二模】
4．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在双曲线左支上，
线段
交
轴于点
，且
．设
为坐标原点，点
满足：
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上四川期末】
5．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，点M，N 分别在C
的左、右两支上，且M，N，
三点共线，
，且
，若
，则C 的离心率（ ）
A．
B．
C．3
D．
【2024 山东青岛模拟】
6．已知
，
，设点P 是圆
上的点，若动点Q 满足：
，
，则Q 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上辽宁沈阳期中】
7．已知圆
，点
在椭圆
运动，过点
作圆
的两条切线，切点
分别为
、
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上江苏南通期中】
8．已知动点
在拋物线
上，定点
．圆
上两个动点
满
足
，则
的最小值为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【2024 安徽安庆三模】
9．直线与双曲线
的左、右两支分别交于
两点，与
的两条渐近线分别
交于
两点，
从左到右依次排列，则下列说法不正确的是（ ）
A．线段
与线段
的中点必重合
B．线段
的长度不可能成等差数列
C．
D．线段
的长度可能成等比数列
【2025 上重庆期末】
10．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，点
，在双曲
线右支上存在点
，使得
成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 湖南二模】
11．如图，在
中，
，其内切圆与
边相切于点
，且
.延长
至点
.使得
，连接
.设以
两点为焦点且经过点
的椭圆的离心率为
，以
两点为焦点且经过点
的双曲线的离心率为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 广东深圳高级中学模拟】
12．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
的直线与双
曲线
的右支交于
两点，若
，且双曲线
的离心率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题．
【原创】
13．已知抛物线
的焦点为
，准线为，点
在
上，
，垂足为
，直线
与
相交于
，
两点．若
为
的三等分点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上湖南永州期末】
14．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，左，右顶点分别
为
，
，点
在
的右支上，
的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
是面积为2 的正三角形，则
C．在
中，
恒成立
D．若
，则
内切圆半径的取值范围为
【2024 哈尔滨九中检测】
15．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过
作斜率为
的直线与双曲线的右支交于
、
两点（
在第一象限），
，
为线段
的中
点，
为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线
的离心率为
C．
的面积为
D．直线
的斜率为
【2025 上福建福州期中】
16．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线交
的右支于点
，
，若
，则（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．
D．
，
面积记为
，
，则
【原创】
17．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，左、右顶点分别为
为双曲线左支上的一点，且直线
与
的斜率之积等于3，则下列说法不正确
的是（ ）
A．双曲线
的离心率为
B．若
，且
，则
C．以线段
为直径的两个圆外切
D．若点
到
的一条渐近线的距离为
，则
的实轴长为4
【2025 上云南昆明期中】
18．抛物线C：
的准线为，过焦点F 的直线与C 交于A，B 两点，分别过A，B 作
的垂线，垂足分别为
，
，记
，
，
的面积分别为
，
，
，
则（ ）
A．
为锐角三角形
B．
的最小值为4
C．
，
，
成等差数列
D．
，
，
成等比数列
【2024 江西南昌二模】
19．已知
，
为
上一点，且满足
. 动点
满足
，
为
线段
上一点，满足
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
为线段BC 的中点
B．当
时，
的面积为
C．点
到
的距离之和的最大值为5
D．
的正切值的最大值为
三．填空题．
【2024 下广东茂名期末】
20．已知双曲线
：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
.过点
的直
线与
轴交于点
，与
交于点
，且
，点
在以
为直径的圆上，则
的渐近线方程为 .
【原创】
21．已知双曲线
的左焦点为
，过
的直线交圆
于
两点，交
的右支于点
．若
，
，则
的渐近线方程为 ．
【2024 湖北武汉调研测试】
22．设椭圆
的左右焦点为
，
，过点
的直线与该椭圆交于
，
两点，若
线段
的中垂线过点
，则
．
【2025 全国专题练习】
23．抛物线
的焦点恰好也是椭圆
的一个焦点，
，
分别是椭圆
的上、下焦点，
是椭圆上的任一点，
是
的内心，PI 交
轴于
，
且
，点
是抛物线在第一象限上的点，且抛物线在该点处的切线与
轴的交点为
，若
，则
.
【2025 上海期末】
24．在平面直角坐标系
中，
的三个顶点均位于抛物线
上，点
为
的焦点，若
，直线
的斜率为
，则使
成立的实数
的值为 ．
【2025 上海开学考试】
25．平面向量
为两个相互垂直的单位向量．
，
满足
，
，则
在
方向上的数量投影的取值范围是 ．
1．试题特点分析：高考对圆锥曲线的考查，往往出现一些与其它知识交汇的题目，如
与平面向量交汇、与三角函数交汇、与数列交汇等等，圆锥曲线和三角函数、平面向量或
数列的结合：往往是以三角形或向量、数列作为辅助条件考查圆锥曲线的几何性质，尤其
是涉及焦点三角形问题，经常要利用正弦定理、余弦定理或勾股定理进行处理．
2．解题方法阐述：首先要理解题意，对题中所考查的知识点要正确理解．其次明确圆
锥曲线知识和相关交汇知识间的关系，如通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆
锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题．
3．解题经验分享：第一、熟记相关性质、定理和公式，只有准确记忆相关知识点，才
能进行后续的解题步骤． 第二、对各种交汇知识建立联系，这样可以借助已有的知识和解
题经验来解决问题．第三、识别关键信息，正确进行推理．
