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疑难压轴6 圆锥曲线与解三角形、向量、数列等的交汇问
题（小题狂练）
一．单选题．
【原创】
1．椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，直线过
与
交于
，
两点，
为直角三角形，且
，
，
成等差数列，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆定义以及焦点三角形即可中
中由
求解.
【详解】由
为直角三角形，且
，
，
成等差数列，可知
不是最长的
边，故为直角边，
结合椭圆的对称性，不妨设
,
由椭圆的定义可知
的周长为
，又
，
所以
，进而可得
，
由
，
故
，
，
在
中，
，所以
，
故选：B
【2025 全国专题练习】
2．在锐角
中，角
的对边分别为
，若
，
，
则边
上的中线
长度的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先应用正弦定理及余弦定理得出
，再结合双曲线的性质得出
的
取值范围.
【详解】因为
，由正弦定理可得
，
则
，
可得
，
显然
，可得
，即
，
以
的中点
为坐标原点，建立平面直角坐标系，
可知点A 在以
为焦点的双曲线上（左半支且不含顶点），且
，
因为
为锐角三角形，显然
为锐角，取两种临界状态：
若
，则
；
若
，则
，可得
；
结合双曲线性质可知
的取值范围为
.
故选：D.
【2024 湖北荆州模拟】
3．已知
，向量
满足
，则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据椭圆和圆的定义确定点
和点
的轨迹，然后求出圆心到椭圆上一点的最
大距离，最后加上圆的半径得到
的最大值.
【详解】记
，
不妨设
，
，
，点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，
其方程为：
；
由
得
，
即
，
，
，点
的轨迹是以点
为圆心，以
为半径的圆，
，
设
坐标为
，
当
时，
，
.
故选：D.
【2024 安徽合肥二模】
4．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在双曲线左支上，
线段
交
轴于点
，且
．设
为坐标原点，点
满足：
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，根据题设条件得到
，
，再利用
在椭
圆上，得到
，即可求出结果.
【详解】如图，设
，
，则直线
的方程为
，
令
，得到
，所以
，
，因为
，
所以
，得到
，故
，
又
，所以
，得到
，
又
，所以
，得到
①，
又因为
在双曲线上，所以
②，又
③，
由①②③得到
，所以
，
解得
或
，又
，所以
，得到
，
故选：D.
【2025 上四川期末】
5．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，点M，N 分别在C
的左、右两支上，且M，N，
三点共线，
，且
，若
，则C 的离心率（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】利用垂直关系的向量表示可得
，且
为等边三角形，结合双曲线
定义以及余弦定理计算可得
，可求得离心率.
【详解】如下图：
由
可得
，即
，
又
，可得
为
的中点，故
，
又
，故
为等边三角形，
设
的边长为
，
由双曲线定义可知，
，
，
所以
，
，
又
，故
，故
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，可得
故
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用向量数量积得出垂直关系，再由等边三角形性质
以及双曲线定义，结合余弦定理计算可得离心率.
【2024 山东青岛模拟】
6．已知
，
，设点P 是圆
上的点，若动点Q 满足：
，
，则Q 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，点
在
的平分线上且
，由此作出图形，利用等腰三角
形“三线合一”与三角形中位线定理，证出
，从而得到
的轨迹方程.
【详解】由
，可得
，
而
，可知点
在
的平分线上.
圆
，圆心为原点
，半径
，
连接
，延长
交
于点
，连接
，
因为
且
，所以
，且
为
中点，
，
因此，
，
点
在以
为焦点的双曲线上，设双曲线方程为
，
可知
，由
，得
，故
，
双曲线方程为
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将题中的
转化为
在
的平分线上，进而证明
为等腰三角形，将
转化为
得出所
求轨迹为双曲线.
【2025 上辽宁沈阳期中】
7．已知圆
，点
在椭圆
运动，过点
作圆
的两条切线，切点
分别为
、
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，依题意可得切点弦方程为
，取
的中点
，连接
，
则
，利用点到直线的距离公式及
的范围计算可得.
【详解】设
、
、
，
设切线
上任意一点为
，则
，
，
所以
，即
，
即切线
的方程为
，
同理可得切线
的方程为
，
所以
且
，
因为点
、
的坐标都满足方程
，
所以直线
的方程为
，
取
的中点
，连接
，则
，
，
又
，即
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
所以
.
故选：D.
【2025 上江苏南通期中】
8．已知动点
在拋物线
上，定点
．圆
上两个动点
满
足
，则
的最小值为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【分析】过
作抛物线准线的垂线，垂足为
，则
，利用题中条件得
，
结合
进行求解即可.
【详解】
由题意知圆心与抛物线的焦点重合为
，抛物线的准线为
，
过
作抛物线准线的垂线，垂足为
，则
，
由
，则
为
中点，故
，
，
又圆
的半径为
，则可得
，
又
，
当
三点共线时，
取得最小值为
，
则可得
，
故选：D．
【2024 安徽安庆三模】
9．直线与双曲线
的左、右两支分别交于
两点，与
的两条渐近线分别
交于
两点，
从左到右依次排列，则下列说法不正确的是（ ）
A．线段
与线段
的中点必重合
B．线段
的长度不可能成等差数列
C．
D．线段
的长度可能成等比数列
【答案】B
【分析】联立直线与双曲线方程以及直线与渐近线方程，得韦达定理，即可求解A，根据
等差中项以及等比中项，即可求解BD，根据中点关系即可求解C.
【详解】设直线
，
联立
得
，
于是
，
联立
得
，
于是
，所以
，
因此线段
与线段
的中点必重合，A 正确；
假设线段
的长度成等差数列，则
，
所以
，于是
，
两边同时平方并整理得
，
于是
，
展开整理得
，该方程有解，所以存在直线，
使得线段
的长度成等差数列，B 错误；
设中点为
，则
，所以
，C 正确；
同上推理，当线段
的长度相等时，结合上述推理可知这是有可能的，
此时线段
，
的长度成等比数列，D 正确.
故选：B．
【2025 上重庆期末】
10．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，点
，在双曲
线右支上存在点
，使得
成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，则得
，由
和
可推得
为关于
的方程
的两根，求得
，
（*），在
中，利用余弦定理得
，将（*）代入化简得
，根
据
，可得
，即
，解不等式可得
.
【详解】
如图，不妨设
，
由题意，
，
则
，即
①，
又
，即
②，
由①，② 可知，
可看成关于
的方程
的两根，
则
，故得
，
（*）.
在
中，因
，
运用余弦定理，由可得：
，
化简得：
，
将（*）代入整理得：
，
化简得：
，即
，
由图可得
，则有
，
即得：
，也即
，
分解因式得：
，
即
，
因
，解得
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：选设未知数
后，通过
变形后求得
，
是关键，再利用余弦定理建立方程，结合
图形得
将其化成关于
的齐次不等式，求解即得.
【2024 湖南二模】
11．如图，在
中，
，其内切圆与
边相切于点
，且
.延长
至点
.使得
，连接
.设以
两点为焦点且经过点
的椭圆的离心率为
，以
两点为焦点且经过点
的双曲线的离心率为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设内切圆与边
分别相切于点
，设
，可得
，结合椭圆和双曲线的定义可得
，利用余弦定理求得
，结
合对勾函数的单调性分析求解.
【详解】如图，设内切圆与边
分别相切于点
，
由切线长定理和
的对称性，可设
.
由
，可得
.
在
中，由余弦定理，
.
于是根据椭圆和双曲线的定义，
.
接下来确定
的取值范围.
设
，
在
中，
，
于是由余弦定理，
，
整理得
，于是
，故
，
又因为
在
内单调递增，可知
，
可得
，所以
的取值范围是
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心
率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把b
用a，c 代换，求e 的值；
2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如
正余弦定理、勾股定理结合起来．
【2024 广东深圳高级中学模拟】
12．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
的直线与双
曲线
的右支交于
两点，若
，且双曲线
的离心率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得
，从而再得
，由余弦定理求
得
，由诱导公式得
，设
，则
，再由余弦定理求
得
，从而利用余弦定理求解即可.
【详解】因为双曲线
的离心率为
，所以
，因为
，
所以
，由双曲线的定义可得
，
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，
，设
，则
，
由
得
，解得
，所以
，
所以
.
故选：D
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用
，结合余弦定理与
双曲线的定义，从而得解.
二．多选题．
【原创】
13．已知抛物线
的焦点为
，准线为，点
在
上，
，垂足为
，直线
与
相交于
，
两点．若
为
的三等分点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由抛物线的定义结合余弦函数的定义可得A 正确；由抛物线的定义结合余弦定理
可得B 错误；由二级结论
结合三角形相似可计算判断C 正确；在
中
由余弦定理可得D 正确.
【详解】不妨设抛物线
的方程为
，则
，准线方程为
．
对于A，如图，记
为准线与
轴的交点，设
，则
，过
作准线的垂
线，垂足为，
则
，
故A 正确；
对于B，连接
，则
，又由A 可知，
，则
为正三角形，
．
在
中，由余弦定理得
，故B 错误；
对于C，由图易知
，即
，
从而
，
，由二级结论得，
，可得
，故
C 正确；
对于D，在
中，
，
，
由余弦定理得，
，故D 正确．
故选：ACD．
【2025 上湖南永州期末】
14．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，左，右顶点分别
为
，
，点
在
的右支上，
的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
是面积为2 的正三角形，则
C．在
中，
恒成立
D．若
，则
内切圆半径的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，由
，可得
，则得
；对于B，由已知可得
，
，即可求得
；对于C，由已知可得
，即
，又
，联立化简得
，即可判断C；
对于D，由已知
，记
内切圆半径为，圆心为
，则
，可得
，由
且
，可得
，
即
，即可判断D．
【详解】对于A，∵
，所以
的中垂线
与双曲线有交点，
所以
，解得
，故选项A 正确．
对于B，∵
是面积为2 的正三角形，，∴
，
则
，
又∵
，则
，∴
，
，即
，
∴
，故选项B 正确；
对于C，设
，
，
，则
，又
，
∴
，即
，
，
又
，联立化简得
，故选项C 错误．
对于D，若
，则
，
记
内切圆半径为，圆心为
，圆
与
切于点
，
则
，
，
，
又
且
，
∴
，
∴
，
即
，故选项D 正确．
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：C 选项，由已知得到
，得到
后，由诱导公式及二倍角公式得到
，再与
联
立化简.
【2024 哈尔滨九中检测】
15．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过
作斜率为
的直线与双曲线的右支交于
、
两点（
在第一象限），
，
为线段
的中
点，
为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线
的离心率为
C．
的面积为
D．直线
的斜率为
【答案】AD
【分析】利用双曲线的定义求出
、
，可判断A 选项；在
中，应用余弦定
理可得出关于
、的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断B 选项；利用三角形的
面积公式可判断C 选项；利用点差法求出直线
的斜率，可判断D 选项.
【详解】如下图所示：
对于A 选项，因为
，所以，
，
由双曲线的定义可得
，所以，
，A 对；
对于B 选项，设直线
的斜率为
，设直线
的倾斜角为
，则
为锐角且
，
由
可得
，则
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，
等式
两边同时除以
可得
，
因为
，解得
，B 错；
对于C 选项，因为
，则
为钝角，
所以，
，
，C 错；
对于D 选项，设
，
，则
，可得
，
因为
，则
，
由
得
，
所以，
，则
，
则直线
的斜率为
，D 正确．
故选：AD．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
、的值，根据离心率的定义求解离心率
的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
【2025 上福建福州期中】
16．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线交
的右支于点
，
，若
，则（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．
D．
，
面积记为
，
，则
【答案】ACD
【分析】根据
可得
，即可判断A；
，利用余弦定理求出
，根据双曲线的定义结合
的值可求出
可确定C；从而在直角三角形
中可得
的齐次式，可求渐近线方程确定B，根据直
角三角形的面积公式可确定D.
【详解】对于选项A：因为
，
可得
，故A 正确；
对于选项C：因为
，可得
，
不妨设
，
在
中，由余弦定理得
，
可得
，则
，可知
，
所以
，故C 正确；
对于选项B：在直角三角形
中，因为
，可得
，
在三角形
中，因为
，可得
，
因为
，可得
，
即
，
在直角三角形
中，
，即
，
可得
，则
，即
，
所以渐近线方程为
，故B 错误；
对于选项D：因为
，
，则
，
即
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角
形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
【原创】
17．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，左、右顶点分别为
为双曲线左支上的一点，且直线
与
的斜率之积等于3，则下列说法不正确
的是（ ）
A．双曲线
的离心率为
B．若
，且
，则
C．以线段
为直径的两个圆外切
D．若点
到
的一条渐近线的距离为
，则
的实轴长为4
【答案】ABD
【分析】根据斜率的定义进行求解离心率判断选项A；利用双曲线的定义和
,勾股
定理，判断选项B；再根据圆的半径和中位线进行求解，判断选项C；利用渐近线的方程
和点到渐近线的距离，判断选项D.
【详解】对于A，设
，则
，因为
，直线
与
的斜率之积等于3，所以
，得
，
故A 说法错误．
对于B，因为
，所以
，而
为双曲线的左支上一点，
根据双曲线的定义可得
，又
，且
，
所以
，
则
，由
，
可得
，
即
，解得
（负值舍去），故B 说法错误．
对于C，设
的中点为
为原点，连接
，如图，则
为
的中位线，
所以
，
则以线段
为直径的圆，圆心为
，半径
，以线段
为直径的圆，
圆心为
，半径
，所以
，故两个圆外切，
故C 说法正确．
对于D，因为点
到
的一条渐近线的距离为
，所以
，
又由前面的推理可知
，所以
，故
的实轴长为
，故D 说法错误．
故选：ABD．
速解，对于B 选项，由二级结论“双曲线焦点三角形
的面积
”知
，再由二级结论得
，故
，故
，故B 说法错误．
【2025 上云南昆明期中】
18．抛物线C：
的准线为，过焦点F 的直线与C 交于A，B 两点，分别过A，B 作
的垂线，垂足分别为
，
，记
，
，
的面积分别为
，
，
，
则（ ）
A．
为锐角三角形
B．
的最小值为4
C．
，
，
成等差数列
D．
，
，
成等比数列
【答案】BD
【分析】设
，
，联立方程可得韦达定理.对于A：根据直线
垂直的斜率关系分析判断；对于B：根据面积关系结合韦达定理分析判断；对于CD：根据
面积结合等差、等比数列性质分析判断.
【详解】由题意可知：焦点
，准线
，直线
的斜率不为0，且与抛物线必
相交，
设
，
，则
，
可得
，
联立方程
，消去x 可得
，
则
，
对于选项A：因为
，可得
，
可知
，所以
为直角三角形，故A 错误；
对于选项B：因为
，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为4，故B 正确；
对于选项CD：因为
，
则
，
即
，显然
不恒相等，且不为0，
所以
，
，
成等比数列，不成等差数列，故C 错误，D 正确；
故选：BD.
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关
系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑
用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用
底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，
选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其
面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及
函数与方程思想的应用．
【2024 江西南昌二模】
19．已知
，
为
上一点，且满足
. 动点
满足
，
为
线段
上一点，满足
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
为线段BC 的中点
B．当
时，
的面积为
C．点
到
的距离之和的最大值为5
D．
的正切值的最大值为
【答案】ACD
【分析】对A，利用等腰三角形的两底角相等，以及直角三角形的性质即可判断；对B，
根据余弦定理可得
，进而可得
，结合三角形面积公式求解即可；对C，先证
明
，然后根据两点之间线段最短可证明
，再给出取等的例子即可；对
D，用余弦定理证明
，再得到
，最后给出一个取等的例子即
可.
【详解】对A，若
，则
，从而
. 再由
知
.
故
，
这得到
.
所以
，从而
为线段BC 的中点，故A 正确；
对B，当
时，
，则
，又
，
故
，故
，故B 错误；
对C，由于
，故
，从而
，故
.
而
，故
.
这表明
，即
，化简即为
.
所以
，故
.
由于
，故
，从而
. 再由
，知
.
当点
在同一条直线上顺次排列，且
，
，
，
时，
验证知点
满足全部条件，且此时有
.
所以点
到
的距离之和的最大值为，故C 正确；
对D，一方面由于
，
，故
，从而
.
所以
，即
.
所以
，
所以
.
由
，及
，可知
.
另一方面，如上图所示，考虑一个边长为
的正三角形
，分别设
的中点为
，
再分别设
的中点为
.
则
，
，
，
，
，
.
所以
满足全部条件，且此时
.
综上，
的最大值是
，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，在D 选项中，需要先用余弦定理考虑
的下界，再相应地推出
的上界，进而得到
的最大值.
三．填空题．
【2024 下广东茂名期末】
20．已知双曲线
：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
.过点
的直
线与
轴交于点
，与
交于点
，且
，点
在以
为直径的圆上，则
的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】设
，则
，利用勾股定理得到
，则得到
，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可.
【详解】依题意，设
，则
，
因为点
在以
为直径的圆上，则
，
在Rt
中，
，则
，
故
或
(舍去)，所以
，
则
，故
，
所以在
中，
，
整理得
，则
，则
，则
，
故
的渐近线方程为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到
，
最后再利用余弦定理得到齐次方程，
【原创】
21．已知双曲线
的左焦点为
，过
的直线交圆
于
两点，交
的右支于点
．若
，
，则
的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】设双曲线的右焦点为
，连接
，取
的中点
，连接
，然后根据条件和
双曲线的定义，结合几何性质求解.
【详解】法一：
如图，设双曲线的右焦点为
，连接
，取
的中点
，连接
，则
，
因为
，所以
，
因为O 为
的中点，且
，所以
，且
，
由勾股定理得
，即
①，
连接
，由垂径定理得
，即
，即
②，
联立①②得
，
又由双曲线定义可得
，即
，
化简得
，方程两边同除以
得，
，
得
或1（舍去），则
，故渐近线方程为
．
法二：
如图，设双曲线的右焦点为
，连接
，取
的中点
，连接
，则
，
因为
，所以
，
因为O 为
的中点，且
，所以
，且
，
设
，则
，
利用
，
由
，
由
，
所以
，得
，故渐近线方程为
．
故答案为：
【2024 湖北武汉调研测试】
22．设椭圆
的左右焦点为
，
，过点
的直线与该椭圆交于
，
两点，若
线段
的中垂线过点
，则
．
【答案】
【分析】由椭圆方程确定
，
，的值，结合已知条件及椭圆定义求出
，在
中，求出
，由诱导公式求出
，设
，则
，在
中由余弦定理构造方程
，解
出
值即可.
【详解】
设线段
的中垂线与
相交于点
，由椭圆
方程可知，
，
，
；由已知有：
，点
在椭圆上，
根据椭圆定义有：
，所以
，
，
在
中，
，
，
，点
在椭圆上，根据椭圆定义有：
，
设
，则
，
，在
中由余弦定理有：
,
解得
，即
.
故答案为：
【2025 全国专题练习】
23．抛物线
的焦点恰好也是椭圆
的一个焦点，
，
分别是椭圆
的上、下焦点，
是椭圆上的任一点，
是
的内心，PI 交
轴于
，
且
，点
是抛物线在第一象限上的点，且抛物线在该点处的切线与
轴的交点为
，若
，则
.
【答案】
【分析】作出辅助线，由正弦定理得到
，根据椭圆定义得到
，从而求出焦点坐标为
，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到
在点
的切线为：
，求出
，结合
，利用等
比数列的通项公式求出答案.
【详解】由椭圆
的焦点在
轴上得
.
如图，连接
，因为
是
的内心，所以
平分
.在
中，
由正弦定理得
，在
中，由正弦定理得
，
因为
，所以
，
又
，所以
，又
，所以
，
同理可得
，所以
.
由椭圆定义可知
，
，
所以
，
，即椭圆的焦点坐标为
，
所以抛物线方程为
，即
，则
，
故抛物线
在
处的切线方程为
，
又
，可得
，即
.
令
，则
，又
，所以
，
所以
是首项为2，公比为
的等比数列，所以
.
故答案为：
【点睛】当已知切点坐标为
时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用
求出切线方程；
当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列
出等式，进行求解.
【2025 上海期末】
24．在平面直角坐标系
中，
的三个顶点均位于抛物线
上，点
为
的焦点，若
，直线
的斜率为
，则使
成立的实数
的值为 ．
【答案】
【分析】不妨设点
在x 轴上方，根据正弦定理可得
，结合直线
的倾斜角可知
x 轴，且直线
的斜率为
，设
，根据斜
率公式整理可得
，再根据数量积的坐标运算求解即可.
【详解】由题意可知：
，不妨设点
在x 轴上方，
取
的中点
，过
分别作直线平行与x 轴，分别交
于点
，
因为
，由正弦定理可得
，
设
，则
，
则
，且
，
可得
，
又因为直线
的斜率为
，则直线
的倾斜角为
，
可得
，
，
则
，可得
，即
x 轴，
则
，可得直线
的斜率为
，
设
，则
，
则
，
，
整理可得
，解得
，
又因为
，
且
，可得
，
即
，所以
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：根据题中的长度和直线
的倾斜角可知
x 轴，且直线
的
斜率为
，进而可得坐标值.
【2025 上海开学考试】
25．平面向量
为两个相互垂直的单位向量．
，
满足
，
，则
在
方向上的数量投影的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设平面向量
，
在分别在坐标轴上，设
，
，由双曲线和圆的定义得到点
，
的轨迹方程，由投影的定义作出图
像，然后由双曲线渐近线求得最值.
【详解】∵平面向量
，
为两个相互垂直的单位向量，
∴设平面向量
，
在直角坐标系的
轴和
轴上，且起点均为坐标原点.
则设
，
，即
，
，
∵
，
，
∴
，
由双曲线的定义可知，点
在以双曲线
上，
，即
，
由圆的定义可知，点
在圆
上，
如图：
显然当
点坐标为
或
，
点坐标为
或
时，
在
方向上的数量投影为0.
由对称性，我们取点
在一象限.
过点
分别作
的垂线
，
分别垂直于点
.
即
为
在
方向上的数量投影，
显然当
时，
，此时
最大，
因为
，
，
所以当
最小时，
最大，
又因为双曲线的渐近线为
，设
，则
，即
，
所以
.
∴
.
故答案为：
【点睛】关键点睛，本题的关键需要将向量问题通过模长转变为双曲线上的点和圆上的点，
然后利用双曲线的渐近线来求得最值.
1．试题特点分析：高考对圆锥曲线的考查，往往出现一些与其它知识交汇的题目，如
与平面向量交汇、与三角函数交汇、与数列交汇等等，圆锥曲线和三角函数、平面向量或
数列的结合：往往是以三角形或向量、数列作为辅助条件考查圆锥曲线的几何性质，尤其
是涉及焦点三角形问题，经常要利用正弦定理、余弦定理或勾股定理进行处理．
2．解题方法阐述：首先要理解题意，对题中所考查的知识点要正确理解．其次明确圆
锥曲线知识和相关交汇知识间的关系，如通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆
锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题．
3．解题经验分享：第一、熟记相关性质、定理和公式，只有准确记忆相关知识点，才
能进行后续的解题步骤． 第二、对各种交汇知识建立联系，这样可以借助已有的知识和解
题经验来解决问题．第三、识别关键信息，正确进行推理．
