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§4.9 解三角形中的最值与范围问题
(分值：70 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若B=π
3 ，a=4，且三角形有两解，则b 的取值范围
是( )
A.(2√3，+∞)
B.(2√3，4)
C.(0，4)
D.(4，3√3)
2.在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且b，a，c 成等差数列，则A 的最大值为( )
A.2π
3
B.π
6
C.π
2
D.π
3
3.在锐角△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a=3，A=π
6 ，则b 的取值范围是( )
A.(0，6)
B.(0，2√3)
C.(√3，2√3)
D.(3√3，6)
4.(2024·泰州模拟)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，C=60°，B>90°，则b
a的取值范围为(
)
A.(
1
2 ，+∞)
B.(√3，+∞)
C.(2，+∞)
D.(3，+∞)
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，D 为AB 的中点，且a(sin A-sin B)=(c-b)(sin B+sin
C)，c=√3，则( )
A.C=π
6
B.△ABC 面积的取值范围为(0，3√3
4 ]
C.△ABC 周长的最大值为3√3
D.cos A+cos B 的取值范围是(
1
2 ，1]
6.在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，AD 是角A 的平分线，则AD 的长度可能为( )
A.2.1
B.2.2
C.2.3
D.2.4
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.在钝角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，则最大边c 的取值范围是
.
8.(2024·九江模拟)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知3sin A=2sin Bcos C，a=1，则角
A 的最大值是 .
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)(2024·朔州模拟)已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，向量m=(a+b，c)，n=(sin A-
sin C，sin A-sin B)，且m∥n.
(1)求B；(6 分)
(2)求
b
2
a
2+c
2的最小值.(7 分)
10.(15 分)(2024·固原模拟)在锐角△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且2sin Bsin C+cos
2C=1+cos 2A-cos 2B.
(1)求A；(6 分)
(2)求c -b
a
的取值范围.(9 分)
答案精析
1.B [由题意，△ABC 有两解需满足asin B<b<a，
即2√3<b<4.]
2.D [依题意b＋c＝2a.
则cos A＝b
2＋c
2-a
2
2bc
＝b
2＋c
2-(
b＋c
2 )
2
2bc
＝3(b
2＋c
2)-2bc
8bc
≥3×2bc -2bc
8bc
＝1
2，
当且仅当b＝c 时，等号成立，
又A∈(0，π)，
所以A 的最大值为π
3 .]
3.D [在锐角△ABC 中，
a＝3，A＝π
6 ，由正弦定理可得
a
sin A ＝
b
sin B ＝3
1
2
＝6，
所以b＝6sin B，又C＝5 π
6 －B，
所以{
0<B< π
2 ,
0< 5 π
6 - B< π
2 ,
解得π
3 <B<π
2 ，所以√3
2 <sin B<1，
所以b 的取值范围是(3√3，6).]
4.C [因为C＝60°，B>90°，
所以0°<A<30°，0<tan A<√3
3 ，
即得
1
tan A >√3，
由正弦定理可得b
a ＝sin B
sin A ＝sin( A ＋C )
sin A
＝
1
2 sin A ＋√3
2 cos A
sin A
＝1
2 ＋√3
2
×
1
tan A >2.]
5.BCD [由正弦定理可得
a(a－b)＝(c－b)(b＋c)，
整理得a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝a
2＋b
2-c
2
2ab
＝1
2，
又0<C<π，所以C＝π
3 ，故A 错误；
对于B，由a2＋b2－c2＝ab 可得a2＋b2＝ab＋3≥2ab⇒ab≤3，当且仅当a＝b 时取等号，
所以0<S△ABC＝1
2absin C≤1
2×3×√3
2 ＝3√3
4
，
故△ABC 面积的取值范围为(0，3√3
4 ]，B 正确；
对于C，由a2＋b2－c2＝ab 得(a＋b)2－3＝3ab≤3(
a＋b
2 )
2
⇒(a＋b)
2
4
≤3⇒a＋b≤2√3，
当且仅当a＝b 时取等号，a＋b＋c≤3√3，所以△ABC 周长的最大值为3√3，故C 正确；
对于D，cos A＋cos B＝cos A＋cos(
2π
3 - A)＝1
2cos A＋√3
2 sin A＝sin(A ＋π
6)，
又因为A∈(0，2π
3 )，
所以A＋π
6 ∈(
π
6 ，5 π
6 )，
所以sin(A ＋π
6)∈(
1
2 ，1]，
故cos A＋cos B 的取值范围是(
1
2 ，1]，故D 正确.]
6.ABC [令∠BAC＝2θ，
∴∠BAD＝∠CAD＝θ，θ∈(0，π
2)，
S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴1
2×2×3sin 2θ＝1
2×2×AD·sin θ＋1
2×3×AD·sin θ，
∴5ADsin θ＝6sin 2θ＝12sin θcos θ，
又θ∈(0，π
2)，
∴sin θ≠0，cos θ∈(0，1)，
∴AD＝12
5 cos θ 的取值范围为(0，12
5 ).]
7.(√5，3)
解析 因为△ABC 是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c 是最大边，
由余弦定理可得
cos C＝a
2＋b
2-c
2
2ab
<0，
于是可得c2>a2＋b2＝5，且c>0，解得c>√5，又c<a＋b＝3，
所以边c 的取值范围是(√5，3).
8.π
6
解析 ∵3sin A＝2sin Bcos C，
由正弦定理得3a＝2bcos C，①
由余弦定理的推论得
cos C＝a
2＋b
2-c
2
2ab
，②
①②联立可得b2－c2＝2a2，
而cos A＝b
2＋c
2-a
2
2bc
，
消去a2可得cos A＝
1
2 b
2＋3
2 c
2
2bc
＝1
4(
b
c ＋3c
b )≥√3
2 ，
当且仅当b＝√3c 时取等号.
∵y＝cos x 在(0，π)上单调递减，
∴Amax＝π
6 .
9.解 (1)因为m∥n，
所以(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin A－sin C)，
由正弦定理可得
(a＋b)(a－b)＝c(a－c)，
即a2－b2＝ac－c2，
故a2＋c2－b2＝ac，
所以cos B＝a
2＋c
2-b
2
2ac
＝1
2，
而B 为三角形内角，故B＝π
3 .
(2)结合(1)可得
b
2
a
2＋c
2 ＝a
2＋c
2-ac
a
2＋c
2
＝1－
ac
a
2＋c
2，
1－
ac
a
2＋c
2≥1－ac
2ac ＝1－1
2 ＝1
2，当且仅当a＝c 时等号成立，
故
b
2
a
2＋c
2的最小值为1
2.
10.解 (1)因为2sin Bsin C＋cos 2C＝1＋cos 2A－cos 2B，
所以2sin Bsin C＋1－2sin2C＝1＋1－2sin2A－1＋2sin2B，
则sin Bsin C－sin2C
＝－sin2A＋sin2B，
由正弦定理可得bc－c2
＝－a2＋b2，即bc＝b2＋c2－a2，
所以cos A＝b
2＋c
2-a
2
2bc
＝bc
2bc ＝1
2，
又A∈(0，π
2)，故A＝π
3 .
(2)由正弦定理得c -b
a
＝sinC -sin B
sin A
＝2
√3[sinC -sin(
2π
3 -C)]
＝2
√3(
1
2 sinC - √3
2 cosC)
＝2
√3sin(C - π
3)，
又在锐角△ABC 中，
有{
0<C < π
2 ,
0<π - π
3 -C < π
2 ,
解得π
6 <C<π
2 ，
所以－π
6 <C－π
3 <π
6 ，
则－1
2<sin(C - π
3)<1
2，
所以－√3
3 < 2
√3sin(C - π
3)<√3
3 ，
故c -b
a
的取值范围为(- √3
3 ，√3
3 ).
