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第07讲 第二章 函数与基本初等函数章节综合检测
本试卷满分150分，考试用时120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.）
1．（2023·浙江·统考模拟预测）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知 的定义域需要满足 ，解得 ，
故定义域为 ，
故选：D
2．（2023·河南开封·统考三模）已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，当 时， .
所以 .
故选：A.
3．（2023·重庆万州·统考模拟预测）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 ，得 ，
所以 是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B选项；
因为 ，故排除D选项；令 ，解得 ，故 只有两个零点，故排除A选项．
故选：C．
4．（2023·山东聊城·统考三模）设 ， ， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 单调递减可知： .
由 单调递增可知： ，所以 ，即 ，且 .
由 单调递减可知： ，所以 .
故选：D
5．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的
核心零件是多层式结构的 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒
杂质.假设每一层 棉滤芯可以过滤掉 的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为 ，若要满
足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过 ，则 棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据： ，
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，经 层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为 ， ，
则 ，得 ，所以 ，
即 ，所以 ，
解得 ， ，
所以 的最小值为 ，
故选：C.
6．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）已知函数 在 上为减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，对称轴为 ，因为函数 是正实数集上的减函数，
所以要想函数 在 上为减函数，
只需函数 在 上为增函数，且 在 上恒成立，
所以 ，且 ，
解得 .
故选：C
7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 在
上为奇函数，则不等式 的解集满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 在 上为奇函数,
所以 ，解得 ，又 ，
即 ，
所以 ，解得 ，解得 ，
所以 ， ，
由 与 在定义域 上单调递增，所以 在定义域 上单调递增，
则不等式 ，即 ，等价于 ，
所以 ，解得 ，即不等式的解集为 .
故选：C
8．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知方程 和 的解分别是 和 ，则函数
的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】方程 和 依次化为： 和 ，
因此 和 分别是直线 与曲线 和 的交点横坐标，
而函数 和 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，又直线 垂直于直线 ，因此直线 与曲线 和 的交点关于直线 对称，
于是 ，函数 ，
所以函数 的单调递减区间是 .
故选：A
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·河北张家口·高一张家口市宣化第一中学校考开学考试）下列函数零点能用二分法求解的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A选项， 在 上单调递增，且与 轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可
用二分法求解；
对于B选项， 在 单调递增，且与 轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二
分法求解；
对于C选项， 恒成立，所以不能用二分法求解；
对于D选项， ，在 单调递增， 单调递减，所以
，
则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，
故选：ABD.
10．（2023·全国·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足 不恒为零，且 ，
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． 的图像关于直线 对称 D． 在[0，10]上有6个零点
【答案】AB
【详解】选项A：对于 ，令 ，得 ，对于 ，令 ，得
，所以 ，则 ，A正确；
选项B：由 得 ，由 得 ，所以
， 是奇函数，B正确；
选项C：由 ，得 ，所以12是 的一个周期，又 是奇函数，所以 的图像关于点 对称，因为 不恒为零，所以 的图像不关于直线 对称，C错误；
选项D：由A知 ，对于 ，令 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ， ，所以 ，所以 在 上的零点为
0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．
故选：AB．
11．（2023春·山西·高一校联考阶段练习）设函数 ，若实数a，b，c满足
，且 .则下列结论恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】画出函数图象，如图，
因为 ，且 ， .
所以 .且 即 .
对A，因为 ，所以 ，故A正确；
对B，因为 ，所以 ，由对勾函数的性质知函数 在 上为单调减函数，
则 ，故B正确；
对C，因为 ，所以 ，又 ，则 ，令 解得 ，即 时，
,
因为函数 在 上单调递减，则当 时，有 ，故C不正确；对D，因为 ，所以 ，由对勾函数的性质知 在 上递减，则
.
因为函数 在 上单调递减，所以 ，故D正确.
故选：ABD
12．（2023春·浙江·高二统考阶段练习）设函数 ， 定义域交集为 ，若存在 ，使得对任意
都有 ，则称 构成“相关函数对”.则下列所给两个函数构成“相
关函数对”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】根据“相关函数对”的定义，可得两个函数的图象有且只有一个交点 ，且在 的右侧图象
中 的图象高于 的图象，在 的左侧图象中 的图象低于 的图象.
对于A项，令 ，
则 ，
， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即 恒成立，所以不符合题意，故A项不成立；
对于B项，令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以由零点存在性定理知，存在唯一 ，使得 ，
则对任意 ，不等式 恒成立，符合题意，故B项正确；
对于C项， ，则 ，
所以 在 单调递增，
又因为 ， ，
所以由零点存在性定理知，存在唯一 ，使得 ，
则对任意 ，不等式 恒成立，符合题意，故C项正确；
对于D项，因为 ，解得： 或 ，
所以 图象与 图象有两个交点，不符合题意，故D项不成立.
故选：BC.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023·广东东莞·校考三模）已知定义在 上的函数 具备下列性质，① 是偶函
数，② 在 上单调递增，③对任意非零实数 、 都有 ，写出符合条件的
函数 的一个解析式______（写一个即可）.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】函数 的定义域为 ，
对任意的 ， ，
即函数 为偶函数， 满足①；
当 时， ，则函数 在 上为增函数， 满足②；
对任意的非零实数 、 ， ， 满足③.
故满足条件的一个函数解析式为 .
故答案为： （答案不唯一）.
14．（2023·全国·高一假期作业）若函数 ，且 的图像恒过定点 ，则点
的坐标为______．
【答案】
【详解】令 ，得 .
又 ，
所以 的图像经过定点 .
故答案为：15．（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）已知函数 ，方程 有四个
不同的解 ， ， ， ，且 ，则 的最大值是______.
【答案】4
【详解】画出 的图象：
因为方程 有四个不同的解 ， ， ， ，
故 的图象与 有四个不同的交点，
由图， ， ，故 的取值范围是 .
由图可知， ，
，故 ，故 .
故 .
又当 时， .
当 时， ，故 .
又 在 时为减函数，
故当 时， 取最大值 .
故答案为：4.
16．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知函数
①当 时，不等式 的解集为______；
②若 是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围为______．【答案】
【详解】① 时， ，由 得 x无
解，或 .
故所求解集为 ；
② 是定义在R上的增函数等价于 单调递增， 单调递增，且
，
则有 ，故实数m的取值范围为 .
故答案为： ； .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过
程或演算步骤.）
17．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）若二次函数 的图象的对称轴为 ，最小值为 ，
且 ．
(1)求 的解析式；
(2)若关于x的不等式 在区间 上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 为二次函数，可设
∵ 图象的对称轴为 ，最小值为-1，且 ，
∴ ，∴ ，
∴ ．（2）∵ ，即 在 上恒成立，
又∵当 时， 有最小值0，
∴ ，
∴实数m的取值范围为 ．
18．（2023秋·广西玉林·高一统考期末）已知 ．
(1)若 的解集为 或 ，求 的值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，若 的解集为 或 ，
则 ， 是方程 的根，即 ，
解得： ．
（2）若对任意 ， 恒成立，即若对任意 ， ，
由已知得 ，
， ，
当且仅当 时取等号，
所以 ，
，
，即 的取值范围为 .
19．（2023秋·山西大同·高一统考期末）某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规
律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积 （单位：平方
米）与所经过月数 的下列数据：0 2 3 4
4 25 62.5 156.3
为描述该生物覆盖面积 （单位：平方米）与经过的月数 的关系，现有以下三种函数模型供选
择： ； ； .
(1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；
(2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？
（参考数据： ， ）
【答案】(1) ；
(2)9
【详解】（1）因为函数 刻画的是增长速度越来越快的变化规律，
函数 刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，
函数 刻画的是增长速度不变的规律，
根据表中的数据可知该生物增长的速度越来越快，
所以函数模型 更适合.
根据题意有 ，解得 ，
所以 ， .
（2）设约经过 个月，此生物能覆盖整个池塘，
则 ，解得 .
故约经过9个月此生物能覆盖整个池塘.
20．（2023春·江苏无锡·高二统考期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
．
(1)求 时， 的解析式；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）解： 是定义在 上的奇函数，则 ，
当 时， ，则 ，所以， ．
（2）解：当 时， ．
当 时， ，可得 或 ，解得 ；
当 时， ，可得 ，解得 ．
综上所述，不等式 的解集为 .
21．（2023·浙江·统考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求m的值：
(2)若方程 恰有一个实根，求m的取值范围：
(3)设 ，若对任意 ，当 时，满足 ，求m的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
(3)
【详解】（1）
（2）方程
由①可得
当 时，方程有唯一解 ，代入此时 ，∴不满足②
当 时，方程有两相等解 ，此时 ，∴不满足②.
当 且 时，方程有两不等解 ，
若 满足
若 满足
则若 是唯一解，则有若 是唯一解，则有
综上，当 时方程恰有一个实根.
（3）当 时， 恒成立，则有 ,
由已知 ，由复合函数的单调性知 在 上单调递减，
所以
∴ 对 恒成立
令 ，∴ 在 上单调递增，
∴
∴实数 的取值范围是 .
22．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知函数
， ．
(1)求 的单调区间和最值；
(2)记 的值域为 的值域为 ，是否存在实数 ，使得 ,若存在，求实数 的取值范围；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2)存在；
【详解】（1）令 ，则 ．
记 ，
易得 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以 ，
所以 的值域为 ，即 ．
又 在 上单调递减，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．因为 ，
所以 ．
（2）存在，理由如下：
由（1）可得 ，
假设存在实数 ，使得 ．
设 ，则 ，
当 时， ，
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
当 时，有 解得 ；
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
当 时，有 解得 无解；
当 时， ，
所以 ，
当 时，有 解得 （舍去）；
当 时， ，
所以 ，
当 时，有 解得 （舍去）．
当 时， ，即 ．
解得 ，所以 ．
所以 ，不符合题意，舍去．
综上所述，存在实数 ，使得 的取值范围为 ．
