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专题01 集合与常用逻辑用语
一、知识速览
二、考点速览
1
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知识点1 集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号
或
表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
知识点2 集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
图形语言
基本
关系
子集
集合A 的所有元素都是集合B 的
元素（
则
）
或
真子集
集合A 是集合B 的子集，且集合
B 中至少有一个元素不属于A
或
相等
集合A，B 的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任
何集合A 的子集
知识点3 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
知识点4 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
2
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性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
（1）充要条件的定义
如果“若
，则
”和它的逆命题“若
，则
”均为真命题，即既有
，又有
，就记作
。
此时，
既是
的充分条件，也是
的必要条件，我们说
是
的充分必要条件，简称充要条件。
（2）充要条件的含义
若
是
的充要条件，则
也是
的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，
因为这两个命题的条件与结论不同。
（3）充要条件的等价说法：
是
的充要条件又常说成是
成立当且仅当
成立，或
与
等价。
知识点5 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“
”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：通常，将含有变量
的语句用
，
，
，…表示，变量
的取值范围用
表
示，那么，全称量词命题“对
中任意一个
，
成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“
”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在
中的元素
，使
成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词
命题
3、命题的否定：对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作“
”，读作“非p”或p 的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“
”的否定是存在量词命题：
．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“
”的否定是全称量词命题：
．
（3）命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
3
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即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
（4）常见正面词语的否定：
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不
小
于
（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n 个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1 个
一、子集的个数问题
如果集合A 中含有n 个元素，则有
（1）A 的子集的个数有2n个． （2）A 的非空子集的个数有2n－1 个．
（3）A 的真子集的个数有2n－1 个 （4）A 的非空真子集的个数有2n－2 个．
【典例1】（2023·重庆·校联考三模）数集
的非空真子集个数为（ ）
A．32 B．31 C．30 D．29
【答案】C
【解析】因为集合
中含有个元素，
所以集合
的非空真子集个数为
.故选：C
【典例2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若集合
，集合
，则
的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】C
【解析】由
得
，所以
，
解不等式
得
，
所以
，所以
的子集个数为
.故选：C
二、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
【典例1】（2022 秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知集合
，且
，则a 等
于（ ）
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A．
或
B．
C．3 D．
【答案】D
【解析】因为
，当
，得
，则
，不合题意，故舍去.
当
，故
(舍去)或
，此时
，满足.故选：D
【典例2】（2022 秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）设集合
，若
，则实
数
．
【答案】2
【解析】当
时，
，此时
，不符合条件；
当
时，
，此时
，符合条件；
若
，即
，无实根，不符合条件．
所以
．故答案为：2.
三、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若A
B
，
且A 中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【典例1】（2023·全国·模拟预测）设集合
，
，若
，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．（3,4） C．
D．
【答案】B
【解析】由已知可得，集合
，
，
因为
，所以
，（注意端点值是否能取到），
解得
，故选：B．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知集合A＝
，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实
数a 的取值可能为（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．3
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【答案】BCD
【解析】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝
.
所以B＝
，
，
，
.
当 B＝
时，此种情况不可能，所以舍去；
当B＝
时，
，解得a＝3；
当B＝
时，
，解得a＝－2；
当B＝
时，a＝0.
综上可得实数a 的可能取值为3，0，－2.故选：BCD.
四、根据集合运算的结果确定参数的取值范围
法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.
法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空
集。
【典例1】（2023·海南海口·校联考一模）已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解不等式
，得
，于是
，而
，
因为
，则
，因此
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.故选：B
【典例2】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合
或
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】B
【解析】由集合
或
，得
，
6
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又集合
且
，则
2 或
，即
或
.故选：B.
五、利用充分必要条件求参数的策略
1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关
于参数的不等式（不等式组）求解；
2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，
．若“
”是“
”的充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若“
”是“
”的充分不必要条件，则
，
所以
，解得
，即
的取值范围是
.故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知“
”是“
”成立的必要
不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得：
或
，所以
或
；
由
得：
，所以
.
因为
是
的必要不充分条件，即
且
，
所以
是
或
的真子集，
所以
或
，解得
或
.故选：A
易错点1 对集合表示方法的理解存在偏差
点拨：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元
素类型（点集或者数集）及代表元素的含义。
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【典例1】（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）集合
，集合
，全集
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于集合A，由
或
，所以
，
，
，故
.故选：B
【典例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知集合
,
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解方程组
可得
或
或
，
又因为
,
，则
.故选：D.
易错点2 忽视（漏）空集导致错误
点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往
容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，若
，则实数
（ ）
A．
或1 B．0 或1 C．1 D．
【答案】B
【解析】由集合
，
对于方程
，
当
时，此时方程无解，可得集合
，满足
；
当
时，解得
，要使得
，则满足
，可得
，
所以实数
的值为或.故选：B.
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【典例2】（2023·全国·高三对口高考）设集合
若
，则实数
p 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若N 为空集，即
，
若N 不为空集，则
且
，
综上：
.
易错点3 忽视集合元素的互异性
点拨：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）由实数
所组成的集合，最多可含有（
）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意，当
时所含元素最多，
此时
分别可化为
，
，
，
所以由实数
所组成的集合，最多可含有3 个元素．故选：B
【典例2】（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意
可知，两集合元素全部相等，得到
或
，
又根据集合互异性，可知
，解得
(舍)，
和
(舍)，
所以
，
，则
，故选：A
易错点4 判断充分性必要性位置颠倒
9
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点拨：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算。
【典例1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）使
成立的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．x<2 D．
【答案】B
【解析】由
得
，
所以“
”是“
”的即不充分也不必要条件，故A 错误；
“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
“
”是“
”的即不充分也不必要条件，故C 错误；
“
”是“
”的充要条件，故D 错误.故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若
，则p 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】p：
，即
且
，解得
或
，所以p：
或
，
对于A，
是p 的既不充分也不必要条件；
对于B，
即
或
，是p 的必要不充分条件；
对于C，
即
或
，是p 的充分不必要条件；
对于D，
是p 的充分不必要条件；故选：B.
易错点5 对含有一个量词命题的否定理解错误
点拨：对含有一个量词的命题进行否定时，除了将存在量词命题变为全称量词命题，全称量词命题变
为存在量词命题外，不等式的否定只否定结论。
【典例】（2022 秋·新疆伊犁·高三校考期中）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
10
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C．
D．
【答案】A
【解析】根据全称命题的否定，可得.故选：A.
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