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专题02 函数的单调性与最值
目录
题型一： 求单调区间...........................................................4
题型二： 判断函数的单调性.....................................................5
题型三： 函数单调性的应用——比较大小.........................................6
题型四： 函数单调性的应用——解不等式.........................................7
题型五： 函数单调性的应用——求参数...........................................8
题型六： 函数单调性的应用——求最值...........................................9
知识点一、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D 内某个区间I 上的
任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f ( x 1)<
f ( x 2)，那么
就称函数f(x)在区间I 上单调递增．
特别地，当函数f(x)在它的定义域
上单调递增时，我们就称它是增函
数
当x1<x2时，都有f ( x 1)>
f ( x 2)，那么就
称函数f(x)在区间I 上单调递减．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上
单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
知识点总结
1
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自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性，区间
I 叫做y＝f(x)的单调区间．
知识点二、函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M 满足：
条件
(1)∀x∈D，都有f ( x )≤
M
；
(2)∃x0∈D，使得f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈D，都有f ( x )≥
M
；
(2)∃x0∈D，使得f ( x 0) ＝
M
结论
M 为最大值
M 为最小值
【常用结论与知识拓展】
1．函数单调性的等价定义
设任意x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)
>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D 上单调递
增；
(2)
<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D 上单调递减．
2．函数f(x)＝ax＋
的单调性
若a>0，b<0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，若a<0，b>0，则函数在区
2
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间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；若a>0，b>0，则函数在区间
，
上是
减函数，在区间
，
上是增函数．
特别地，“对勾函数”y＝x＋
(a>0)的单调递增区间为(－∞，－
)，(
，＋∞)；单
调递减区间是[－
，0)，(0，
]．
3．与函数运算有关的单调性结论
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c 为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0 时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0 时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与
具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都
恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减．
(6)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数
为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同
增异减”．
例题精讲
3
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题型一：求单调区间
【要点讲解】(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观
地写出它的单调区间.
【例1】函数
的单调递减区间为
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】函数
的递增区间是
．
【变式训练2】函数
的增区间为
．
【变式训练3】函数
的单调递减区间为
．
【变式训练4】函数
的单调增区间是
．
【变式训练5】函数
的单调减区间为
．
【变式训练6】已知函数
，则
的单调递增区间为
．
【例2】求下列函数的单调区间：
（1）
；
（2）
．
4
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【变式训练1】画出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：
（1）
； （2）
．
题型二：判断函数的单调性
【要点讲解】(1)定义法:一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确
定单调性.
(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间).
【例3】下列函数为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】下列函数中，在区间
上为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】下列函数为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】已知函数
同时满足性质：①
；②当
，
时，
，则函数
可能为
5
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A．
B．
C．
D．
【例4】已知函数
．
（1）若
，求
；
（2）用定义法证明：函数
在区间
上单调递减．
【变式训练1】已知
，
．
（1）解不等式
；
（2）判断并证明函数
的单调性．
【变式训练2】已知函数
，二次函数
满足
，且不等式
的解集为
．
（1）求
，
的解析式；
（2）设
，根据定义证明：
在
上为增函数．
6
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题型三：函数单调性的应用——比较大小
【要点讲解】将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决
【例5】设函数
定义在实数集上，它的图象关于直线
对称，且当
时，
，则有
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】函数
，若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】若实数
，
满足
，则
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】已知
是定义在
上的增函数，
，
，
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】已知定义在
上的函数
满足
，设
7
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，
，
，则
（a），
（b），
（c）的大小顺序是
．（用“
”号连接）
题型四：函数单调性的应用——解不等式
【要点讲解】往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,
应特别注意函数的定义域
【例6】设函数
在
上是奇函数，且在
上是减函数，若
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】已知函数
在定义域
上是减函数，且
，
则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】已知函数
是实数集
上的减函数，则不等式
的解
集为
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】已知函数
关于直线
对称，且当
时，
8
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恒成立，则满足
的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】已知幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单
调递减，则满足
的
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
题型五：函数单调性的应用——求参数
【要点讲解】通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区
间,与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题,要注意上、下段端点值的大小
关系
【例7】已知函数
在
，
上是增函数，则实数
的取值范
围是
．
【变式训练1】已知
，若函数
在区间
，
上为减函数，则
的取
值范围是
9
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A．
B．
C．
D．
【变式训练2】若函数
与函数
在区间
，
上都是减函数，则
的取值范围是
A．
，
，
B．
，
，
C．
D．
，
【变式训练3】若函数
是
上的增函数，则
的取值范围为
A．
B．
C．
，
D．
题型六：函数单调性的应用——求最值
【要点讲解】利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出
时
【例8】函数
在区间
，
上的最小值是
A．
B．
C．1
D．
【变式训练1】已知函数
，则
在区间
的最大值为
．
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【变式训练2】已知函数
是定义在
，
上的奇函数，且当
，
时，
，则
的最小值是
A．
B．
C．1
D．2
【变式训练3】已知函数
，则函数
有
A．最小值1，无最大值
B．最大值
，无最小值
C．最小值
，无最大值
D．无最大值，无最小值
【变式训练4】
的最大值是
A．
B．2
C．
D．4
【变式训练5】已知函数
（1）若函数
在
上是增函数，求实数
的取值范围
（2）求函数
在区间
，
上的最小值．
一．选择题（共6 小题）
课后练习
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1．下列函数中，在
，
内为增函数的是
A．
B．
C．
D．
2．下列函数中是减函数的为
A．
B．
C．
D．
3．下列函数中，在区间
上是减函数的是
A．
B．
C．
D．
4．已知定义在
，
上的函数
满足对于任意的
，
，
，且
，都有
，则不等式
的解集为
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
5．已知函数
是
上的增函数，函数
是
上的减函数，则下列函数一定是增函数
的是
A．
B．
C．
D．
6．下列函数中，在区间
上是增函数的是
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共2 小题）
7．已知
是定义在
，
上的函数，根据下列条件，可以断定
是增函数的是
A．对任意
，都有
B．对任意
，
，
，且
，都有
12
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C．对任意
，
，
，且
，都有
D．对任意
，
，
，且
，都有
8．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．函数
，
过定点
C．定义在
上的函数
满足
，且
（3）
，则不等式
的解集为
D．已知
在区间
上为减函数，则实数
的取值范围是
，
三．填空题（共4 小题）
9．已知函数
在
，
上的最大值为3，则实数
的值为 ．
10．函数
的最小值是 ．
11．已知函数
，则
的单调增区间为 ．
12．若函数
单调递增，则实数
的取值范围是 ．
四．解答题（共3 小题）
13．设函数
．
（1）求不等式
的解集；
（2）若函数
的最小值为16，求实数
的值．
13
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14．已知
，函数
的最大值为4，
（1）求实数
的值；
（2）若实数
，
，
满足
，求
的最小值．
15．设
．
（1）求不等式
的解集
；
（2）若函数
在
上最小值为
，求实数
的值；
（3）若对任意的正实数
，存在
，使得
，求实数
的最大值．
14
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