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专题02 函数的单调性与最值
目录
题型一： 求单调区间...........................................................4
题型二： 判断函数的单调性.....................................................8
题型三： 函数单调性的应用——比较大小........................................11
题型四： 函数单调性的应用——解不等式........................................13
题型五： 函数单调性的应用——求参数..........................................16
题型六： 函数单调性的应用——求最值..........................................17
知识点一、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D 内某个区间I 上的
任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f ( x 1)<
f ( x 2)，那么
就称函数f(x)在区间I 上单调递增．
特别地，当函数f(x)在它的定义域
上单调递增时，我们就称它是增函
数
当x1<x2时，都有f ( x 1)>
f ( x 2)，那么就
称函数f(x)在区间I 上单调递减．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上
单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
知识点总结
1
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自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性，区间
I 叫做y＝f(x)的单调区间．
知识点二、函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M 满足：
条件
(1)∀x∈D，都有f ( x )≤
M
；
(2)∃x0∈D，使得f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈D，都有f ( x )≥
M
；
(2)∃x0∈D，使得f ( x 0) ＝
M
结论
M 为最大值
M 为最小值
【常用结论与知识拓展】
1．函数单调性的等价定义
设任意x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D 上单调递增；
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D 上单调递减．
2．函数f(x)＝ax＋的单调性
若a>0，b<0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，若a<0，b>0，则函数在区
间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；若a>0，b>0，则函数在区间，上是减函数，在区间，
上是增函数．
特别地，“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间
是[－，0)，(0，]．
3．与函数运算有关的单调性结论
2
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(1)函数f(x)与f(x)＋c(c 为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0 时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0 时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都
恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减．
(6)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数
为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同
增异减”．
题型一：求单调区间
【要点讲解】(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观
地写出它的单调区间.
【例1】函数
的单调递减区间为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
由题意令
，
由
，解得：
，
故选：
．
【变式训练1】函数
的递增区间是
，
．
例题精讲
3
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【解答】解：函数
的图象如图所示：
数形结合可得函数的增区间为
，
，
故答案为：
，
．
【变式训练2】函数
的增区间为
．
【解答】解：因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数的单调递增区间为
，
故答案为：
．
【变式训练3】函数
的单调递减区间为
．
【解答】解：由
，得
，
函数
的定义域为
，
又内层函数
的对称轴方程为
，则内函数在
上为增函数，
4
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且外层函数
为定义域内的减函数，
故复合函数
的单调递减区间为
．
故答案为：
．
【变式训练4】函数
的单调增区间是
，
．
【解答】解：解
，得
，或
；
，解
得
；
的单调增区间为
，
．
故答案为
，
．
【变式训练5】函数
的单调减区间为
．
【解答】解：令
解得
，
函数
的单调递减区间是
．
故答案为：
．
【变式训练6】已知函数
，则
的单调递增区间为
．
【解答】解：当
时，
单调递减；
当
时，
，在
上单调递增，在
单调递减；
故答案为：
．
5
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【例2】求下列函数的单调区间：
（1）
；
（2）
．
【解答】解：（1）
，
画出图象如图所示：
由图象得，函数的单调递减区间为
和
，
单调递增区间为
和
．
（2）
，
画出函数的图象，如图所示：
6
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由图象得，函数的单调递增区间为
和
，
单调递减区间为
和
．
【变式训练1】画出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：
（1）
； （2）
．
【解答】解：（1）先作出函数
的图像，再将其图像向下平移1 个单位，
保留
轴上方的部分，将
轴下方的图像翻折到
轴上方，得到
的图像，
图像如下：
单调减区间
，单调增区间为
；
（2）先作出函数
的图像，保留
轴上方的部分，将
轴下方的图像翻折到
轴上
方，
再将其图像向上平移1 个单位，得到
的图像，
图像如下：
7
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单调减区间
，单调增区间为
．
题型二：判断函数的单调性
【要点讲解】(1)定义法:一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确
定单调性.
(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间).
【例3】下列函数为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
与
在定义域内为减函数，不符合题意；
函数
在
上为减函数，不符合题意；
根据幂函数的性质知
为增函数．
故选：
．
【变式训练1】下列函数中，在区间
上为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：当
时，
单调递减，
不符合题意；
不具有单调性，不符合题意；
8
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不具有单调性，不符合题意；
单调递增，符合题意．
故选：
．
【变式训练2】下列函数为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，在
单调递减，故
错误，
在
上单调递增，故
正确；
在
上单调递减，故
错误，
在
上单调递减，故
错误．
故选：
．
【变式训练3】已知函数
同时满足性质：①
；②当
，
时，
，则函数
可能为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：①
说明
为偶函数，②
，说明
函数在
上单调递减．
不满足②，
不满足①，
不满足②，因为
在
单调递减，在
单调递增．
对于
，满足①，当
，
，单调递减，也满足②．
故选：
．
9
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【例4】已知函数
．
（1）若
，求
；
（2）用定义法证明：函数
在区间
上单调递减．
【解答】解：（1）由
，得
故
，解得
或
；
（2）证：任取
，
则
，
，
，
，
故
，即
，
故
在区间
上单调递减．
【变式训练1】已知
，
．
（1）解不等式
；
（2）判断并证明函数
的单调性．
【解答】解：（1）由
，
，
，得
，
解得
，
即不等式解集为
；
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（2）在
，
为减函数．证明如下：
设
，则
，
因为
，
，
，
所以
，
即
．
所以
是
，
上的减函数．
【变式训练2】已知函数
，二次函数
满足
，且不等式
的解集为
．
（1）求
，
的解析式；
（2）设
，根据定义证明：
在
上为增函数．
【解答】解：（1）依题意，
，因此
，
设二次函数
，不等式
，即为
，
则
，4 是关于
的一元二次方程
的两个实根，且
，
于是得
，又
（1）
，解得
，
，
，
于是得
，
所以
，
．
（2）证明：由（1）知，
，
11
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任取
，
，且
，
，
因为
，有
，
，
，则
，即
，
所以函数
在
上为增函数．
题型三：函数单调性的应用——比较大小
【要点讲解】将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决
【例5】设函数
定义在实数集上，它的图象关于直线
对称，且当
时，
，则有
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得，函数
在
，
上是增函数，
再根据函数的图象关于直线
对称，可得函数在
，
上是减函数．
故离直线
越近的点，函数值越小．
，
，
，
，
故选：
．
【变式训练1】函数
，若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
函数
，
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函数
为增函数，
又
，
则
，
即
，
故选：
．
【变式训练2】若实数
，
满足
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：令
，可得定义域为
，且在
上单调递
增，
，
即
，可得
，
，
可得
，
，
，故
，
对，
错，
又
和
的大小关系不确定，故
不成立．
故选：
．
【变式训练3】已知
是定义在
上的增函数，
，
，
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为函数
为
上单调增函数，故
，而
，
由于
是定义在
上的增函数，故
，
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即
．
故选：
．
【变式训练4】已知定义在
上的函数
满足
，设
，
，
，则
（a），
（b），
（c）的大小顺序是
（
c ）
（
a ）
（
b ）
．（用“
”号连接）
【解答】解：定义在
上的函数
满足
，
则函数
在
上为增函数，
又由
，
，
，即
，
，
，
则有
，则
（c）
（a）
（b）．
故答案为：
（c）
（a）
（b）．
题型四：函数单调性的应用——解不等式
【要点讲解】往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,
应特别注意函数的定义域
【例6】设函数
在
上是奇函数，且在
上是减函数，若
，
则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
函数
在
上是奇函数
14
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则
函数
在
上是奇函数，且在
上是减函数，
解得
，
的取值范围是：
，
故选：
．
【变式训练1】已知函数
在定义域
上是减函数，且
，则
实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为函数
在定义域
上是减函数，且
，
则有
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
．
故选：
．
【变式训练2】已知函数
是实数集
上的减函数，则不等式
的解集
为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由函数
是实数集
上的减函数，又
，
所以
，解得
．
15
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故选：
．
【变式训练3】已知函数
关于直线
对称，且当
时，
恒成立，则满足
的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题知
关于直线
对称，
故
为偶函数，
，
当
时，
恒成立，
则
在
，
上单调递增，
，
，
，
即
，
解得：
．
故选：
．
【变式训练4】已知幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单调递
减，则满足
的
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：幂函数
在
上单调递减，故
，解得
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，
又
，故
或2，
当
时，
的图象关于
轴对称，满足题意，
当
时，
的图象不关于
轴对称，舍去，故
，
不等式化为
，
函数
在
和
上单调递减，
故
或
或
，解得
或
．
故选：
．
题型五：函数单调性的应用——求参数
【要点讲解】通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区
间,与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题,要注意上、下段端点值的大小
关系
【例7】已知函数
在
，
上是增函数，则实数
的取值范围是
，
．
【解答】解：设
，根据对数函数及复合函数的单调性知：
在
，
上是增函数，且
（2）
；
；
；
实数
的取值范围是
，
．
17
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故答案为：
，
．
【变式训练1】已知
，若函数
在区间
，
上为减函数，则
的取值
范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：令
，则
，
所以
，
所以
在
，
上递减，
因为函数
在区间
，
上为减函数，
所以
，得
．
故选：
．
【变式训练2】若函数
与函数
在区间
，
上都是减函数，则
的取值范围是
A．
，
，
B．
，
，
C．
D．
，
【解答】解：
函数
在区间
，
上是减函数，
，
又
在区间
，
上是减函数，
，
18
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故
的取值范围是
，即
，
，
故选：
．
【变式训练3】若函数
是
上的增函数，则
的取值范围为
A．
B．
C．
，
D．
【解答】解：若函数
是
上的增函数，
则满足
，解得
，
即
的取值范围为
，
．
故选：
．
题型六：函数单调性的应用——求最值
【要点讲解】利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出
时
【例8】函数
在区间
，
上的最小值是
A．
B．
C．1
D．
【解答】解：函数
在
，
上减函数，
所以函数的最小值为：
．
故选：
．
【变式训练1】已知函数
，则
在区间
的最大值为
．
【解答】解：
，
19
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，
令
，则
，
在
，
单调递减，在
，
单调递增，
，
，
，
则
在区间
的最大值为
．
故答案为：
．
【变式训练2】已知函数
是定义在
，
上的奇函数，且当
，
时，
，则
的最小值是
A．
B．
C．1
D．2
【解答】解：根据题意，当
，
时，
，变形可得
，
则有
，
，
又由
是
，
上的奇函数，
则
，
故
的值域
，
，
，
故
的最小值是
．
故选：
．
【变式训练3】已知函数
，则函数
有
20
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A．最小值1，无最大值
B．最大值
，无最小值
C．最小值
，无最大值
D．无最大值，无最小值
【解答】解：函数
的定义域为
，
，
由
和
在
，
均为增函数，
可得
在
，
为增函数，
则
有最小值
，无最大值．
故选：
．
【变式训练4】
的最大值是
A．
B．2
C．
D．4
【解答】解：由已知可得
，解得
，故函数
的定义域为
，
，
令
，则
，且
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
故函数
的最大值为
．
故选：
．
【变式训练5】已知函数
（1）若函数
在
上是增函数，求实数
的取值范围
（2）求函数
在区间
，
上的最小值．
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【解答】解：（1）
，
由
在
上是增函数，则
，
即
，
则
范围为
，
；
（2）①当
时，在区间
，
上，
，
其图象是开口向上的抛物线，对称轴是
，
，
，
（1）
；
②当
时，在区间
，
上，
，
；
③当
时，在区间
，
上，
，
其图象是开口向下的抛物线，对称轴是
，
当
即
时，
（2）
；
当
即
时，
（1）
．
综上，
．
22
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一．选择题（共6 小题）
1．下列函数中，在
，
内为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于
，
在
，
内为减函数，故
不符合题意；
对于
，
在
内没有意义，故
不符合题意；
对于
，
在
，
内为增函数，故
符合题意；
对于
，
在
，
内没有意义，故
不符合题意．
故选：
．
2．下列函数中是减函数的为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
在
单调递增，所以
选项错误，
因为
单调递增，所以
选项错误，
因为
底数大于1 即为增函数，所以
选项错误．
故选：
．
3．下列函数中，在区间
上是减函数的是
A．
B．
C．
D．
课后练习
23
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【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于
，
，是二次函数，在区间
上是增函数，不符合题意；
对于
，
，是幂函数，在区间
上是增函数，不符合题意，
对于
，
，是指数函数，在区间
上是增函数，不符合题意；
对于
，
，是一次函数，在区间
上是减函数，符合题意；
故选：
．
4．已知定义在
，
上的函数
满足对于任意的
，
，
，且
，都有
，则不等式
的解集为
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：
对于任意的
，
，
，且
，都有
，
时，
，
在
，
上单调递减，
由
得，
，解得
，
不等式
的解集为
，
．
故选：
．
5．已知函数
是
上的增函数，函数
是
上的减函数，则下列函数一定是增函数
的是
A．
B．
C．
D．
24
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【解答】解：对于
，
不一定是增函数，例如
，
，
为减函数，故
错误；
对于
，
一定是增函数，任取
，
，且
，
由于
在
上是增函数，
在
上是减函数，
有
，
，
，
，
函数
在
上是增函数，故
正确；
对于
，
为减函数，任取
，
，且
，
由于
在
上是增函数，
在
上是减函数，
有
，
，
，
，
函数
在
上是增函数，故
错误；
对于
，
不一定是增函数，例如
，
，
在
上不
是增函数，故
错误；
故选：
．
6．下列函数中，在区间
上是增函数的是
A．
B．
C．
D．
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【解答】解：选项
，
是开口向上，对称轴为
的二次函数，所以在
上
递减，在
上递增，不符合题意；
选项
，
在
上是减函数，不符合题意；
选项
，
，在
上是增函数，符合题意；
选项
，因为
在
上是增函数，所以
在
上是减函数，不符合题
意．
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
7．已知
是定义在
，
上的函数，根据下列条件，可以断定
是增函数的是
A．对任意
，都有
B．对任意
，
，
，且
，都有
C．对任意
，
，
，且
，都有
D．对任意
，
，
，且
，都有
【解答】解：对于
，设函数
为取整函数，对任意
，都有
，但函
数
不是增函数，不符合题意；
对于
，若函数
为常函数，且满足对任意
，
，
，
，都有
，但
不是增函数，不合题意；
对于
，对任意
，
，
，且
，都有
，即当
时，
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都有
，所以
是增函数；
对于
，对任意
，
，
，设
，若
，
必有
，所以函数
在
，
上为增函数．
故选：
．
8．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．函数
，
过定点
C．定义在
上的函数
满足
，且
（3）
，则不等式
的解集为
D．已知
在区间
上为减函数，则实数
的取值范围是
，
【解答】解：对于
选项：结合
可得
，
可得出
，而
得不出
，
所以
是
的充分不必要条件，故
正确；
对于
选项：
，当
，
（2）
，即过定点
，故
错误；
对于
选项：不妨设
，则
，两边同时除以
，得
，
令
，
，则
，所以
在
单调递减，
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由
变形
，
，即
（3），
得
，故
正确；
对于
选项：因为
在区间
上为减函数，
由复合函数可知只需要
在
恒成立并且令
该二次
函数
在
单调递增即可，由二次函数图像可得
，得
，故
选项正确；
故选：
．
三．填空题（共4 小题）
9．已知函数
在
，
上的最大值为3，则实数
的值为
3
．
【解答】解：
，
显然
，
当
时，函数
在
，
上单调递减，则
，解得
；
当
时，函数
在
，
上单调递增，则
，解得
（舍；
综上，
．
故答案为：3．
10．函数
的最小值是
．
【解答】解：
．
当且仅当
，即
，
时等号成立．
函数
的最小值是
．
故答案为：
．
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11．已知函数
，则
的单调增区间为
，
．
【解答】解：由
，得
，解得
，
令
，其对称轴方程为
，图象是开口向下的抛物线，
则
在
，
上为增函数，
又
为定义域内的增函数，
则
的单调增区间为
，
．
故答案为：
，
．
12．若函数
单调递增，则实数
的取值范围是
．
【解答】解：
函数
单调递增，
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
四．解答题（共3 小题）
13．设函数
．
（1）求不等式
的解集；
（2）若函数
的最小值为16，求实数
的值．
【解答】解：（1）当
时，
，解得：
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；
当
时，
，解得：
；
当
时，
，解得：
；
综上所述：不等式
的解集为
．
（2）
（当且
仅当
，即
时取等号），
，解得
．
14．已知
，函数
的最大值为4，
（1）求实数
的值；
（2）若实数
，
，
满足
，求
的最小值．
【
解
答
】
解
：
（
1
）
，
，
，当
时取等号，
，又
的最大值为4，
，即
．
（2）根据柯西不等式得：
，
，
当且仅当
，即
，
，
时等号成立．
的最小值为
．
15．设
．
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（1）求不等式
的解集
；
（2）若函数
在
上最小值为
，求实数
的值；
（3）若对任意的正实数
，存在
，使得
，求实数
的最大值．
【解答】解：（1）
，
，即
，也即
所以
若
，该不等式无解；
若
，
，所以
或
；
若
，
，所以
综上，当
时，
；当
时，
，
，
；当
时，
；
（2）若
，
在
单调递增，故
在
上无最小值；
若
，
在
单调递增，故
在
上无最小值；
若
，
，
所以
，解得
或
，
所以
或
；
（3）因为对任意的正实数
，存在
，使得
，所以
，
当
时，
在
上单调递增，
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所以
，
所以
，
当
，即
，由
，解得
，
当
时，
，即
（1）
，所以
，
当
时，
，即
，所以
，
所以
，
所以实数
的最大值为
．
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